用一條直線將一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形的條件的探究高品質(zhì)版

1、用一條直線將一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形的條件的探究三新學(xué)校馬艷玲探究目標(biāo) 探究把特殊的三角形分割成兩個(gè)等腰三角形， 形的三角形所具備的條件； 進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論及由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法； 培養(yǎng)自主探究、分工合作的意識(shí)，提高分析問題、解決問題的能力。1、2、3、進(jìn)而探究能被一條直線分割成兩個(gè)等腰三角探究的重點(diǎn)、難點(diǎn) 探究能被一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形的三角形所具備的條件。 預(yù)備知識(shí) 等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì) 問題提出 上海市九年義務(wù)教育七年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)課本 第 110 頁(yè)上有這樣一道題目：已 知 ABC 的 三 個(gè) 內(nèi) 角 度 數(shù) 分 別 為 A=10

2、0 ， B=60 ， C=20 ，試畫一條直線 MN ，將這個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形。 研究過程三角形是平面幾何最簡(jiǎn)單的直線型封閉圖形， 三角形的知識(shí)是進(jìn)一步探究學(xué)習(xí)其他圖形性質(zhì)和特征的基礎(chǔ)； 探索三角形的有關(guān)知識(shí)，那么今天我們將進(jìn)一步深入的探究有關(guān)于三角形的知識(shí)。用一條直 線把一個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形。一、 直角三角形的分割 例題 1 如圖 1-1，已知 Rt ABC ， C=90 成兩個(gè)等腰三角形。解：過直角頂點(diǎn) C 作 ACD=45 （圖 1-2）。，交所以我們用了近兩周的時(shí)間去， CA=CB 試畫一條直線 MN ，將這個(gè)三角形分割A(yù)B 于點(diǎn) D ，則 CD 所在的直線就是所要畫

3、的直線AA例題 2 如圖 2-1，已知 Rt ABC ， 分割成兩個(gè)等腰三角形。解：過點(diǎn) A 作 ACE=60 ，交 AB 于點(diǎn) E,CE所在的直線就是所要畫的直線 （圖 2-2）。 C=90， A=60 ，試畫一條直線 MN ，將這個(gè)三角形圖2-1追問：任意的直角三角形都可以被一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形嗎？討論 小結(jié)：任意的直角三角形都可以用一條直線把它分割成兩個(gè)等腰三角形；所做直線必過直角 頂點(diǎn)，且與直角頂點(diǎn)所對(duì)的邊相交。二、已知角度的一般三角形的分割例題 3 如圖 3-1， 已知 ABC 的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為 A=100 ， B=60， C=20， 試畫一條直線 MN ，將這個(gè)三角形分

4、成兩個(gè)等腰三角形。解：在 ABC 內(nèi)作 ABD=40 ，BD 和 AC 相交于點(diǎn) D.由 DBC=20 ,得 DBC= C， 從而 BDC 為等腰三角形。又由 ADB= DBC+C=40,得ADB= ABD, 從而 ABD 為 等腰三角形。因此， BD 所在的直線就是要畫的直線（圖 3-2 ）。問題 1、此三角形還有別的分割方法嗎？問題 2、從以上三個(gè)例子思考，要想用一條直線將三角形分割為兩個(gè)三角形，這條直線應(yīng) 具有什么特征？小結(jié)：要想用一條直線將三角形分割為兩個(gè)三角形，那么該直線必須經(jīng)過三角形的某個(gè) 頂點(diǎn)，并與該頂點(diǎn)所對(duì)的邊相交。那么是不是所有的三角形都可以被一條直線分割為兩個(gè)等腰三角形呢？

5、適當(dāng)改變例 3 的條件，得下例：例題 4 已知 ABC 的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為 A=110 ， B=50， C=20，試說明能否用一條直線將此三角形分割為兩個(gè)等腰三角形。分析：為了列舉所有可能的分割，應(yīng)以三角形的不同 頂點(diǎn)作為討論的依據(jù)。1過頂點(diǎn) C 的直線C最小，A 最大，且為鈍角， 因此對(duì)于邊 AB 上的任意一點(diǎn) P， APC 都不可能為等腰三角形，這 是因?yàn)?A 不可能是等腰三角形的底角，又由于在 ABC 中，C 最小， APC 是BCP 的外角，所 以APCBC,所以 A 不可能是等腰三角形 的頂角，這就是說過點(diǎn) C 的直線不可能將三角形分 割為兩個(gè)等腰三角形。2過頂點(diǎn) B 的直線對(duì)于邊

