矩陣論 第一章 線性空間課件

1、邱啟榮華北電力大學數(shù)理系QQIR矩陣論課程：矩陣論（Matrix Theory）學時： 48學時 （48 Lectures）教材：矩陣理論及其應(yīng)用（第版）邱啟榮 主編 中國電力出版社， 2010任課教師： 邱啟榮考核方式：閉卷筆試考核方式：由研究生院統(tǒng)一安排三、教學指導(dǎo)意見背景要求：線性代數(shù)矩陣與計算工具：MATLAB、Excel教學參考書：不交作業(yè)，但應(yīng)該重視練習環(huán)節(jié)。矩陣論學習指導(dǎo)邱啟榮 編 中國電力出版社， 2010年8月第一章 線性空間 線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它是幾何空間的抽象和推廣 在線性代數(shù)中，定義了n維向量的加法和數(shù)量乘法運算，討論了向量空間中的向量關(guān)于線性運算的線性相關(guān)

2、性，完滿地闡明了線性方程組的解的理論現(xiàn)在把n維向量抽象成集合中的元素，撇開向量及其運算的具體含義，把集合對加法和數(shù)量乘法的封閉性及運算滿足的規(guī)則抽象出來，就形成了抽象的線性空間的概念，這種抽象將使我們進一步研究的線性空間的理論可以在相當廣泛的領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用本章內(nèi)容1.1 集合與映射1. 2 線性空間的定義與性質(zhì)1.3 維數(shù) 基與坐標1.4 線性空間的子空間1.5 內(nèi)積空間1.1集合與映射2、集合間的關(guān)系 如果B中的每一個元素都是A中的元素，則稱B是A的子集，記作 ，（讀作B包含于A）當且僅當 空集：不含任何元素的集合，記為注意： 如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱 A與 B相等，記作AB

3、 .AB當且僅當 且 約定：空集是任意集合的子集合.3、集合間的運算 交： ； 并： 顯然有，設(shè)A，B是兩個數(shù)集，集合稱為A與B的和集。稱為A與B的積。設(shè)A，B是兩個集合，集合關(guān)于兩個集合間的映射有以下幾點需要注意：1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的集合；2）對于A中的每一個元素x，B中必有一個唯一確定的元素與之對應(yīng)；3）一般說來，B中的元素不一定都是A中元素的象；4）A中不同元素的象可能相同。例7判斷下列映射的性質(zhì)1）Ma，b，c、M1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不單射，也不是滿射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，MZ，：(n)|n|1,（是滿射，但不是單

4、射） 3）M，MP，（P為數(shù)域） ：(A)|A|，（是滿射，但不是單射） （雙射）對于有限集來說，兩集合之間存在11對應(yīng)的充要條 件是它們所含元素的個數(shù)相同； 對于有限集A及其子集B，若BA（即B為A的真子集），則 A、B之間不可能存在11對應(yīng)；但是對于無限集未必如此.注：第二節(jié)線性空間的定義與性質(zhì)線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作向量空間，進而通過研究向量空間來解決實際問題一、線性空間的定義一.線性空間的定義 設(shè)V 是一個非空集合, P 是一個數(shù)域, 在集合V

5、中 的和，記為 ；在P與V的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法：即在V中都存在唯一的一個元素與它們對應(yīng)，稱為 的數(shù)量乘積，記為 如果加法和數(shù)量乘法還滿足下述規(guī)則，則稱V 為數(shù)域P上的線性空間：定義了一種代數(shù)運算，叫做加法: 即對在V 中都存在唯一的一個元素與它們對應(yīng)，稱為如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那么 就稱為數(shù)域 上的向量空間（或線性空間）2 向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組3 判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間 說明1 凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，稱為線性運算（）一個集合，如果定義

6、的加法和乘數(shù)運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性例 實數(shù)域上的全體 矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，記作 線性空間的判定方法通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律假設(shè) 有兩個負元素 與 ，那么則有向量 的負元素記為證明3如果 ，則 或 . 證明假設(shè)那么又同理可證：若 則有線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等.線性空間是一個集合對所定義的加法及數(shù)乘運算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運算線性空間是二維、三維幾何空間及 維向量空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性.四、小結(jié)1.3 維數(shù) 基與坐標一、

