數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽基于.多雷達(dá)目標(biāo)定位的數(shù)學(xué)模型

1、WORD 格式可編輯專業(yè)知識(shí)分享基于多雷達(dá)目標(biāo)定位的數(shù)學(xué)模型（ 選作題號(hào) A）摘要建立方程組把求雷達(dá)系統(tǒng)定位的最少雷達(dá)數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以最少的方程個(gè) 數(shù) n 使該方程組具有唯一解，得出結(jié)論： 1 、當(dāng)雷達(dá)站點(diǎn)不共線布置時(shí)，只需要 三部雷達(dá)便可實(shí)現(xiàn)定位； 2、當(dāng)所有雷達(dá)位于一直線上時(shí)， 無(wú)論雷達(dá)數(shù)目是多少， 均只能獲得目標(biāo)在 x 或 y 方向的坐標(biāo)，不能完全定位。對(duì)于問(wèn)題二，我們采用微積分、 概率論中的相關(guān)知識(shí)以及斜距離定位系統(tǒng)分 析定位誤差， 建立了定位誤差與測(cè)距誤差和坐標(biāo)誤差的關(guān)系的微分方程模型。 得 到結(jié)果：采用三個(gè)雷達(dá)定位時(shí)，定位誤差的期望值為 0，方差與雷達(dá)的測(cè)距誤差r 和坐標(biāo)誤差 s

2、成線性關(guān)系。針對(duì)問(wèn)題三， 首先，建立了可選站址的定位算法模型， 但此算法中雷達(dá)站址 的選擇具有局限性。 最后我們從概率統(tǒng)計(jì)的角度建立了基于最小方差的考慮誤差 非線性規(guī)劃定位算法模型， 并在具體實(shí)施中對(duì)算法進(jìn)行化簡(jiǎn)， 較好地解決了問(wèn)題 中的三組數(shù)據(jù)目標(biāo)定位， 得出的相應(yīng)目標(biāo)飛行物坐標(biāo)為 （ -25292，6292，24003）， （-28138，4315，23941），（-25461，6217，23765），并通過(guò)對(duì)結(jié)果的誤差比較， 給出了影響誤差的因素及算法的評(píng)價(jià)。以問(wèn)題二對(duì)定位精度的分析為基礎(chǔ)， 進(jìn)一步通過(guò)對(duì)定位誤差分析計(jì)算并參考 有關(guān)資料，給出了如下一些控制精度的建議： 1、 采用先進(jìn)技術(shù)

3、 , 減小測(cè)距誤差 和站點(diǎn)坐標(biāo)誤差； 2、適當(dāng)增加相鄰雷達(dá)站間距離； 3、合理布置雷達(dá)站點(diǎn)空間分 布； 4、適當(dāng)增加雷達(dá)站的數(shù)量。在完成所有模型的建立與求解之后， 我們還對(duì)模型優(yōu)劣進(jìn)行了比較分析和評(píng) 價(jià)，并提出了相應(yīng)的改進(jìn)和完善的方向，并把模型進(jìn)行推廣使用。關(guān)鍵字:目標(biāo)定位 定位誤差 微分方程 坐標(biāo)誤差問(wèn)題的提出在電子對(duì)抗領(lǐng)域，對(duì)輻射源位置信息偵察越精確，就越有助于對(duì)輻射源進(jìn) 行有效的戰(zhàn)場(chǎng)情報(bào)信息獲取和電子干擾，并為最終摧毀目標(biāo)提供有力的保障。在某地上空發(fā)現(xiàn)有一可疑的飛行物， 需要對(duì)其進(jìn)行精確定位。 常用的定位方法是基于多基雷達(dá)的測(cè)量方法。每個(gè)雷達(dá)都可以測(cè)量自身的坐標(biāo)(xi ,yi, zi)

4、以及它到飛行物距離 ri (i 1, n)，其中 n為雷達(dá)的總數(shù)。通過(guò)一組雷達(dá)位置坐標(biāo)和飛行物到各雷達(dá)的距離測(cè)量，我們可以確定目標(biāo)的空間飛行物的坐標(biāo)s(x, y, z) 。由于每個(gè)雷達(dá)在測(cè)量自身坐標(biāo)和飛行物到各雷達(dá)的距離都存在測(cè)量誤差， 這給精確定位帶來(lái)了困難。 如何選取合適的方法進(jìn)行精確定位是目前對(duì)飛行物進(jìn)行 精確定位一個(gè)難點(diǎn)。假設(shè)距離誤差服從正態(tài)分布 N(0, t )，坐標(biāo)誤差服從正態(tài)分布 N(0, r) 。在這個(gè)假定下完要我們成以下工作。一、至少需要幾個(gè)雷達(dá)才能定位飛行物？二、在最少雷達(dá)的條件下， 分析并比較距離誤差和坐標(biāo)誤差對(duì)定位精度的影 響。三、在實(shí)際情況中，往往使用更多雷達(dá)進(jìn)行精確