6、 AC 上的任意一點(diǎn) Q ，由于 A 為鈍角， 因此 A 只可能是等腰三角形的頂角，同樣由于 BQC A ，因此 BQC 也只能作為等腰三角形的頂 角。因此過點(diǎn) B 的直線能將 ABC 分割為兩個(gè)等腰 三角形，只需考慮兩種情形，其一是先滿足 ABQ等于 AQB ，然后看 QBC 能否等于 QCB , 其 二 是先滿足 QBC 等于 QCB ，然后 看 ABQ 能否等于 AQB 。（圖 4-2）（ 1） 如果在 ABC 內(nèi)作 ABD ，使點(diǎn) D 在 AC 上，且使 ABD=35 ,則可得 ADB=35 ,從而 ABD 為等腰三角形，但此時(shí) DBC=50 35 =15 ，顯然 BDC 不為等腰三角

7、形。（2） 如果在 ABC 內(nèi)作 ABE ，使點(diǎn) E 在 AC 上，且使 EBC=20 ,則可得 EBC 為等腰三角 形，但此時(shí) ABE=50 20 =30，AEB=40 顯然 ABE 不為等腰三角形。3過點(diǎn) A 的直線可先考慮點(diǎn) R 為等腰三角形的頂點(diǎn)，分兩種情 況，其一先滿足 RAB 等于 RBA ，看 RAC 能否 為等腰三角形，其二滿足 RAC 等于 RCA ，看 RAB 能否為等腰三角形。其次可假定點(diǎn)B（或 C）為等腰三角形的頂點(diǎn)，滿足 BAR= BRA,看 RAC 能 否為等腰三角形， （或滿足 CAR= CRA, 看 ABR 能否為等腰三角形） ，再次可假定點(diǎn) A 為頂點(diǎn)，先滿

8、足 ABR= ARB ，看 ACR 能否為等腰三角形。（1） 如果在 BAC 內(nèi)作 BAG=50 ,且使 G 在 BC 上 ， 則 BAG 為 等 腰 三 角 形 ， 但此 時(shí) CAG=60 , AGC=100 ，故 ACG 不為等腰三 角形。（2）如果在 BAC 內(nèi)作 CAF=20 ,且使點(diǎn) F 在 BC 上，則 ACF 為等腰三角形，但此時(shí) BAF=110 -20=90, AFB =40，故 ABF 不為等腰三角形。（3） 如果在 BAC 內(nèi)作 BAH=65 ,且使 H 在 BC 上，則 AHB=65 ,ABH 為等腰三角形， 但此時(shí) CAH=45 , AHC=115 ,故 ABF 不 為

9、等腰三角形。（4）如果在 BAC 內(nèi)作 CAI=80 ,且使點(diǎn) I在 BC 上，則 AIC=80 ,AIC 為等腰三角形， 但此時(shí) BAI=30 , AIB=100 ,故 ABI 不為等腰三角形。（5）如果在 BAC 內(nèi)作 BAJ=80 ,且 使點(diǎn) J 在 BC 上，則 AJB=50 , ABJ 為等 腰三角形，但此時(shí) CAJ=30 , AJC=130, 故ACJ 不為等腰三角形8030505013020會(huì)，經(jīng)歷的很多人或事，不應(yīng)該都是單位或者工作嗎？怎么會(huì)是要感恩父母呢？沒錯(cuò)，我最最想要感恩的就是我們爸爸和媽媽！為什么呢？且聽我慢慢道來(lái)！每一年的母親節(jié)和父親節(jié)，都只有一根據(jù)以上討論，可以說明

10、在本例中不可能用一條直線將三角形分割成兩個(gè)等腰三角形。 利用以上例題可得出結(jié)論：一個(gè)三角形不一定 能被一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形。三、一個(gè)三角形能被一條直線分割成兩個(gè)等腰 三角形的條件的探究。步BAD= BDA=下面我們先假定一個(gè)任意三角形被一條直線分 割成兩個(gè)等腰三角形，不失一般性，我們可進(jìn)一 假定這條直線過點(diǎn) A ，為了敘述方便，設(shè) 1， DAC= 2，B=3， C=4， 5， CDA= 6如圖。1假定：在 ABD 中， AD=BD.（1）如圖， ABD 中， AD=BD, 在 ADC 中， AD=DC, 則有 1=3， 2= 4，此時(shí)， 1+3+ 2+4=180，即 1+2=90 .所

11、以若三角形中有一個(gè)角為 90，這個(gè)三角形 即可被分割為兩個(gè)等腰三角形。中，（2）如圖， ABD 中， AD=BD, 在 ADC AD=AC, 則有 1=3， 4=64，故得矛盾，此情況舍去。（3）如圖， ABD 中， AB=AD ， ADC 中，AC=DC, 此情況同問題二（ 1），略。 綜上所述，并不是任意三角形都能分割成兩個(gè)等腰三角形，能分割成兩個(gè)等腰三角形的 三角形應(yīng)該滿足以下條件中的任意一條：三個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)銳角等于另一個(gè)內(nèi)角的2 倍；三個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3 倍；三個(gè)內(nèi)角中有一個(gè)內(nèi)角等于 90。課后探索 已知，一個(gè)等腰三角形能夠被一條直線分割成兩個(gè)等腰三角形，求這個(gè)三角形

