經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形的描繪;最值的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容洛必達(dá)法則RolleLagrange常用的CauchyTay1. 羅爾中值定理1. 羅爾中值定理2. 拉格朗日中值定理有限增量公式.2. 拉格朗日中值定理有限增量公式.3. 柯西中值定理推論3. 柯西中值定理推論4. 洛必達(dá)法則定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.關(guān)鍵:將其它

2、類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型 .注意：洛必達(dá)法則的使用條件.4. 洛必達(dá)法則定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)5. 泰勒中值定理5. 泰勒中值定理 常用函數(shù)的麥克勞林公式 常用函數(shù)的麥克勞林公式6. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理(1) 函數(shù)單調(diào)性的判定法6. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理(1) 函數(shù)單調(diào)性的判定法定義(2) 函數(shù)的極值及其求法定義(2) 函數(shù)的極值及其求法定理(必要條件)定義 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).定理(必要條件)定義 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱定理(第一充

3、分條件)定理(第二充分條件)定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)求極值的步驟:求極值的步驟:步驟:1) 求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2) 求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比 較大小,哪個大哪個就是最大值,哪個小哪個就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)(3) 最大值、最小值問題步驟:1) 求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2) 求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:1)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值;(4) 曲線的凹凸與拐點(diǎn)定義實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:1)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值;(4) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件定理1定理1方法1:方法2:方法1:方法

4、2:利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步(5) 函數(shù)圖形的描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步(5) 函數(shù)圖形的描繪第三步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢;第五步第三步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛例1解二、典型例題例1解二、典型例題這就驗(yàn)證了命題的正確性.這就驗(yàn)證了命題的正確性.例2解例2解例3證由介值定理,例3證由介值定理,注意到由, 有 + ,得注意到由, 有 + ,得例4證例4證例5證例5證 ,則有 ,則有經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件解1解1其中洛必達(dá)法則解題時，注意將易求極限的因式分離出來.其中洛必達(dá)法則解題時，注意將易求極限的因式分離出來

5、.解2求導(dǎo)時保留相同的因子，約分化簡，也即相當(dāng)于變量代換.解2求導(dǎo)時保留相同的因子，約分化簡，解3其中解3其中注意洛必達(dá)法則適用于求某些函數(shù)的極限，遇到數(shù)列極限的問題，可轉(zhuǎn)為求相應(yīng)函數(shù)的極限.注意洛必達(dá)法則適用于求某些函數(shù)的極限，例7解奇函數(shù)例7解奇函數(shù)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件列表如下:列表如下:極大值拐點(diǎn)極小值極大值拐點(diǎn)極小值作圖作圖解解經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件解當(dāng)時，設(shè)每批產(chǎn)量為x噸，直接消耗的費(fèi)用為M，則每批生產(chǎn)的總費(fèi)用為解當(dāng)時，設(shè)每批產(chǎn)量為x噸，直接消耗的費(fèi)用為M，則每批生產(chǎn)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件解：解：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與

6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件測 驗(yàn) 題測 驗(yàn) 題經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件測驗(yàn)題答案測驗(yàn)題答案七、七、 即認(rèn)為權(quán)數(shù)是相等的，X的逐期滯后值對值Y的影響相同。 如滯后期為3，指定相等權(quán)數(shù)為1/4，則新的線性組合變量為： 矩型： 則新的線性組合變量為： 即認(rèn)為權(quán)數(shù)是相等的，X的逐期滯后值對值Y的影響相同

7、。 權(quán)數(shù)先遞增后遞減呈倒“V”型。 例如：在一個較長建設(shè)周期的投資中，歷年投資X為產(chǎn)出Y的影響，往往在周期期中投資對本期產(chǎn)出貢獻(xiàn)最大。 如滯后期為4，權(quán)數(shù)可取為 1/6， 1/4， 1/2， 1/3， 1/5則新變量為 倒V型 權(quán)數(shù)先遞增后遞減呈倒“V”型。 倒V型例5.2.1 對一個分布滯后模型： 給定遞減權(quán)數(shù)：1/2， 1/4， 1/6， 1/8 令 原模型變?yōu)椋?例5.2.1 對一個分布滯后模型： 給定遞減權(quán)數(shù)：1/2， 該模型可用OLS法估計(jì)。假如參數(shù)估計(jì)結(jié)果為：=0.5=0.8則原模型的估計(jì)結(jié)果為： 該模型可用OLS法估計(jì)。假如參數(shù)估計(jì)結(jié)果為：=0.5=0.8 經(jīng)驗(yàn)權(quán)數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是：簡