5、定位， 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種定位算法 對(duì)以下三組雷達(dá)得到的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算飛行物的坐標(biāo)。 (數(shù)據(jù)見(jiàn)附件一)四、試給出控制雷達(dá)定位精度的建議。問(wèn)題分析由題目我們可以知道，常用的定位方法是基于多基雷達(dá)的測(cè)量方法。每個(gè)雷達(dá)都可以測(cè)量自身的坐標(biāo) (xi,yi,zi) 以及它到飛行物距離 ri (i 1, n) ，其中 n為雷達(dá)的總數(shù)。 通過(guò)一組雷達(dá)位置坐標(biāo)和飛行物到各雷達(dá)的距離測(cè)量， 我們可以確定目標(biāo)的空間飛行物的坐標(biāo) s(x,y,z)。通過(guò)圖 2-1 我們可以看到在空間坐標(biāo)圖 2-1 ：?jiǎn)蝹€(gè)雷達(dá)定位飛行物示意圖系中一個(gè)雷達(dá)自身的坐標(biāo)， 雷達(dá)到飛行物的距離和空間飛行物的位置坐標(biāo)三者之間的空間關(guān)系。根據(jù)對(duì)題目的理解

6、對(duì)所提出的四個(gè)問(wèn)題逐一分析。1、針對(duì)問(wèn)題一，可以把最少需要多少個(gè)雷達(dá)才能定位飛行物的問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為以方程組中最少的方程個(gè)數(shù) n 使該方程組具有唯一解 , 該唯一解即為我們要求 的飛行物定位坐標(biāo)。2、針對(duì)問(wèn)題二，在最少雷達(dá)條件下已經(jīng)知道距離誤差服從正態(tài)分布N(0, t)，坐標(biāo)誤差服從正態(tài)分布 N(0, r ) ，在使用最少雷達(dá)(也即三部雷達(dá))的 條件下，為了分析并比較距離誤差 N(0, t )和坐標(biāo)誤差 N(0, r) 對(duì)定位精度 Q的影 響，我們必須首先找到距離誤差和坐標(biāo)誤差與最終的定位誤差 dx 之間的關(guān)系 , 通過(guò)建立對(duì)兩種誤差的分析模型定量定性地描述距離誤差和坐標(biāo)誤差對(duì)定位精 度的影響。3

7、、針對(duì)問(wèn)題三，根據(jù)題目中提供的數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的篩選分析，得到 飛行物坐標(biāo)變量與所提供數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，建立一種計(jì)算飛行物坐標(biāo)的算法模 型，最終較為準(zhǔn)確的得到飛行物的定位坐標(biāo)。4、對(duì)于問(wèn)題四，可以通過(guò)本題目中對(duì)前三個(gè)問(wèn)題所得結(jié)果的的總結(jié)和分 析，找到盡量減小定位誤差的方法， 并通過(guò)查閱與提高雷達(dá)定位精度相關(guān)的資料， 得到影響雷達(dá)定位精度的多方面因素， 從而全面地提出提高雷達(dá)定位精度的合理 建議。三、模型假設(shè)1、各雷達(dá)組在地表的同一平面上，忽略地球曲率的影響。2、在雷達(dá)對(duì)飛行物坐標(biāo)進(jìn)行測(cè)量時(shí)， 我們認(rèn)為飛行物在測(cè)量時(shí)段內(nèi)處于 靜止?fàn)顟B(tài)，也就是說(shuō)，誤差的產(chǎn)生只與雷達(dá)自身有關(guān)，而與飛行物無(wú)關(guān)。3、在空

8、間位置上， 根據(jù)雷達(dá)測(cè)距原理， 我們假定雷達(dá)均處于飛行物的下 方。4、被測(cè)目標(biāo)所在位置與 xoy 平面距離較遠(yuǎn) (遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于坐標(biāo)誤差和距離誤WORD 格式可編輯專業(yè)知識(shí)分享WORD 格式可編輯差)。5、假定各雷達(dá)站點(diǎn)站點(diǎn)坐標(biāo)在各方向上的誤差均相互獨(dú)立，各測(cè)量的距離 誤差均相互獨(dú)立，而且與站點(diǎn)坐標(biāo)誤差相互獨(dú)立。6、距離誤差服從正態(tài)分布 N(0, t ) ，坐標(biāo)誤差服從正態(tài)分布 N(0, r) 。7、不考慮雷達(dá)及目標(biāo)飛行物的形狀大小， 認(rèn)為其位置為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系的一點(diǎn)4-11四、符號(hào)約定4-12x x 軸方向定位誤差4-1x 目標(biāo)飛行物的 x 軸坐標(biāo)4-2y 目標(biāo)飛行物的 y 軸坐標(biāo)4-3z 目標(biāo)飛行物

9、的 z 軸坐標(biāo)4-4xi第 i個(gè)雷達(dá)站的 x 軸坐標(biāo)4-5yi第 i個(gè)雷達(dá)站的 y 軸坐標(biāo)4-6zi第 i個(gè)雷達(dá)站的 z 軸坐標(biāo)4-7Ri xi, yi,zi第 i 個(gè)雷達(dá)自身的坐標(biāo)4-8r i 第 i 個(gè)雷達(dá)到飛行物的距離4-9x , y , z飛行物的坐標(biāo)誤差4-10f i x , y , z飛行物到雷達(dá)的距離函數(shù)Q 飛行物的定位精度五、模型的建立與求解5-1 求雷達(dá)系統(tǒng)定位的最少雷達(dá)數(shù)量設(shè)至少需要 i 個(gè)雷達(dá)才可以定位飛行物，由下面的方程組則可以解出 (x,y,z)2 2 2 2r12x x1y y1z z12 2 2 2 r22x x2y y2z z2式 1.1 )確定目標(biāo)位置需要確定