7、線性空間中向量之間的線性關(guān)系 二、線性空間的維數(shù)、基與坐標 三、基變換與坐標變換如何把線性空間的全體元素表示出來？線性空間中是否有類似于幾何空間的坐標系問題？線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西數(shù)發(fā)生聯(lián)系,使其能用比較具體的數(shù)學式子來表達？怎樣才能便于運算？問題基的問題（basis）問題坐標（coordinate）問題一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系 1、有關(guān)定義設(shè)V 是數(shù)域 P 上的一個線性空間（1）和式 的一個線性組合稱為向量組（2） ，若存在 則稱向量 可經(jīng)向量組 線性表出；使若向量組 中每一向量皆可經(jīng)向量組 線性表出，則稱向量組可經(jīng)向量組 線性表出； 若兩向量組可以互相線性表出，

8、則稱這兩個向量組為等價的 （3），若存在不全為零的數(shù) ，使得 則稱向量組為線性相關(guān)的；（4）如果向量組 不是線性相關(guān)的，即只有在時才成立， 則稱為線性無關(guān)的 （1）單個向量 線性相關(guān) 單個向量 線性無關(guān) 向量組線性相關(guān) 中有一個向量可經(jīng)其余向量 2、有關(guān)結(jié)論線性表出（2）若向量組線性無關(guān)，且可被向量組 線性表出，則 若 與 為兩線性無關(guān)的等價向量組，則 （3）若向量組線性無關(guān)，但向量組 線性相關(guān)，則 可被向量組 線性表出，且表示法是唯一的1、無限維線性空間 若線性空間 V 中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量,則稱 V 是無限維線性空間例1 所有實系數(shù)多項式所成的線性空間 Rx 是無限維的. 1，

9、x，x2，xn1對任意的正整數(shù) n，都有 n 個線性無關(guān)的向量因為，二、線性空間的維數(shù)、基與坐標定義1.3.1 在線性空間 中，如果存在 個元素滿足：二、線性空間的維數(shù)、基與坐標常記作 dimV n .當一個線性空間 中存在任意多個線性無關(guān)的向量時，就稱 是無限維的例 所有實系數(shù)多項式所成的線性空間 Rx 是無限維的. 1，x，x2，xn對任意的正整數(shù) n，都有 n 個線性無關(guān)的向量因為，注零空間的維數(shù)定義為0.注1 線性空間的基不唯一確定, 即對n維線性空間來說, 其中任意n個線性無關(guān)的向量組都可以作為該線性空間的一組基. 但維數(shù)唯一。注2 線性空間的基也就是線性空間的一個極大無關(guān)組.向量

10、在基下的坐標唯一的. 但是，在不同基下的坐標一般是不同的 常見線性空間的自然（標準）基為n維的， 就是 Pn 的一組基稱為Pn的自然基. 線性空間Pxn是n +1維的，且 1，x，x2，xn1，xn為 Pxn 的一組自然基 證:首先，1，x，x2，xn1 ，xn是線性無關(guān)的 1，x，x2，xn1 ，xn為Pxn的一組基，從而，Pxn是n+1維的.其次， 可經(jīng) 1，x，x2，xn線性表出 注：在基1，x，x2，xn下的坐標就是此時，1，xa，(xa)2，(xa)n1，(xa)n也為Pxn的一組基證明：1，xa，(xa)2，(xa)n1，(xa)n是線性無關(guān)的 又對 ，按泰勒展開公式有 即,f(x

11、)可經(jīng)1，xa，(xa)2，(xa)n線性表出.1，xa，(xa)2，(xa)n為Pxn的一組基 在基1，xa，(xa)2，(xa)n下的坐標是 一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。但坐標表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。更進一步，原本抽象的“加法”及 “數(shù)乘”經(jīng)過坐標表示就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)乘。 例1-3-1 證明是 的基，并求 在該基下的坐標。下的坐標分別是 例1.3.11、求 中的多項式組 的秩和一個極大線性無關(guān)組。解：在 的自然基下的坐標分別是的秩是2，向

12、量組是它的一個極大線性無關(guān)組。（一）、向量的形式書寫法 （二）、基變換（三）、坐標變換 三、基變換與坐標變換在n維線性空間V中，任意n個線性無關(guān)的向量都可取作線性空間V的一組基V中任一向量在某一組基下的坐標是唯一確定的，但是在不同基下的坐標一般是不同的因此在處理一些問題是時，如何選擇適當?shù)幕刮覀兯懻摰南蛄康淖鴺吮容^簡單是一個實際的問題問題：同一向量在不同基下的坐標之間有什么關(guān)系，即隨著基的改變，向量的坐標是如何變化的？一、向量的形式書寫法 1、V為數(shù)域P上的 n 維線性空間， 為V 中的一組向量， ，若 則形式地記作約定向量矩陣則形式地記作 2、V為數(shù)域 P 上 n 維線性空間， ；為V中

