2023年考研數(shù)學(xué)二試題及答案

1、超級狩獵者2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題此題共5小題，每題3分，總分值15分把答案填在題中橫線上1設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，那么_【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的左極限和右極限、函數(shù)連續(xù)的概念【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點(diǎn)：假設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，那么有;解析：在處連續(xù)即2位于曲線,下方，軸上方的無界圖形的面積是_【答案】1【考點(diǎn)】定積分的幾何應(yīng)用平面圖形的面積【難易度】【詳解】解析：所求面積為其中，.3微分方程滿足初始條件，的特解是_【答案】【考點(diǎn)】可降階的高階微分方程【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點(diǎn)：可降階的高階微分方程,假設(shè)缺，那么令.解析：方法1：將改寫為，從而得

2、.以初始條件代入，有，所以得.即，改寫為.解得.再以初值代入，所以應(yīng)取且.于是特解.方法2：這是屬于缺的類型.命.原方程化為，得或即，不滿足初始條件，棄之，由按別離變量法解之，得由初始條件可將先定出來：.于是得,解之，得.以代入，得，所以應(yīng)取“+號且.于是特解是.4_ 【答案】【考點(diǎn)】定積分的概念【難易度】【詳解】解析：記 所以 .5矩陣的非零特征值是_ 【答案】4【考點(diǎn)】矩陣的特征值的計算【難易度】【詳解】解析：故是矩陣的非零特征值.另一個特征值是(二重) 二、選擇題此題共5小題，每題3分，總分值15分每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)1設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，

3、當(dāng)自變量在處取得增量時，相應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為，那么 A1B0.1C1D0.5【答案】D【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點(diǎn)： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 為的線性主部； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT ；解析：在可導(dǎo)條件下，.當(dāng)時稱為的線性主部，現(xiàn)在，以代入得，由題設(shè)它等于0.1，于是，應(yīng)選D.2設(shè)函數(shù)連續(xù)，那么以下函數(shù)中必為偶函數(shù)的是 ABCD【答案】D【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】解析：為的奇函數(shù)，為的偶函數(shù)，D正確，A、C是的奇函數(shù)，B可能非奇非偶.例如，均不選.3設(shè)是二

4、階常系數(shù)微分方程滿足初始條件的特解，那么當(dāng)時，函數(shù)的極限 A不存在B等于1C等于2D等于3【答案】C【考點(diǎn)】洛必達(dá)法那么、佩亞諾型余項(xiàng)泰勒公式【難易度】【詳解】解析：方法1：方法2：由.由佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開，有，代入，有.4設(shè)函數(shù)在內(nèi)有界且可導(dǎo)，那么 A當(dāng)時，必有B當(dāng)存在時，必有C當(dāng)時，必有D當(dāng)存在時，必有【答案】B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念【難易度】【詳解】解析：方法1：排斥法A的反例它有界，但不存在.(C)與(D)的反例同A的反例.,但，C不成立；，D也不成立.A、C、D都不對，應(yīng)選B方法2：證明B正確.設(shè)存在，記為，求證.用反證法，設(shè).假設(shè)，那么由保號性知，存在，當(dāng)時,在區(qū)間上對用拉格朗日中

5、值定理知,有，從而有，與有界矛盾.類似可證假設(shè)亦矛盾.5設(shè)向量組線性無關(guān)，向量可由線性表示，而向量不能由線性表示，那么對于任意常數(shù)，必有 A線性無關(guān)B線性相關(guān)C線性無關(guān)D線性相關(guān)【答案】A【考點(diǎn)】向量的線性表示【難易度】【詳解】解析：方法1：對任意常數(shù)，向量組，線性無關(guān).用反證法，假設(shè)，線性相關(guān)，因線性無關(guān)，故可由線性表出.設(shè),因可由線性表出，設(shè)為代入上式，得這和不能由線性表出矛盾.故向量組，線性無關(guān)，應(yīng)選A.方法2：用排除法取，向量組，即，線性相關(guān)不成立，排除B.取，向量組，即，線性無關(guān)不成立，排除C.時，線性相關(guān)不成立證法與方法1類似，當(dāng)時，選項(xiàng)A、D向量組是一樣的，但結(jié)論不同，其中A成立

6、，顯然D不成立.排除D.三、此題總分值6分曲線的極坐標(biāo)方程是，求該曲線上對應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程 【考點(diǎn)】平面曲線的切線、平面曲線的法線【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點(diǎn)： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 切線方程： = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 法線方程：解析：極坐標(biāo)曲線化成直角坐標(biāo)的參數(shù)方程為 即曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的直角坐標(biāo)為于是得切線的直角坐標(biāo)方程為，即法線方程為即. 四、此題總分值7分設(shè)求函數(shù)的表達(dá)式 【考點(diǎn)】定積分的分部積分法、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【難易度】【詳解】解析：當(dāng)時當(dāng)時，所以五、此題總分值7分函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足求 【考點(diǎn)】導(dǎo)