10、三個(gè)方向上的坐標(biāo)，故至少需要三個(gè)方程才能解出 定位點(diǎn) (x,y,z) ，即至少三個(gè)雷達(dá)，根據(jù)三個(gè)雷達(dá)的測(cè)得數(shù)據(jù)可以得到如下方程 組： TOC o 1-5 h z 2 2 2 2 r1xx1yy1zz1式 1.2 )2222r2xx2yy2zz22222r32xx3yy3zz3分兩種情況進(jìn)行討論：( 1)三部雷達(dá)在一條直線上此時(shí)可通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將雷達(dá)的 x 方向坐標(biāo)定義在此直線上，即 y1 =y2 =y3 =y0 ； 由于目標(biāo)點(diǎn)和雷達(dá)的相對(duì)位置關(guān)系不變， 因此轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系對(duì)定位沒(méi)有影響， 此時(shí) 有方程組：r12xx12yy02z222(式 1.3 )r22xx2yy0z222r32xx3yy0z觀察

11、式(1.2) 可知，此時(shí)只能解出 x, ，無(wú)法解出 y 和 z 的值；在這種情況下， 若增加雷達(dá)數(shù)目，由式 (1.1) 可知仍不能求解出 y 和 z 的值，即當(dāng)雷達(dá)所在站點(diǎn) 共線時(shí)，無(wú)法對(duì)目標(biāo)定位。(2)三部雷達(dá)不共線此時(shí)，由式 (1.1) 可確定方程組的唯一解 (x,y,z) ，即能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)目標(biāo)點(diǎn)的定位。綜上，至少需要三部不共線的雷達(dá)才能實(shí)現(xiàn)定位。 假設(shè)有三部雷達(dá)坐標(biāo)為它們所測(cè)量的到飛行物的距離為 r1,r2,r3 化簡(jiǎn)后可以得到 x,y 的系數(shù)矩陣為：x2y2y1y3y1x1x3 x1相應(yīng)的行列式為：x2 x1x3 x1y2 y1y3 y11 x1 y11 x2 y2 01 x3 y3可以

12、用 Matlab 軟件解得 x，y，z 的值，程序?yàn)椋簊yms x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 r1 r2 r3 x y z; x,y,z=solve(x1-x)2+(y1-y)2+(z1-z)2=r12,(x2-x)2+(y2-y)2 +(z2-z)2=r22,(x3-x)2+(y3-y)2+(z3-z)2=r32)5-2 距離誤差和坐標(biāo)誤差對(duì)定位精度的影響5-2-1 問(wèn)題的分析與模型建立： 在使用最少雷達(dá)(也即三部雷達(dá))的條件下，為了分析并比較距離誤差N(0, l )和坐標(biāo)誤差 N(0, r )對(duì)定位精度 Q的影響，我們必須首先找到距離誤差和坐標(biāo)誤差與最終的定位誤差

13、x 之間的關(guān)系。為此，在假設(shè)由每組測(cè)量數(shù)據(jù)可以得到目標(biāo)的一個(gè)存在誤差的方位的前提下，我們首先進(jìn)行以下推導(dǎo)： 易知各測(cè)量站測(cè)得的目標(biāo)距離 :1,2,3（式 5.2.1）ri (x xi)2 (y yi )2 (z zi)2 2而且可設(shè)ri fi（X,Xi） fi（x,y,z,xi,yi,zi）1,2,3（式 5.2.2）對(duì)式 2.1 進(jìn)行全微分可得rfixfiyfifirixxyyxifiixiiyiyizfiziziii 1,2,3 （ 式 5.2.3）求偏導(dǎo)數(shù)可得xxirififiy yiyyirififiz zizziri因此有ci2ci3fifix xii 1,2,3i 1,2,3i 1

14、,2,3r C x xs（ 式 5.2.5）（式 5.2.4）式 2.5 中c11c12c13Cc21c22c23c31c32c33f1f1f1xyzf2f2f2xyzf3f3f3xyz（ 式 5.2.6）c11 x1 c12 y1 c13 z1x c21 x2 c22 y2 c23 z2 c31 x3 c32 y3 c33 z3將式 2.5 移項(xiàng)后有C x rxsfifififi x1iy1 iz1xyzfififii x2iy2 fiz2xyzfififii x3iy3iz3xyz( 式 5.2.8)( 式 5.2.7)可解得1x C 1 rxs式 5.2.9 )其中C1a1b1a2b2a

15、3b3式 5.2.10 )將式 2.4c2與式c32.7 帶入式 2.9 以后可得x yC zr1r2r3r1(x x1) x1 (y y1) y1 (z z1) z1r2 (x x2) x2 (y y2) y2 (z z2) z2式 5.2.11 )(x x3) x3 (y y3) y3 (z z3) z3故可得3 aix iriri(xxi )xi(yyi)yi(zzi )zii 1 riybii 1 riri ri (x xi) xi (yyi) yi (z zi ) zi 式 5.2.12 )3zi1ci ri ri (x xi) xi ri(y yi) yi (z zi ) zi至此

