2023年考研數(shù)學(xué)一真題與解析2

1、PAGE PAGE 82023年考研數(shù)學(xué)一真題一、選擇題 18小題每題4分，共32分假設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，那么ABCD【詳解】，要使函數(shù)在處連續(xù)，必須滿足所以應(yīng)該選A2設(shè)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，那么A BCD【詳解】設(shè)，那么，也就是是單調(diào)增加函數(shù)也就得到，所以應(yīng)該選C3函數(shù)在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)為AB(CD【詳解】，所以函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為，所以在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)為應(yīng)該選D甲、乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10單位：米處，如圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線單位：米/秒，虛線表示乙的速度曲線單位：米/秒，三塊陰影局部的面積分別為，計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻為，那么 A BC D【詳解】由定積分的物理意

2、義：當(dāng)曲線表示變速直線運(yùn)動的速度函數(shù)時(shí)，表示時(shí)刻內(nèi)所走的路程此題中的陰影面積分別表示在時(shí)間段內(nèi)甲、乙兩人所走路程之差，顯然應(yīng)該在時(shí)乙追上甲，應(yīng)該選C5設(shè)為單位列向量，為階單位矩陣，那么A不可逆 B不可逆C不可逆 D不可逆【詳解】矩陣的特征值為和個，從而的特征值分別為；顯然只有存在零特征值，所以不可逆，應(yīng)該選A6矩陣，那么A相似，相似 B相似，不相似C不相似，相似 D不相似，不相似【詳解】矩陣的特征值都是是否可對解化，只需要關(guān)心的情況對于矩陣，秩等于1 ，也就是矩陣屬于特征值存在兩個線性無關(guān)的特征向量，也就是可以對角化，也就是對于矩陣，秩等于2 ，也就是矩陣屬于特征值只有一個線性無關(guān)的特征向量，

3、也就是不可以對角化，當(dāng)然不相似應(yīng)選擇B7設(shè)是兩個隨機(jī)事件，假設(shè)，那么的充分必要條件是ABC D【詳解】由乘法公式：可得下面結(jié)論：類似，由可得所以可知選擇A8設(shè)為來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，假設(shè)，那么以下結(jié)論中不正確的是 A服從分布 B服從分布 C服從分布 D服從分布解：1顯然且相互獨(dú)立，所以服從分布，也就是A結(jié)論是正確的；2，所以C結(jié)論也是正確的；3注意，所以D結(jié)論也是正確的；4對于選項(xiàng)B：，所以B結(jié)論是錯誤的，應(yīng)該選擇B二、填空題此題共6小題，每題4分，總分值24分. 把答案填在題中橫線上9函數(shù)，那么解：由函數(shù)的馬克勞林級數(shù)公式：，知，其中為展開式中的系數(shù)由于，所以10微分方程的通解為【詳解

4、】這是一個二階常系數(shù)線性齊次微分方程，特征方程有一對共共軛的根，所以通解為11假設(shè)曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，那么.【詳解】設(shè)，顯然 在區(qū)域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，由于與路徑無關(guān)，所以有12冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)為【詳解】所以13設(shè)矩陣，為線性無關(guān)的三維列向量，那么向量組的秩為【詳解】對矩陣進(jìn)行初等變換，知矩陣A的秩為2，由于為線性無關(guān)，所以向量組的秩為214設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，那么【詳解】隨機(jī)變量的概率密度為，所以三、解答題15此題總分值10分設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，【詳解】，；16此題總分值10分求【詳解】由定積分的定義17此題總分值10分函數(shù)是由方程【詳解】在

5、方程兩邊同時(shí)對求導(dǎo)，得 1在1兩邊同時(shí)對求導(dǎo)，得也就是令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值18此題總分值10分設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：1方程在區(qū)間至少存在一個實(shí)根；2方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實(shí)根證明：1根據(jù)的局部保號性的結(jié)論，由條件可知，存在，及，使得，由于在上連續(xù)，且，由零點(diǎn)定理，存在，使得，也就是方程在區(qū)間至少存在一個實(shí)根；2由條件可知，由1可知，由洛爾定理，存在，使得；設(shè)，由條件可知在區(qū)間上可導(dǎo)，且，分別在區(qū)間上對函數(shù)使用爾定理，那么存在使得，也就是方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實(shí)根19此題總分值10分設(shè)薄片型是圓錐面被柱面所割下的有限局部，其上任一

6、點(diǎn)的密度為，記圓錐面與柱面的交線為1求在布上的投影曲線的方程；2求的質(zhì)量【詳解】1交線的方程為，消去變量，得到所以在布上的投影曲線的方程為2利用第一類曲面積分，得20此題總分值11分設(shè)三階矩陣有三個不同的特征值，且1證明：；2假設(shè)，求方程組的通解【詳解】1證明：因?yàn)榫仃囉腥齻€不同的特征值，所以是非零矩陣，也就是假假設(shè)時(shí)，那么是矩陣的二重特征值，與條件不符合，所以有，又因?yàn)椋簿褪蔷€性相關(guān)，也就只有2因?yàn)椋缘母捉庀抵兄挥幸粋€線性無關(guān)的解向量由于，所以根底解系為；又由，得非齊次方程組的特解可取為；方程組的通解為，其中為任意常數(shù)21此題總分值11分設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，求的值及一個正交矩陣【詳解】二次型矩陣因?yàn)槎涡偷臉?biāo)準(zhǔn)形為也就說明矩陣有零特征值，所以，故令得矩陣的特征值為通過分別解方程組得矩陣的屬于特征值的特征向量，屬于特征值特征值的特征向量，的特征向量，所以為所求正交矩陣22此題總分值11分設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度為1求概率；2求的概率密度【詳解】1所以2的分布函數(shù)為故的概率密度為23此題總分值11分某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做了次測量，該物體的質(zhì)量是的，設(shè)次測量結(jié)果相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布該工程師記錄的是次測量的絕對誤差，利用估計(jì)參數(shù)1求的