7、數(shù)的概念、一階線性微分方程【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點(diǎn)：；，其中可以代表任何形式；解析：，從而得到 于是推得 ， 即 解此微分方程，得 改寫成 再由條件，推得，于是得六、此題總分值7分求微分方程的一個解，使得由曲線與直線以及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體的體積、一階線性微分方程、函數(shù)的最大值與最小值【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點(diǎn)：解析：一階線性微分方程，由通解公式有由曲線與及軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 ,令,得又，故為的惟一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，于是所求曲線為七、此題總分值7分某閘門的形狀與大小如下列圖，其中直線l為對稱軸

8、，閘門的上部為矩形ABCD，下部由二次拋物線與線段AB所圍成當(dāng)水面與閘門的上端相平時，欲使閘門矩形局部承受的水壓力與閘門下部承受的水壓力之比為，閘門矩形局部的高h(yuǎn)應(yīng)為多少米？【考點(diǎn)】定積分的物理應(yīng)用壓力【難易度】【詳解】解析：建立坐標(biāo)系，細(xì)橫條為面積微元，面積微元，因此壓力微元 平板上所受的總壓力為 其中以代入，計算得 .拋物板上所受的總壓力為 其中由拋物線方程知，代入，計算得 ，由題意，即， 解之得米舍去，即閘門矩形局部的高應(yīng)為.八、此題總分值8分設(shè)，證明數(shù)列的極限存在，并求此極限 【考點(diǎn)】數(shù)列的極限【難易度】【詳解】解析：方法1：考慮1 所以當(dāng)，即當(dāng)，數(shù)列有上界.再考慮2.所以單調(diào)增加.單

9、調(diào)增加數(shù)列有上界，所以存在，記為(3)由兩邊取極限，于是得 得或，但因且單調(diào)增，故，所以.方法2：由知及均為正數(shù)，故設(shè)，那么 由數(shù)學(xué)歸納法知，對任意正整數(shù)有.所以單調(diào)增，單調(diào)增加數(shù)列有上界，所以存在，記為.再由兩邊命取極限，得,或，但因且單調(diào)增加，故，所以. 九、此題總分值8分設(shè)，證明不等式【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】【詳解】解析：左、右兩個不等式分別考慮先證左邊不等式，方法1：由所證的形式想到試用拉格朗日中值定理.而 .其中第二個不等式來自不等式當(dāng)時，這樣就證明了要證明的左邊.方法2：用單調(diào)性證，將改寫為并移項(xiàng)，命，有.當(dāng)，而推知當(dāng)時，以代入即得證明.再證右邊不等式，用單調(diào)性證，將改寫

10、為并移項(xiàng)，命有，及所以當(dāng)時，再以代入，便得即.右邊證畢.十、此題總分值8分設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且.證明：存在惟一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時，是比高階的無窮小 【考點(diǎn)】無窮小的比較，洛必達(dá)法那么【難易度】【詳解】解析：方法1：由題目，去證存在唯一的一組,由此知，分子極限應(yīng)為0，由在連續(xù)，于是推知，應(yīng)有 1由洛必達(dá)法那么， 2分子的極限為，假設(shè)不為，那么式1應(yīng)為，與原設(shè)為矛盾，故分子的極限應(yīng)是，即 3對2再用洛必達(dá)法那么，由，故應(yīng)有 4將1、3、4聯(lián)立解之，由于系數(shù)行列式由克萊姆法那么知，存在唯一的一組解滿足題設(shè)要求，證畢.方法2：由佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式 代入，上面中第二項(xiàng)極限為0，所以第一項(xiàng)中應(yīng)有 由于系數(shù)行列式由克萊姆法那么知，存在唯一的一組解滿足題設(shè)要求，證畢.十一、此題總分值6分為階矩陣，且滿足，其中是階單位矩陣1證明：矩陣可逆；2假設(shè)，求矩陣 【考點(diǎn)】逆矩陣的概念、矩陣的計算【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點(diǎn)：假設(shè)有那么稱互逆.解析：1由題設(shè)條件兩邊左乘，得 即 得證可逆且.(2) 方法1：由1結(jié)果知故 .方法2：由題設(shè)條件 等式兩邊左乘，得 那么求過程見方法1.十二、此題總分值6分階方陣均為維列向量，其中線性無關(guān)，如果，求線性方程組的通解【考點(diǎn)】線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)、非齊次線性方程組的根