16、，距離誤差和坐標(biāo)誤差與最終的定位誤差 x 之間的關(guān)系已經(jīng)被找到如 式 5.2.12.模型求解與分析：首先從數(shù)學(xué)期望的角度進(jìn)行分析。 由于式 5.2.12 中的 ai 、bi 、ci( i 1,2,3 ) ri ri ri在飛行物與雷達(dá)站 的 實(shí)際位 置 確定后 即為常數(shù)， 故誤差 的影響只體 現(xiàn)在 ri ri (x xi) xi (y yi) yi (z zi) zi 這一部分上。然而由于距離誤差和坐標(biāo) 誤差均服從均值為 0 的正態(tài)分布，故E(ri ri(xxi)xi(yyi )yi(zzi)zi)0也即E x E y E z 0 (式 5.2.13 )因此，從誤差對(duì)準(zhǔn)確結(jié)果的測(cè)得的平均影響程

17、度來(lái)說(shuō)， 距離誤差和坐標(biāo)誤差 兩者對(duì)結(jié)果的影響程度是一樣的，而且均為 0，即沒(méi)有影響。換句話說(shuō)，三個(gè)雷 達(dá)站中的每一個(gè)對(duì)處在同一位置的物體以及自身的坐標(biāo)進(jìn)行足夠多次的測(cè)量以 后，其自身坐標(biāo)與測(cè)得的飛行物的距離已十分接近準(zhǔn)確值。 再用這三組準(zhǔn)確值代 入式 2.1 進(jìn)行計(jì)算，所得的目標(biāo)物的位置 X x y zT也即為準(zhǔn)確值。 事實(shí)上， 由于距離誤差和坐標(biāo)誤差均服從均值為 0 的正態(tài)分布，每一次測(cè)量的距離誤差落 在 3 r,3 r 的概率可以達(dá)到 99.7%，而落在 2 r,2 r 的概率也可達(dá)到 95.4%，而且坐標(biāo)誤差也有類似的規(guī)律。因此，只要r 與 s足夠小，我們并不需要測(cè)量很多次就可使結(jié)果的

18、均值的誤差相當(dāng)?shù)男?。在?shí)際當(dāng)中， 由于所測(cè)物體是在不斷移動(dòng)的， 這就造成單個(gè)雷達(dá)對(duì)處在同一 位置的物體進(jìn)行多次測(cè)量是完全不現(xiàn)實(shí)， 甚至是不可能的。 因此，對(duì)單個(gè)雷達(dá)從 期望的角度對(duì)其測(cè)量誤差進(jìn)行考量并沒(méi)有很大意義。下面，我們繼續(xù)從方差的角度進(jìn)行考慮。由于 x、 y、 z的表達(dá)形式具有相似性，在此僅以x 為例進(jìn)行考察。由于三 個(gè)雷達(dá)站的坐標(biāo)是相互獨(dú)立的，而且 ri N(0, r)、xi， yi，zi N(0, s) 故D(ri ri ) ri 2 r (式 5.2.14 ) 而且D( xxi)xi(yyi)yi(zzi)zi)(xxi)2s (yyi)2s (zzi)2s(式 2.15 )又由式

19、 2.1 可得 (x xi )2 (y yi)2 (z zi)2r ri2 故代入式 2.14 有D( xxi)xi(yyi)yi(zzi)zi)ri2s (式 5.2.16 )綜上所述，可得3D( x) ( rs )ai2i133類推可得 D( y) ( rs)bi2 而 D( z) ( rs)ci2i1i1也即有3D( x) x2( r s )ai2i1D ( y) y3( r s )bi2i13(式 5.2.17 )D ( z ) z2( r s ) ci i1由于ai 、bi 、 ci過(guò)于復(fù)雜，在此暫不對(duì)其對(duì)結(jié)果的影響進(jìn)行分析。從剩余的 部分可以看出，最后結(jié)果的方差與測(cè)距誤差和坐標(biāo)誤差

20、的方差有著直接的關(guān)系， 而且是線性關(guān)系。 總結(jié)上述分析， 為了使三個(gè)雷達(dá)在單次測(cè)量中得到較為精確的 結(jié)果，我們必須想方設(shè)法減小測(cè)距誤差和坐標(biāo)誤差的方差， 使雷達(dá)每次測(cè)量的誤 差都不能與精確值偏離太大， 否則單次測(cè)量的誤差完全無(wú)法估計(jì)， 得到的數(shù)據(jù)將 是毫無(wú)意義的，根本無(wú)法對(duì)飛行物進(jìn)行精確的定位。5.3. 兩種定位算法及模型5.3.1. 可選站址的定位算法5.3.1.1. 算法原理由多基雷達(dá)系統(tǒng)定位原理可知， 以各個(gè)雷達(dá)坐標(biāo)由圓心 (xi , yi , zi ) ，到目標(biāo)飛 行物的距離 ri 為相應(yīng)的半徑的 n 個(gè)球面在空中相交點(diǎn)即確定了目標(biāo)位置 。 下面對(duì)( 1)式進(jìn)行進(jìn)一步分析： 當(dāng)n4時(shí)，

