一多元函數(shù)的極值二最值應用問題三條件極值多元函數(shù)的極值及其求法

1、 第九章 第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值 二、最值應用問題 三、條件極值 多元函數(shù)的極值及其求法一、 多元函數(shù)的極值 定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有(極小值).提示: 由題設 例1. 已知函數(shù)(D) 根據(jù)條件無法判斷點(0, 0)是否為f (x,y) 的極值點.則( )的某個鄰域內(nèi)連續(xù), 且A(2003 考研)說明: 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為駐點(穩(wěn)定點) . 例如,定理1 (必要條件)函數(shù)偏導數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理

2、結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 ,則有存在故問題：如何判定一個駐點是否為極值點？證: 由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意則有時, 具有極值具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), 令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)且 討論函數(shù)及是否取得極值.解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能為例2.求函數(shù)解: 第一步 求駐點.得駐點: (

3、1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數(shù)在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.在點(1,2) 處不是極值;二、最值應用問題函數(shù) f 在有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù) f 在有界閉區(qū)域上可達到最值 最值可疑點 內(nèi)點：駐點與不可求偏導的點邊界上的最值點特別, 當區(qū)域內(nèi)部一定存在可微函數(shù)的最值, 且只有一個駐點P 時, 依據(jù)例3.解: 設水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應存在,的有蓋長方體水箱,問當

4、長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.例4. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,把它折起來做成解: 設折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大. 為問怎樣折法才能使斷面面令解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達到,而在域D 內(nèi)只有一個駐點,故此點即為所求.解如圖,解由三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化方法2 拉格朗日乘

5、數(shù)法.分析：如方法 1 所述,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極故極值點必滿足記例如,值問題, 故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如, 求函數(shù)下的極值.在條件例8.要設計一個容量為則問題為求x , y ,令解方程組解: 設 x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱, 試問得唯一駐點由題意可知合理的設計是

6、存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因此 , 當高為思考:1) 當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示: 利用對稱性可知,2) 當開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價 應如何設拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示:長、寬、高尺寸相等 .最省,例9.已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示:設 C 點坐標為 (x , y),則 設拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.例9. 設某電視機廠生產(chǎn)一臺電視機的成本為c, 每臺電電視機的銷售價

7、格為p, 銷售量為x, 假設該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài), 即生產(chǎn)量等于銷售量.根據(jù)市場預測, x 與p 滿 足關系:其中M是最大市場需求量, a是價格系數(shù).又據(jù)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析, 預測每臺電視機的生產(chǎn)成本滿足:其中c0是生產(chǎn)一臺電視機的成本, k是規(guī)模系數(shù).問應如何確定每臺電視機的售價 p , 才能使該廠獲得最大利潤？解: 生產(chǎn)x臺獲得利潤問題化為在條件, 下求的最大值點.作拉格朗日函數(shù)令將代入得由得將以上結(jié)果及, 代入, 得解得因問題本身最優(yōu)價格必定存在, 故此 p* 即為所求.內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點

8、 .2. 函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法設拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步 判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步 找目標函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題在條件求駐點 . P121 3, 4, 8, 9, 10 習題課 作業(yè)(4-9) P121 11, 13, P134 18, 19, 20 作業(yè)(4-11)注 備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解: 設內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x, y, z, 它們所對應的三個三角形面積分別為設拉氏函數(shù)解方程組, 得故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 注則 注因此前者不可能為圓內(nèi)接三角形中