復(fù)數(shù)、積分的相關(guān)概念及運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)、積分的相關(guān)概念及運(yùn)算2016年3月24日11 目錄22常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二階常微分方程的解法3歐拉公式的證明4常用的三角函數(shù)5單自由度系統(tǒng)公式的求解6 目錄33常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二階常微分方程的解法3歐拉公式的證明4常用的三角函數(shù)5單自由度系統(tǒng)公式的求解6一、復(fù)數(shù)的概念44一、常微分方程的概念階數(shù)55 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高次數(shù)，稱為微分方程的階數(shù)。一階二階一階一、常微分方程的概念方程的解66引例2 使方程成為恒等式的函數(shù).通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同.特解引例1 通解:特解:微分方程的解 不含任

2、意常數(shù)的解. 一、常微分方程的概念初值問題77初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.常微分方程初始條件問題一階:過定點(diǎn)的積分曲線;二階:一、常微分方程的概念88解微分方程初始條件通解特解 目錄99常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二階常微分方程的解法3歐拉公式的證明4常用的三角函數(shù)5單自由度系統(tǒng)公式的求解6二、一階常微分方程可分離變量的方程1010形如的 微分方程，稱為可分離變量方程。二、一階常微分方程可分離變量的方程1111二、一階常微分方程齊次方程1212，形如 的方程，稱為齊次方程。二、一階常微分方程一階線性齊次方程1313二、一階常微分

3、方程一階線性齊次方程1414二、一階常微分方程一階線性齊次方程1515二、一階常微分方程伯努利方程1616 目錄1717常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二階常微分方程的解法3歐拉公式的證明4常用的三角函數(shù)5單自由度系統(tǒng)公式的求解6三、二階常微分方程可降階的二階常微分方程1818三、二階線性微分方程1919三、二階常微分方程的定理2020三、二階常微分方程的定理2121三、二階常系數(shù)線性微分方程2222三、二階常系數(shù)線性微分方程2323三、二階常系數(shù)線性微分方程2424三、二階常系數(shù)線性微分方程2525三、二階常系數(shù)線性微分方程2626三、二階常系數(shù)線性微分方程2727三、二階常系數(shù)線性

4、微分方程2828三、二階常系數(shù)線性微分方程2929三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程3030三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程3131三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程3232三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程3333三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程3434三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程3535 目錄3636常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二階常微分方程的解法3歐拉公式的證明4常用的三角函數(shù)5單自由度系統(tǒng)公式的求解6四、歐拉方程的證明3737四、歐拉方程的證明3838ex=1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + 在ex的展開式中把x換成ix因?yàn)?i)2=-1,

5、(i)3=i, (i)4=1 e+ix=1 + ix/1! - x2/2! - x3/3! + x4/4! =(1 - x2/2! +)+i(x - x3/3!)cos x=1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! sin x=x - x3/3! + x5/5! - x7/7! eix=cosx+isinx 目錄3939常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二階常微分方程的解法3歐拉公式的證明4常用的三角函數(shù)5單自由度系統(tǒng)公式的求解6五、常用的三角函數(shù)4040sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(

6、A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tan(A-B) =三角和公式sin a+sin b=2sincossin a -sin b=2cossincos a+cos b=2coscoscos a-cos b=-2sinsin和差化積公式tan a+tan b =五、常用的三角函數(shù)4141asin a+bcos a =sin(a+c) (其中tan c= )asin a-bcos a =cos(a-c) (其中tan c= ) 目錄4242常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二階常微分方程的解法3歐拉公式

7、的證明4常用的三角函數(shù)5單自由度系統(tǒng)公式的求解6單自由度無阻尼系統(tǒng)4343 取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向上為正。 此時(shí)彈簧的變形為 z ls ，而作用于質(zhì)量上的力有重力mg，方向朝下。 在撤消外力的瞬時(shí)，應(yīng)用牛頓第二定律，可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 彈簧的彈性力是k(z ls)，彈性力的特點(diǎn)是：始終使質(zhì)量恢復(fù)到平衡狀態(tài)，故此時(shí)其方向也是向下： 即k未受外力作用，處于自由狀態(tài)的彈簧lsmg受重力mg作用，彈簧被壓縮zT單自由度無阻尼系統(tǒng)4444 由于kls= mg，故式(12-1)可簡化為： 由上式可知，質(zhì)量m所受的合外力是：-kz，其方向則始終與彈簧的變形方向相反，指向坐標(biāo)原點(diǎn)。因?yàn)檫@個(gè)力總是起著使物體

8、恢復(fù)到平衡位置的作用，故稱彈性恢復(fù)力。 現(xiàn)在用m除式(12-2)，并引入符號(hào)，令k / m=2，則上式可改寫為 z= c1 cos t + c2 sin t五、常用的三角函數(shù)4545單自由度有阻尼系統(tǒng)4646 它受到的合力是重力、彈性力和阻尼力 之和，即 當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到位置z處時(shí)， 阻尼衰減振動(dòng)zmgkckc 圖12-7表示有粘性阻尼的自由振動(dòng)系統(tǒng)， k(z ls)根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可得物體運(yùn)動(dòng)微分方程令c / m =2a ，k / m=2，然后用m遍除方程各項(xiàng)，則有 cz.= kls單自由度有阻尼系統(tǒng)4747二階齊次線性微分方程特征根1. 欠阻尼狀態(tài) 即 令c1=Bsin， c2=Bcos，應(yīng)

9、用三角變換可得單自由度有阻尼系統(tǒng)48482. 過阻尼狀態(tài) 即單自由度有阻尼系統(tǒng)49493 臨界阻尼狀態(tài)，即 此時(shí)特征方程 特征根為：r1 = r2 = -a，z e t (c1 c2 t)單自由度有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)5050kcUz(t) 12.3.2 有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 圖中Uz(t) =Usin pt 表示作用在質(zhì)量體上的簡諧激振力。其中 U表示激振力幅值，p是激振頻率。由于重力已被kls平衡，故不再示出。該系統(tǒng)除了多一個(gè)激振力作用于物體之外，其它與自由振動(dòng)完全相同。故只要在有阻尼自由振動(dòng)方程式的(12.11)右邊加上激振力一項(xiàng)，即可得到系統(tǒng)作強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程zkc kz Uz(t)Uz(t)(12-20)仍令：c / m =2，k / m = 2，且令：U / m = u，則上式可化為如下形式： cz.單自由度有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)5151根據(jù)前面二階常系