21、由式( 1)表達(dá)的 (n 1)個(gè)方程可寫成如下的矢量矩陣形式xn x1yn y1zn z1 xm1yyxn xn 1 yn yn 1 zn zn 1 zmn 1或?qū)懗?fxn -x1yn-y1zn-z1其中 Axn-xn-1 yn-yn-1 zn -zn-1由此，可以通過(guò)選擇合適的站址，使 rank(A)=3, 由上式可解得目標(biāo)位置估計(jì)值X? (AT A)-1 AT f定義： (AT A)-1 AT nij3(n-1) 則得到目標(biāo)位置估值的三個(gè)分量為5.3.1.2 算法優(yōu)缺點(diǎn)分析1. 算法優(yōu)點(diǎn)此算法的原理是通過(guò)一般的矩陣 f ，得出目標(biāo)位置估計(jì)值， 及分量， 所以，在滿足算法條件的前提下， 算

22、法能在軟件較容易地實(shí)現(xiàn)， 并得到比較好的 結(jié)果。2. 算法缺點(diǎn)要實(shí)現(xiàn)此算法， 需滿足雷達(dá)站址可選擇這個(gè)條件， 而根據(jù)題目條件及問(wèn)題要 求，無(wú)法用此算法解決問(wèn)題三?；谧钚》讲畹目紤]誤差非線性規(guī)劃定位算法5.3.2.1 算法原理及模型建立1.以距離測(cè)量誤差 t 代替總測(cè)量誤差 由于每個(gè)雷達(dá)在測(cè)量自身坐標(biāo)和飛行物到各雷達(dá)的距離都存在測(cè)量誤差， 導(dǎo) 致目標(biāo)位置到雷達(dá)的真實(shí)距離與測(cè)量距離存在大小不一的差值。 顯然，在此種狀 態(tài)下，通過(guò)雷達(dá)的測(cè)量數(shù)據(jù)是無(wú)法對(duì)目標(biāo)精確定位的， 而只能建立一定的誤差標(biāo) 準(zhǔn)，結(jié)合數(shù)據(jù)給出目標(biāo)位置的估計(jì)值。雷達(dá)的距離測(cè)量誤差具體服從正態(tài)分布 N(0, t ) ，坐標(biāo)誤差服從正態(tài)

23、分布N(0, r) ，經(jīng)過(guò)對(duì)問(wèn)題二的分析可知，坐標(biāo)誤差對(duì)精度的影響可以轉(zhuǎn)化為距離測(cè) 量誤差對(duì)精度的影響， 即分析坐標(biāo)誤差所帶來(lái)的距離誤差， 所以可結(jié)合兩種誤差， 可認(rèn)為總的測(cè)量誤差 e 服從正態(tài)分布 N(0, ) ，可記作 N(0, ) ；其中(1 ) t ， 0l 1為比例系數(shù)， 的大小具體由雷達(dá)系統(tǒng)布局與目標(biāo)飛行物的空間相對(duì)位置確定。由于 是 t 的線性函數(shù)，而且系數(shù) 小于 1，在某些雷達(dá)布局下， 的取t 對(duì)精度的影響，值為接近 0的數(shù)，所以，下面的推理過(guò)程只考慮距離測(cè)量誤差以達(dá)到距離測(cè)量誤差 t 的概率密度函數(shù)之積最小，得出相應(yīng)的結(jié)果。至于總測(cè) 量誤差對(duì)精度的影響，可以通過(guò)對(duì)最后的誤差乘

24、以系數(shù) (1 ) 及適當(dāng)處理得 到。2. 概率密度模型首先，可以認(rèn)為個(gè)雷達(dá)的測(cè)量誤差是相互獨(dú)立的，由此服從同一正態(tài)分布， 現(xiàn)考慮，距離測(cè)量誤差 t ，根據(jù)題目條件可知 t 服從正態(tài)分布 N(0, t ) ，即t N(0, t )，所以 t 以函數(shù)為其概率密度函數(shù)，其中 r 為目標(biāo)飛行物到雷達(dá)的真實(shí)距離與測(cè)量距離差；可 寫出各雷達(dá)的真實(shí)距離與測(cè)量距離差的表達(dá)式根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)， 目標(biāo)位置應(yīng)該的坐標(biāo)應(yīng)該落在各雷達(dá)距離誤差的概率 密度函數(shù)之積最大的地方最為合理 .由此可建立目標(biāo)函數(shù) S ，表示各雷達(dá)距離測(cè)量誤差 t(i) 的概率密度函數(shù)之乘積：分析其約束條件為s.t .z03. 問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換下

25、的模型簡(jiǎn)化首先，上述概率密度模型，是在充分考慮誤差服從正態(tài)分布的情況下建立的， 把使得各雷達(dá)距離測(cè)量誤差的概率密度函數(shù)之乘積最小的 ( x, y, z) 作為目標(biāo) 飛行物的位置坐標(biāo)，可以認(rèn)為結(jié)果是十分合理的；不過(guò)，由目標(biāo)函數(shù) S 的表達(dá)式可知， 不僅表達(dá)式本身很復(fù)雜， 而且在算法實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中，首先需要對(duì)參數(shù) t 進(jìn)行初值估算，才能給出有效的結(jié)果，而這一 點(diǎn)，在未知結(jié)果的情況下，往往是難以做到的；就此，可從目標(biāo)函數(shù) S 的表達(dá)式 入手，展開具體分析參數(shù)間的內(nèi)在關(guān)系， 在實(shí)現(xiàn)效果相同的情況下， 對(duì)原來(lái)的模型進(jìn)行簡(jiǎn)化；步驟如下：第i 個(gè)雷達(dá)距離測(cè)量誤差 t(i) 的概率密度函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)展開定義新的