13、的兩組向量，若在形式書寫法下有下列運算規(guī)律1) 若 線性無關(guān)，則 注：2) ；為V中的兩組向量，矩陣 ，則 ； ； ；若 線性無關(guān)，則1、定義設(shè)V為數(shù)域P上n維線性空間，； 為V中的兩組基，若即， 二、基變換則稱矩陣 為由基 到基 的過渡矩陣；稱 或 為由基 到基的基變換公式 引理 設(shè) 是一組線性無關(guān)的向量，A是一個n階矩陣，令則 線性無關(guān)的充要條件是A可逆。2、有關(guān)性質(zhì)1）過渡矩陣都是可逆矩陣；反過來，任一可逆矩陣都可看成是兩組基之間的過渡矩陣設(shè)為P上任一可逆矩陣，任取V的一組基于是有，令由A可逆，有即， 也可由 線性表出.故 線性無關(guān)，且V中任一向量都可以用線性表示，從而也為V 的一組基.

14、證明：若 為V的兩組基,且由基 的過渡矩陣為A，又由基 也有一個過渡矩陣,即設(shè)為B，即2）若由基 過渡矩陣為A,則由基 過渡矩陣為A-1.都是線性無關(guān)的,即，A是可逆矩陣,且比較 、兩個等式，有3）若由基 過渡矩陣為A,由基 過渡矩陣為B，則由基 過渡矩陣為AB.事實上,若則有，若兩個基滿足關(guān)系式二、坐標變換公式則有坐標變換公式或證明例1.3.15、設(shè) 的兩組基為： I） II） 試求：（1）由基（I）到基(II)的過渡矩陣（2）求在基（I）與基(II)下有相同坐標的矩陣。解：其中因此所以由基（I）到基(II)的過渡矩陣為 該齊次線性方程組的通解為 在基（I）與基(II)下有相同坐標的矩陣例1

15、.3.16、 是P3(t)中的多項式f(t)在基下的坐標 .是P3(t)中的多項式f(t)在基下的坐標 .試求：（1）由基 到基的過渡矩陣； （2）求基 3）求多項式 在基 下的坐標。 由基 到基的過渡矩陣（2）由可得(3) 設(shè)即比較兩邊同次冪的系數(shù)得到： 解得 在基 因此， 下的坐標為1.4 線性空間的子空間一、線性子空間線性子空間的判定 ，若W對于V中兩種運算封閉，即 則W是V的一個子空間 證明：要證明W也為數(shù)域P上的線性空間，即證 W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則 定理：設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，集合 ， . 且對 ， 由數(shù)乘運算封閉，有 ，即W中元素的負元素就是它在V中的負元素，

16、4）成立就是V中的零元， 3）成立由于 ，規(guī)則1）、2）、5）、6）、7）、8）是顯然成立的下證3）、4）成立 由加法封閉，有 ,即W中的零元推論：V為數(shù)域P上的線性空間, 則W是V的子空間例 判斷Pn的下列子集合哪些是子空間： 若為Pn的子空間，求出其維數(shù)與一組基.解：W1 、W3是Pn的子空間， W2不是Pn的子空間.事實上，W1 是n元齊次線性方程組的解空間. 所以，維W1 n1，的一個基礎(chǔ)解系就是W1 的一組基.而在 W2中任取兩個向量，設(shè)則故W2不是Pn的子空間.故，W3為V的一個子空間，且維W3 n1 ，則有 其次， 設(shè)下證W3是Pn的子空間.就是W3的一組基.解(1)不構(gòu)成子空間

17、.因為對例有即 對矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.對任意有于是滿足且稱為V的由 生成的子空間，定義：V為數(shù)域P上的線性空間， 則子空間 ，記作 稱 為 的一組 生成元.或記作 證明：對nm作數(shù)學歸納法當nm0時，即nm，定理成立就是V的一組基.假設(shè)當nmk時結(jié)論成立.下面我們考慮 nmk1 的情形必定是線性無關(guān)的既然 還不是V的一組基，它又是線性無關(guān)的，那么在V中必定有一個向量不能被 線性表出，把它添加進去，則因 n(m1)(nm)1(k1)1k，由定理1.4.6 是m1維的可以擴充為整個空間V的一組基由歸納原理得證. 由歸納假設(shè)， 的基它擴充為P4的一組基，其中例 求 的維數(shù)與一組基，并把解：