12、的三個(gè)內(nèi) 角的度數(shù)。我們都是母親身上對(duì)爸爸的印象，從記事的時(shí)候，就有了，他留給我的印象就是沉默少言的，但是臉上卻始終有微笑，不管家里遇到了什么樣的困難，只要有爸爸在，一切都能夠雨過天晴的，小時(shí)候，家里很窮， 可是作為孩子的我們（我和哥哥） ，卻很幸福。爸爸從來(lái)不會(huì)因?yàn)槿卞X，而讓我們感覺得些許的拮據(jù)和緊張，哪怕的低三下氣的問人借錢，爸爸都會(huì)按時(shí)給我們交了學(xué)費(fèi)，從來(lái)都不會(huì)給我們兄妹倆 拖欠學(xué)費(fèi)。爸爸閑下來(lái)的時(shí)候，就會(huì)給我和哥哥講他們生活的那個(gè)年代，很苦很累，還經(jīng)歷過自然災(zāi)害，窮的時(shí)候，連飯都吃不飽。在我的印象里，最深的一件事情就是過年的時(shí)候，不管這一年 錢賺的多還是少，爸爸總會(huì)讓媽媽帶著我和哥哥去

13、買新衣服，當(dāng)然了，媽媽也必須買新的，唯有爸爸，他是家里面唯一一個(gè)可以穿舊衣服過新年的人，這就是我關(guān)于爸爸的兒時(shí)的印象，他愛家人， 從來(lái)不肯委屈自己的妻子和孩子。成長(zhǎng)歲月里的爸爸在我們漸漸成長(zhǎng)的的歲月里，作為孩子，我們都有了自己的認(rèn)知和想法，青春期的叛逆，我們也給爸爸惹了不少禍，但是，不管我們闖的禍有 多大，最后都是爸爸出面，來(lái)擺平解決一切。在這個(gè)漸漸懂事的過程中，爸爸扮演著一位良師的角色，事情過后，爸爸也會(huì)趁機(jī)好好的教育我們，讓我們懂得，我們做的是對(duì)的，值得鼓勵(lì)的，還 是不對(duì)的，今后需要去改正的。爸爸在社會(huì)上經(jīng)歷的多了，懂得的道理也比我們多很多。我們是在跌跌撞撞的認(rèn)知中去探索這個(gè)社會(huì)，而爸爸就

14、是這條探索道路的指明燈！在我們長(zhǎng)大的青春光陰 里，我們?cè)诎职稚砩峡吹搅素?zé)任、懂得了承擔(dān)的重要性！爸爸，在我們的生活中，必不可少，他讓我們（大哥和我）擁有了正確的人生觀和價(jià)值觀，他教會(huì)了我們?nèi)绾慰创@個(gè)世界，如何去更好 的創(chuàng)造自己想要的生活！漸漸上了年紀(jì)的爸爸：我只想用“漸漸上了年紀(jì)”來(lái)形容現(xiàn)在的爸爸，不想要用已經(jīng)“老去”來(lái)形容爸爸。沒錯(cuò)，歲月是真的很無(wú)情的，不知不覺間，爸爸的眼角多了些 許的皺紋，額頭的皺紋也不自覺的來(lái)向他報(bào)到了，爸爸再偉大，也終究抵不過歲月的蹉跎。兩角鬢白的爸爸，讓我們看著多了很多的心疼，一向雷厲風(fēng)行、無(wú)所不能的爸爸，漸漸地，變得老了， 特別是當(dāng)我們都成家以后，爸爸也算是把他

15、一生最重要的任務(wù)也都完成了，上了年紀(jì)的爸爸，更多的心思，留在了媽媽的身上，一路走來(lái)，是媽媽的陪伴和默默的奉獻(xiàn)，才讓爸爸能夠在外工作的 時(shí)候，毫無(wú)雜念！媽媽，就是爸爸最為堅(jiān)強(qiáng)的后盾，而我們，是爸爸努力奮斗的最大動(dòng)力，如今，爸爸漸漸地老了，作為兒女，我們無(wú)法讓時(shí)光倒流，能做的就是多陪伴他們，讓他們的晚年生活 能夠幸福！爸爸的一生，都在付出，為了家和家人而付出，如今的我們，都已經(jīng)成家，更加體會(huì)到了為人父母的心酸苦楚，我們能做的就是?；丶铱纯矗∽尭改覆桓械焦陋?dú)！ 掉下來(lái)的一塊肉，我們跟母親之間的關(guān)系，血濃于水，彼此間的那種愛，是神圣而又不可侵犯的，是媽媽給了我們生命，也是媽媽無(wú)怨無(wú)悔的把我們撫養(yǎng)成人，