26、目標(biāo)函數(shù)據(jù)此，求目標(biāo)函數(shù) S 的最大值問(wèn)題等價(jià)于求目標(biāo)函數(shù) S 的最小值問(wèn)題，進(jìn) 而可以使原來(lái)的概率密度模型得到簡(jiǎn)化。4. 基于最小方差的非線性規(guī)劃定位算法模型由以上的分析， 原來(lái)的概率密度模型可轉(zhuǎn)化為如下的以目標(biāo)位置坐標(biāo) ( x, y, z) 到各個(gè)雷達(dá) (xi,yi,zi) 距離與測(cè)量距離只差 r ( i ) e 的平方和最小為標(biāo)準(zhǔn)的非線性規(guī)劃模型，得出目標(biāo)位置的估計(jì)值， 對(duì)約束條件分析可知，目標(biāo)位置的 x 坐 標(biāo)、 y 坐標(biāo)并沒(méi)約束， z 坐標(biāo)約束為 z 0 綜述，建立此算法的非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：算法實(shí)現(xiàn)及模型求解本文在 Matlab 軟件上編程實(shí)現(xiàn)此算法，用到軟件中函數(shù)庫(kù)的 fminu

27、nc 函數(shù)來(lái) 具體實(shí)現(xiàn)非線性規(guī)劃的優(yōu)化， 在求解過(guò)程中，需要預(yù)先估計(jì)中目標(biāo)位置的初始值。表為通過(guò)合理選取目標(biāo)位置坐標(biāo)初值 (x0, y0,z0)( 20000,5000,20000) ，并利用題中所給的三組雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)，求解得出的相應(yīng)較優(yōu)化結(jié)果各組數(shù)據(jù)目標(biāo)位置坐標(biāo) ( x, y, z) 結(jié)果，及目標(biāo)函數(shù) S 的值：三組數(shù)據(jù)各雷達(dá)距離測(cè)量誤差 r (i ) e分布：結(jié)果分析與檢驗(yàn)1. 初值選取的依賴性對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)一，改變初值 (x0, y0,z0) ，得出相應(yīng)結(jié)果通過(guò)改變坐標(biāo)初值 (x0, y0,z0) 的給定，發(fā)現(xiàn)得出的結(jié)果也有相應(yīng)的變化， 在某些初值條件的結(jié)果甚至與真實(shí)值相差甚遠(yuǎn)。 由此可知，

28、 算法對(duì)于初值的選定由 一定的依賴性，經(jīng)過(guò)反復(fù)調(diào)試，得出如下結(jié)論：出現(xiàn)對(duì)初值選取的依賴及結(jié)果不收斂是因?yàn)樗惴▽?shí)現(xiàn)時(shí)用到的 fminunc 函數(shù)是通過(guò)迭代方法求目標(biāo)函數(shù)局部最優(yōu)解所造成的。盡管結(jié)果對(duì)初值選取有一定的依賴性，但可以通過(guò)觀察目標(biāo)函數(shù) S 的大 小來(lái)判斷給出的結(jié)果是否合理， 并通過(guò)逐步改進(jìn)初值的方法， 最終找到較優(yōu)化的 結(jié)果。當(dāng)給定的位置坐標(biāo)初值在此范圍內(nèi)40000 x0 4000040000 y0 40000400 z 0 40000時(shí)，可以認(rèn)為給出的結(jié)果為較合理的結(jié)果， 其中上述的范圍限定只是一種保守的 大概估計(jì)， 當(dāng)坐標(biāo)初值取值在上述范圍外， 即有可能出現(xiàn)結(jié)果甚至與真實(shí)值相差 甚

29、遠(yuǎn)的情況。2. 誤差分析由算法給出的三組數(shù)據(jù)結(jié)果的定位精度達(dá)到 1 米的數(shù)量級(jí)；比較三組數(shù)據(jù)結(jié) 果，發(fā)現(xiàn)第一組數(shù)據(jù)的求算結(jié)果最好，距離誤差的最小方差為 S =8.2087 ，即 定位精度的誤差小于 2.5-3 米，可認(rèn)為已經(jīng)達(dá)到了比較高的精度； 第二、 第三組 數(shù)據(jù)的距離誤差的最小方差分別為 47.0783 ，81.6301，即可以認(rèn)為相應(yīng)的地位精 度誤差在 6-8 米， 8-10 米之間；通過(guò)比較三組數(shù)據(jù)的雷達(dá)站址坐標(biāo)的不同，可以對(duì)造成三組數(shù)據(jù)結(jié)果誤差 不一的原因，給出下列解釋：第一組數(shù)據(jù)中的雷達(dá)站址網(wǎng)點(diǎn)分布相對(duì)分散， 雷達(dá)數(shù)目較多， 從而有可能 使得部分雷達(dá)的測(cè)量誤差的一部分得到抵消，這種