18、對以為列向量的矩陣A作初等行變換由B知，為 的一個極大故，維 3，就是 的一組基.無關(guān)組.則 線性無關(guān)，從而為P4的一組基.解得：因此下面證明線性無關(guān)。設(shè)使得令則且從而因此故存在使得即證明：注:若有 則 分解式 唯一的，意即 分解式唯一的不是在任意兩個子空間的和中都成立. 例如，R3的子空間這里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.而在和中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，事實上，對故是直和.都只有唯一分解式：二、直和的判定分解式唯一，即若1、(定理) 和是直和的充要條件是零向量則必有證：必要性. 是直和, 的分解式唯一.而0有分解式充分性. 故是直和. 設(shè)，它有兩個分解式有

19、其中 于是 由零向量分解成唯一，且即 的分解式唯一. 2、和是直和 則有 即 是直和. “”任取 證：“”若 于是零向量可表成 由于是直和，零向量分解式唯一， 故證：由維數(shù)公式3、和是直和 有，是直和.（由2、得之）總之，設(shè) 為線性空間V 的子空間，則下面四個條件等價:2）零向量分解式唯一1）是直和 3）4）4、(定理) 設(shè)U是線性空間V的一個子空間，稱這樣的W為U的一個補空間（余子空間）. 則必存在一個子空間W，使 證：取U的一組基把它擴充為V的一組基則 余子空間 一般不是唯一的(除非U是平凡子空間).注意：如，在R3中，設(shè)則 但1、定義中每個向量的分解式三、推廣多個子空間的直和都是線性空間

20、V 的子空間，若和是唯一的，則和就稱為直和，記作四個條件等價:2）零向量分解式唯一，即3）4）2、判定設(shè)都是線性空間V的子空間，則下面1）是直和 證結(jié)論容易證明.任取則可設(shè)設(shè)則對s 作歸納.s=2時,由維數(shù)公式得到 假設(shè)s -1時成立下證 s 時也成立.而都有由歸納假設(shè),可以得到 都有 所以 例1.4.11 已知 的兩個子空間證明： 一、歐氏空間的定義二、歐氏空間中向量的長度三、歐氏空間中向量的夾角四、n維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示五、歐氏子空間.內(nèi)積空間（歐氏空間）六、正交向量組七、標準正交基八、正交矩陣九、正交子空間十、子空間的正交補問題的引入：性質(zhì)(如長度、夾角)等在一般線性空間中沒有涉及

21、.其具體模型為幾何空間 、 1、線性空間中，向量之間的基本運算為線性運算，但幾何空間的度量長度：都可以通過內(nèi)積反映出來：夾角：2、在解析幾何中，向量的長度，夾角等度量性質(zhì)3、幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì).滿足性質(zhì)：當且僅當 時一、內(nèi)積（歐氏）空間的定義1.定義1.5.1設(shè)V是實數(shù)域 R上的線性空間，對V中任意兩個向量、定義一個二元實函數(shù)，記作 ，若（對稱性）（數(shù)乘）（可加性）（正定性） V為實數(shù)域 R上的線性空間; V除向量的線性運算外，還有“內(nèi)積”運算; 內(nèi)積（歐氏）空間 V是特殊的線性空間則稱 為 和 的內(nèi)積，并稱這種定義了內(nèi)積的實數(shù)域 R上的線性空間V為內(nèi)積（歐氏）空間.注

22、：例1在 中，對于向量 所以 為內(nèi)積.當 時，1）即為幾何空間 中內(nèi)積在直角坐標系下的表達式 . 即這樣 對于內(nèi)積就成為一個歐氏空間.易證 滿足定義中的性質(zhì).1）定義 （1） 2）定義 所以 也為內(nèi)積.從而 對于內(nèi)積也構(gòu)成一個歐氏空間.由于對 未必有注意：所以1），2）是兩種不同的內(nèi)積.從而 對于這兩種內(nèi)積就構(gòu)成了不同的歐氏空間.易證 滿足定義中的性質(zhì).例2 為閉區(qū)間 上的所有實連續(xù)函數(shù)所成線性空間，對于函數(shù) ，定義（2） 則 對于（2）作成一個歐氏空間.證： 且若則從而 故 因此， 為內(nèi)積， 為歐氏空間.推廣： 2. 內(nèi)積的簡單性質(zhì)V為歐氏空間，2) 歐氏空間V中，使得 有意義.二、歐氏空間