16、在我們成長(zhǎng)的過程中，不管是好還 是不好，媽媽都一味的去包容，去引領(lǐng)著我們我和媽媽的溫情小生活，母愛，總是那么的偉大！都說慈母多敗兒，其實(shí)啊，母親在我們的生活著，扮演著不可或缺的角色，沒有母親的無(wú)私奉獻(xiàn)， 又怎會(huì)有我們的今天呢？更多的時(shí)候，是我們忽略了母親的重要性，甚至是把母親對(duì)我們的關(guān)心和愛護(hù)變成了理所當(dāng)然！其實(shí)啊，也是因?yàn)槲覀儚某錾臅r(shí)候，就擁有了母親的愛，也就變得不那 么的珍惜了！我覺得，我們生活在這個(gè)世上，更要好好地對(duì)待我們的母親，在我的記憶深處，母親總是很慈祥的，她也有屬于她自己的小憂愁，但是，卻從來(lái)都不會(huì)讓我們知道，不管生活中，遇 到了什么困難或者坎坷，她總是自己一個(gè)人想辦法面對(duì)和解

17、決！以至于曾經(jīng)的我一直覺得母親是萬(wàn)能的，沒有什么困難事情是母親不能解決的！兒時(shí)記憶中，最深刻的一件事情就是那年的的大冬 天，下了很厚很厚的雪，我跟哥哥上學(xué)的地方是需要騎著自行車去的，媽媽早早的叫醒了我和哥哥，并且告訴我們下大雪了，路上滑，要早點(diǎn)出發(fā)，路上慢一點(diǎn)走，當(dāng)我們吃了早飯準(zhǔn)備出發(fā)的時(shí) 候，媽媽也跟著一起出發(fā)了。大冬天的，天黑黑的，母親拿著手電筒，給我和哥哥照明，因?yàn)橄铝搜械穆范尾缓米?，我們就推著自行車，一路上有說有笑的，時(shí)不時(shí)的哥哥還會(huì)調(diào)皮一下，就 這樣，母親拿著照明燈，一路護(hù)送我和哥哥到了學(xué)校，現(xiàn)在回想起來(lái)曾經(jīng)的歲月，滿滿的回憶，滿滿的溫暖！不知不覺間，我們就都長(zhǎng)大了，哥哥也成家了

18、，有自己的孩子，媽媽看著我們生活幸 福，她也就是開心滿足了，可是，歲月卻是那么的無(wú)情，不知不覺間，媽媽的眼角就多了些許的皺紋，她在歲月的淘洗中，漸漸地老去了！她沒有多么偉大的理想，唯一的希望，就是我們都能夠 生活的健康，平安，快樂，幸福！母親，從來(lái)都不曾奢望我們能夠有多么大的豐功偉績(jī)，最大的心愿就是我們平安快樂，她的一生心血，都在我們這些孩子身上，而對(duì)于她自己，似乎總是少了很 多的關(guān)心，作為兒女，長(zhǎng)大后的忙碌，確實(shí)忽略了對(duì)母親的愛，當(dāng)我們真正的意識(shí)到母親老去的時(shí)候，歲月一晃已經(jīng)過去了幾十年！母愛，雖然平凡，但是卻很偉大，我跟媽媽的溫情小生活，那 些記憶中的點(diǎn)滴，一直縈繞在腦海中，讓我感受到幸福

19、，感受到溫暖！愛你，親愛的媽媽，愿你生活幸福，健康平安！其實(shí)也就是平凡的一年，和往常相比較，也沒有太多的區(qū)別，唯一的不同就 是自己就業(yè)了，不再是學(xué)生了，也不再是那個(gè)向父母伸手就要錢的小姑娘了！步入社會(huì)的自己，很開心，同時(shí)也很緊張，畢竟社會(huì)才是一個(gè)真正的大染缸，才能讓一個(gè)人真正的成長(zhǎng)和堅(jiān)強(qiáng)！父母 的愛，平凡中滲透著偉大，這一年，感恩父母！在初入社會(huì)的這一年里，是要感恩很多的朋友同事領(lǐng)導(dǎo)，但是，我最想要感恩的兩個(gè)人，其實(shí)就是我的爸爸媽媽！也許，你會(huì)覺得很奇怪，步入社 天，我想先和大家分享一下父親節(jié)發(fā)生的小故事，雖然很平凡，很普通，但是我的心確實(shí)五味雜陳暖暖的！這一年的自己，已經(jīng)參加了工作，也有了自己的收入，雖然工資不是很高，但事多多少 少還是有些結(jié)余的，父親節(jié)到了，那天早上一醒來(lái)，我就給父親微信上發(fā)了紅包，金額不多，也就只有 100 元的紅包，這一天，我一直在等待著父親領(lǐng)紅包！可是，等啊等啊