30、效果使最終的總誤差較小；第三組數(shù)據(jù)很明顯雷達(dá)站點(diǎn)相對(duì)比較少，只有 12 個(gè)，站址分布較集中， 使得最終的測(cè)量誤差較大；算法優(yōu)缺點(diǎn)分析 模型優(yōu)點(diǎn)：a. 理論分析方面，本算法是在結(jié)合了題目給出的誤差服從正態(tài)分布條件， 由概率密度模型簡(jiǎn)化而來(lái)的， 具有較強(qiáng)的針對(duì)性， 比較合理地解決本題目給出的 問(wèn)題。b. 經(jīng)簡(jiǎn)化了的本算法， 能比較容易地在 Matlab 等軟件上實(shí)現(xiàn)， 且實(shí)現(xiàn)了自 動(dòng)讀取數(shù)據(jù)， 給出位置坐標(biāo)及最小方差的功能， 可行性很強(qiáng)且具有一定的推廣應(yīng) 用價(jià)值。從得出的結(jié)果也能看出，算法所給出結(jié)果的精度達(dá)到 1 米的數(shù)量級(jí)，可 以認(rèn)為結(jié)果是相對(duì)精確的。模型缺點(diǎn) ：本算法忽略了坐標(biāo)測(cè)量誤差的影響，

31、 以距離誤差對(duì)精度的影響來(lái)替代總誤差 對(duì)精度的影響，這樣做所帶來(lái)的誤差大小取值是根據(jù)雷達(dá)布局與目標(biāo)飛行物的空 間相對(duì)位置決定的， 當(dāng)在雷達(dá)分布比較對(duì)稱， 飛行物位于所有雷達(dá)覆蓋面的中軸 上空時(shí)，誤差影響很小，可忽略不計(jì)，但當(dāng)雷達(dá)、目標(biāo)的空間位置關(guān)系不滿足這 種形狀且相差比較大時(shí)，由于不考慮坐標(biāo)誤差所導(dǎo)致的結(jié)果誤差會(huì)比較大。5-4 控制定位精度的建議5-4-1 通過(guò)提高測(cè)量精度來(lái)提高雷達(dá)定位精度測(cè)量值直接用于雷達(dá)定位的計(jì)算，由于測(cè)量量不單一，通過(guò)不確定度傳遞會(huì)使誤差值增大，導(dǎo)致最終計(jì)算結(jié)果誤差偏大，無(wú)法實(shí)現(xiàn)精確定位。措施：提高雷達(dá)自身精度，分析考慮外界因素的影響（如大氣層對(duì)電磁波 的影響，地球曲

32、率對(duì)所建立的坐標(biāo)的影響等） 。5-4-2 通過(guò)雷達(dá)合理布站來(lái)提高定位精度（1）通過(guò)增加雷達(dá)數(shù)目來(lái)提高定位精度 通過(guò)計(jì)算結(jié)果分析，第一組和第二組雷達(dá)定位的精度明顯大于第三組雷 達(dá)定位的精度。這是因?yàn)樵跍y(cè)量的過(guò)程中不可避免的存在不確定性因素和誤 差，而只有較少的測(cè)量數(shù)據(jù)就使得計(jì)算結(jié)果有較大的不確定性和偶然誤差， 這就使得定位結(jié)果偏離真實(shí)值較遠(yuǎn)而使雷達(dá)定位不準(zhǔn)確。如果有較多的測(cè)量 數(shù)據(jù)就會(huì)將這種不確定因素得以減弱，偶然誤差得以減小，從而使得定位較 精確。所以在要求高精度定位的情況下一定要保證雷達(dá)的數(shù)目。（2）定雷達(dá)數(shù)條件下的合理布站 在雷達(dá)數(shù)一定的前提下，雷達(dá)的布陣面積也會(huì)對(duì)雷達(dá)組的定位精度產(chǎn)生 相

33、應(yīng)的影響。在較分散的雷達(dá)組中，雷達(dá)組的受控面積較大，但在測(cè)區(qū)內(nèi)， 測(cè)量精度較集中布陣會(huì)有所降低。 所以集中式布陣常用于小范圍高精度監(jiān)控， 分散式布陣常用于大范圍測(cè)控。（3）雷達(dá)排布形狀對(duì)定位精度的影響在不能確定飛行物的方位和飛行方向時(shí)， 可以將雷達(dá)按正方形布陣， 這樣 就能在所有方位上都有較高的定位精度，同時(shí)還減少了雷達(dá)的盲區(qū)。（4）地理環(huán)境和外部環(huán)境的影響為了使雷達(dá)能有更大的監(jiān)控區(qū)域和更廣闊的視野， 在不考慮雷達(dá)的隱蔽性 和安全的情況下，應(yīng)該將雷達(dá)盡量布置在較高的地方，這樣可以減少周圍環(huán) 境和地形對(duì)雷達(dá)的定位精度和監(jiān)控區(qū)域的影響。此外，雷達(dá)應(yīng)盡量遠(yuǎn)離電磁 波輻射較強(qiáng)的區(qū)域，避免額外電磁波對(duì)反

34、射電磁波的干擾。綜上所述，在實(shí)際的雷達(dá)排布中應(yīng)根據(jù)具體情況來(lái)按照上面所給的建議 交叉布陣。六、模型的評(píng)價(jià)及改進(jìn)6-1 模型優(yōu)點(diǎn)：模型通俗易懂，模型的結(jié)果可以通過(guò) Matlab 等軟件計(jì)算獲得。模型應(yīng)用范圍廣，可推廣到很多領(lǐng)域，如 GPS全球定位系統(tǒng)。準(zhǔn)確性高，通過(guò)三基雷達(dá)雷達(dá)子系統(tǒng)可確定多組值，得到雷達(dá)距離誤 差和坐標(biāo)誤差與影響定位精度的關(guān)系，以便為采取體噶定位精度的方案提供 科學(xué)依據(jù)。理論分析方面，基于最小方差的考慮誤差非線性規(guī)劃定位算法模型是 在結(jié)合了題目給出的誤差服從正態(tài)分布條件，由概率密度模型簡(jiǎn)化而來(lái)的， 具有較強(qiáng)的針對(duì)性，比較合理地解決本題目給出的問(wèn)題。6-2 模型缺點(diǎn)：1. 數(shù)據(jù)多