23、中向量的長度1. 引入長度概念的可能性1）在 向量的長度（模） 2. 向量長度的定義稱為向量 的長度.特別地，當 時，稱 為單位向量. 3. 向量長度的簡單性質(zhì)3）非零向量 的單位化： （3） 1）在 中向量 與 的夾角 2）在一般歐氏空間中推廣（4）的形式，首先三、歐氏空間中向量的夾角1. 引入夾角概念的可能性與困難應(yīng)證明不等式： （4） 對歐氏空間V中任意兩個向量 ，有 （5） 2. 柯西布涅柯夫斯基不等式當且僅當 線性相關(guān)時等號成立.證：當 時， 結(jié)論成立.當 時，作向量 由內(nèi)積的正定性，對 ，皆有 （6） 取 代入（6）式，得即 兩邊開方，即得當 線性相關(guān)時，不妨設(shè) 于是， (5)式等

24、號成立. 反之，若（5）式等號成立，由以上證明過程知 或者 ，或者 也即 線性相關(guān).3. 柯西布涅柯夫斯基不等式的應(yīng)用柯西不等式（7）1）施瓦茲不等式由柯西布涅柯夫斯基不等式有從而得證.證：在 中， 與 的內(nèi)積定義為 2）（7） 證： 兩邊開方，即得（7）成立.對歐氏空間中的任意兩個向量 有3）三角不等式設(shè)V為歐氏空間， 為V中任意兩非零向量， 的夾角定義為 4. 歐氏空間中兩非零向量的夾角定義1： 零向量與任意向量正交.注： 即 .設(shè) 為歐氏空間中兩個向量，若內(nèi)積 則稱 與 正交或互相垂直，記作 定義2：5. 勾股定理設(shè)V為歐氏空間，證： 若歐氏空間V中向量 兩兩正交，推廣：則 證：若 則

25、即例3、已知 在通常的內(nèi)積定義下，求解： 又 通常稱為與的距離，記作設(shè)V為歐氏空間， 為V的一組基，對V中任意兩個向量四、n維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示令（8）定義：矩陣 稱為基 的度量矩陣.（9）則 （10） 度量矩陣A是實對稱矩陣. 由內(nèi)積的正定性，度量矩陣A還是正定矩陣. 注：事實上，對 ，即 有為正定矩陣. 由（10）知，在基 下，向量的內(nèi)積由度量矩陣A完全確定. 對同一內(nèi)積而言，不同基的度量矩陣是合同的.證：設(shè) 為歐氏空間V的兩組基，它們的度量矩陣分別為A、B ，且設(shè)則于是 歐氏空間V的子空間在所V中定義的內(nèi)積之下也是一個歐氏空間，稱之為V的歐氏子空間.五、歐氏空間的子空間設(shè)為歐氏空間

26、，非零向量 若 則 是正交向量組. 正交向量組必是線性無關(guān)向量組.六、正交向量組定義：如果它們兩兩正交，則稱之為正交向量組.注：證：設(shè)非零向量 兩兩正交.令則由 知故線性無關(guān). 維歐氏空間中正交向量組所含向量個數(shù) 歐氏空間中線性無關(guān)向量組未必是正交向量組例如：中線性無關(guān)但不是正交向量組.1. 幾何空間 中的情況在直角坐標系下是由單位向量構(gòu)成的正交向量組，即 二、標準正交基是 的一組基.設(shè) 從得即在基 下， 中的與內(nèi)積有關(guān)的度量性質(zhì)有 簡單的表達形式.維歐氏空間中，由 個向量構(gòu)成的正交向量組稱為正交基；2. 標準正交基的定義由單位向量構(gòu)成的正交基稱為標準正交基. 注： 由正交基的每個向量單位化，