35、，而且所得的數(shù)據(jù)本身就有測(cè)量上的誤差，較多因素未考慮進(jìn) 去，沒(méi)有考慮各個(gè)因素之間的關(guān)系，認(rèn)為他們彼此獨(dú)立，雖然簡(jiǎn)化了模型， 但是降低了其結(jié)果的精確性。2. 雷達(dá)布置的要求按有規(guī)定計(jì)算的位置，具有一定的局限性，在現(xiàn)實(shí)應(yīng) 用中可能達(dá)不到設(shè)計(jì)的布置要求而影響定位精度。基于最小方差的考慮誤差非線性規(guī)劃定位算法模型忽略了坐標(biāo)測(cè)量 誤差的影響，以距離誤差對(duì)精度的影響來(lái)替代總誤差對(duì)精度的影響，這樣做 所帶來(lái)的誤差大小取值是根據(jù)雷達(dá)布局與目標(biāo)飛行物的空間相對(duì)位置決定 的，當(dāng)在雷達(dá)分布比較對(duì)稱，飛行物位于所有雷達(dá)覆蓋面的中軸上空時(shí)，誤 差影響很小，可忽略不計(jì)，但當(dāng)雷達(dá)、目標(biāo)的空間位置關(guān)系不滿足這種形狀 且相差比

36、較大時(shí)，由于不考慮坐標(biāo)誤差所導(dǎo)致的結(jié)果誤差會(huì)比較大七、參考文獻(xiàn)劉瓊蓀，龔劬，何中市，傅鸝，任善強(qiáng)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)， 北京：高等教育出版社， 2004姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社， 2006孫力勇，張焰，蔣傳文， 基于矩陣實(shí)數(shù)編碼遺傳算法求解大規(guī)模機(jī)組組合問(wèn) 題，中國(guó)機(jī)電工程學(xué)報(bào)，第 26 卷（ 2期）， 2006趙東方，數(shù)學(xué)模型與計(jì)算，北京：科學(xué)出版社， 2007張寶封，劉同佩，韓燕，沈晶歆基于 TOA的三維空間定位算法研究 計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì) 第 28 卷 第 14 期 ：33643366頁(yè) 200707胡 旺, 李志蜀一種更簡(jiǎn)化而高效的粒子群優(yōu)化算法 軟件學(xué)報(bào) 第 18 卷

37、 第 4 期 ：861868 頁(yè) 200704趙振山 多傳感器組合定位方法及誤差分析 學(xué)位論文王 鵬，沈 鋒，陳國(guó)宇 區(qū)域無(wú)線電導(dǎo)航系統(tǒng)中幾何精度因子的分析 應(yīng)用 科技 第 34 卷第 4 期 2007.4孫仲康等，單多基地有源無(wú)源定位技術(shù)，北京，國(guó)防工業(yè)出版社 ,1996 。孫仲康 周一宇 何黎星，單多基地有源無(wú)源定位技術(shù) ，北京： 國(guó)防工業(yè)出 版社 ,1996 年10 趙樹強(qiáng)，三站雷達(dá)聯(lián)測(cè)定位技術(shù)及應(yīng)用，西安衛(wèi)星測(cè)控中心，西安 710043熊永紅，張昆實(shí)，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn) ，北京 ，科學(xué)出版社， 2007楊振起，張永順，駱永軍 . 雙（多）基地雷達(dá)系統(tǒng) M北 京：國(guó)防工業(yè)出版社， 1998孫仲

38、康，周一宇，何黎星 . 單多基地有源無(wú)源定位技術(shù) M北京：國(guó)防工 業(yè)出版社， 1996陳建春，丁鷺飛 . 雙基地雷達(dá)最佳定位算法 J西安 電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)， 1999 ， 21（9）：18-21何黎星 孫仲康，雙基地及其聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)的定位方法及精度分析 J ，航空學(xué) 報(bào)，14卷 9期： A542-A545頁(yè)， 1993年孫仲康，等，單多基地有源無(wú)源定位技術(shù) M ，北京：國(guó)防工業(yè)出版社， 1996年常軍機(jī)載雷達(dá)目標(biāo)的大地坐標(biāo)定位 J 電訊技術(shù)， 2003，43(2) ：97 100常軍，佟力雷達(dá)多目標(biāo)在數(shù)字地圖下的高速顯示 J 信息與電子工程， 2004，(6) ： 114117趙振山，楊萬(wàn)海，組網(wǎng)雷達(dá)對(duì)目標(biāo)三維定位精度仿真分析 J 電子對(duì)抗技 術(shù)， 2003，18(1) ：3942八、附錄附件第一組：地面點(diǎn) X-1地面點(diǎn) Y-1地面點(diǎn) Z-1距離66501430040250.773351430040796.1