27、可得到一組標準正交基. 維歐氏空間V中的一組基 為標準正交基 維歐氏空間V中的一組基 為標準正交基當且僅當其度量矩陣 (1) 維歐氏空間V中標準正交基的作用:設(shè) 為V的一組標準正交基，則(i)設(shè)由(1) ，(ii) (3)這里 (iii)有 (2)(定理 ) 維歐氏空間中任一個正交向量組都能擴充成一組正交基.證：設(shè) 歐氏空間中的正交向量組，對作數(shù)學歸納法當 時, 3. 標準正交基的構(gòu)造 施密特(Schmidt)正交化過程 就是一組正交基了. 1）使假設(shè) 時結(jié)論成立，即此時可找到向量 成為一組正交基.現(xiàn)在來看 的情形.所以必有向量 不能被 線性表出，因為作向量待定從正交向量組的性質(zhì)知于是取即 為

28、正交向量組由歸納法假設(shè)知，對這 個向量構(gòu)成的正交組可得可擴充得正交基.于是定理得證2）都可找到一組標準正交基 使證：基本方法逐個構(gòu)成出滿足要求的(定理 ) 對于 維歐氏空間中任一組基首先，可取 一般地，假定已求出 是單位正交的 ，且 (4) 當 時，因為有由(4)知 不能被 線性表出按定理1證明中的方法，作向量(5) 即再設(shè) 可知 是單位正交向量組從(4)和(5)知 與 是等價向量組，因此，有由歸納原理，定理2得證.則且 則過渡矩陣是上三角形（即 ）注：且 由 知，若 Schmidt正交化過程:化成正交向量組先把線性無關(guān)的向量組再單位化得標準正交向量組例1. 把 變成單位正交的向量組.解：令正

29、交化再單位化即為所求例2. 在 中定義內(nèi)積為 求 的一組標準正交基(由基 出發(fā)作正交化)解: 取正交化單位化于是得 的標準正交基設(shè) 與 是 維歐氏空間V中的兩組標準正交基，它們之間過渡矩陣是 即 4. 標準正交基間的基變換或由于是標準正交基，所以（6）由公式（3），有（7） 把A按列分塊為由（7）有（8） 則稱A為正交矩陣. 2）由標準正交基到標準正交基的過渡矩陣是正交矩陣.三、正交矩陣1定義設(shè)若滿足2簡單性質(zhì)1）A為正交矩陣3）設(shè) 是標準正交基，A為正交矩陣，若 則 也是標準正交基. 4） 為正交矩陣A的列向量組是歐氏空間 的標準正交基.6） 為正交矩陣A的行向量組是歐氏空間 的標準正交基.

30、5） 為正交矩陣九、歐氏空間中的正交子空間1定義：1) 與 是歐氏空間V中的兩個子空間，如果對則稱子空間 與 為正交的，記作則稱向量與子空間 正交，記作恒有2) 對給定向量 如果對 恒有注： 當且僅當 中每個向量都與 正交 當 且 時，必有 證明：設(shè)子空間 兩兩正交，2兩兩正交的子空間的和必是直和要證明中零向量分解式唯一只須證：設(shè) 由內(nèi)積的正定性，可知 十、子空間的正交補1定義：如果歐氏空間V的子空間 滿足并且則稱 為 的正交補.2 維歐氏空間V的每個子空間 都有唯一正交補.證明：當 時，V就是 的唯一正交補 當 時， 也是有限維歐氏空間.取 的一組正交基由定理1，它可擴充成V的一組正交基記子

31、空間 顯然,又對 即 為 的正交補. 再證唯一性.設(shè) 是 的正交補，則由此可得對 由上式知 即有 又從而有 即有 同理可證唯一性得證. 維歐氏空間V的子空間W滿足: 子空間W的正交補記為即 i) ii) iii) 注：) W的正交補 必是W的余子空間.但一般地，子空間W的余子空間未必是其正交補.稱 為在子空間W上的內(nèi)（投）射影.3內(nèi)（投）射影設(shè)W是歐氏空間V的子空間，由對 有唯一的使一、同構(gòu) 映射的定義二、同構(gòu)的有關(guān)結(jié)論6.8 線性空間的同構(gòu)一、同構(gòu)映射的定義設(shè) 都是數(shù)域P上的線性空間，如果映射 具有以下性質(zhì)： 則稱的一個同構(gòu)映射，并稱線性空間 同構(gòu)，記作 ii) iii) i) 為雙射為V的一組基，則前面V到Pn的一一對應(yīng)例1、V為數(shù)域P