8、單易行；缺點(diǎn)是：設(shè)置權(quán)數(shù)的隨意性較大通常的做法是： 多選幾組權(quán)數(shù)，分別估計(jì)出幾個模型，然后根據(jù)常用的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（方檢驗(yàn)，檢驗(yàn)，t檢驗(yàn)，-檢驗(yàn)），從中選擇最佳估計(jì)式。 經(jīng)驗(yàn)權(quán)數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)是：簡單易行；缺點(diǎn)是：設(shè)置權(quán)數(shù)的隨意（2）阿爾蒙（lmon）多項(xiàng)式法 主要思想：針對有限滯后期模型，通過阿爾蒙變換，定義新變量，以減少解釋變量個數(shù)，然后用OLS法估計(jì)參數(shù)。 主要步驟為： 第一步，阿爾蒙變換 對于分布滯后模型： （2）阿爾蒙（lmon）多項(xiàng)式法 主要思想：針對有 假定其回歸系數(shù)i可用一個關(guān)于滯后期i的適當(dāng)階數(shù)的多項(xiàng)式來表示，即: i=0,1,s 其中，ms-1。阿爾蒙變換要求先驗(yàn)地確定適當(dāng)階數(shù)k，例如

9、取k=2，得： （*） 假定其回歸系數(shù)i可用一個關(guān)于滯后期i的適當(dāng)階數(shù)的 將(*)代入分布滯后模型： 得：定義新變量 將原模型轉(zhuǎn)換為： 將(*)代入分布滯后模型： 得：定義新變量 將原模型轉(zhuǎn)換為第二步，模型的OLS估計(jì) 對變換后的模型進(jìn)行OLS估計(jì)，得： 再計(jì)算出: 求出滯后分布模型參數(shù)的估計(jì)值:第二步，模型的OLS估計(jì) 對變換后的模型進(jìn)行OLS估 由于m+1s，可以認(rèn)為原模型存在的自由度不足和多重共線性問題已得到改善。 需注意的是，在實(shí)際估計(jì)中，阿爾蒙多項(xiàng)式的階數(shù)m一般取2或3，不超過4，否則達(dá)不到減少變量個數(shù)的目的。 例5.2.2 表5.2.1給出了中國電力基本建設(shè)投資X與發(fā)電量Y的相關(guān)資

10、料，擬建立一多項(xiàng)式分布滯后模型來考察兩者的關(guān)系。 由于m+1s，可以認(rèn)為原模型存在的自由度不足和多重經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)課件 由于無法預(yù)見知電力行業(yè)基本建設(shè)投資對發(fā)電量影響的時滯期，需取不同的滯后期試算。 （13.62）（1.86） （0.15） （-0.67） 經(jīng)過試算發(fā)現(xiàn)，在2階阿爾蒙多項(xiàng)式變換下，滯后期數(shù)取到第6期，估計(jì)結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義比較合理。2階阿爾蒙多項(xiàng)式估計(jì)結(jié)果如下： 由于無法預(yù)見知電力行業(yè)基本建設(shè)投資對發(fā)電量影求得的分布滯后模型參數(shù)估計(jì)值為： 最后得到分布滯后模型估計(jì)式為： 求得的分布滯后模型參數(shù)估計(jì)值為： 最后得到分布滯后模型估計(jì)式 為了比較，下面給出直接對滯

11、后6期的模型進(jìn)行OLS估計(jì)的結(jié)果： 為了比較，下面給出直接對滯后6期的模型進(jìn)行 （3）科伊克（Koyck）方法 科伊克方法是將無限分布滯后模型轉(zhuǎn)換為自回歸模型，然后進(jìn)行估計(jì)。 對于無限分布滯后模型： 科伊克變換假設(shè)i隨滯后期i按幾何級數(shù)衰減： 其中，01，稱為分布滯后衰減率，1-稱為調(diào)整速率（Speed of adjustment）。 （3）科伊克（Koyck）方法 科伊克方法是將無限 科伊克變換的具體做法: 將科伊克假定i=0i代入無限分布滯后模型，得：滯后一期并乘以 ，得 ： (*)(*) 科伊克變換的具體做法: 將科伊克假定i=0i代將（*）減去（*）得科伊克變換模型： 整理得科伊克模型

12、的一般形式： 將（*）減去（*）得科伊克變換模型： 整理得科伊克模型的一科伊克模型的特點(diǎn)： （1）以一個滯后因變量Yt-1代替了大量的滯后解釋變量Xt-i，最大限度地節(jié)省了自由度，解決了滯后期長度s難以確定的問題；（2）由于滯后一期的因變量Yt-1與Xt的線性相關(guān)程度可以肯定小于X的各期滯后值之間的相關(guān)程度，從而緩解了多重共線性?？埔量四Ｐ偷奶攸c(diǎn)： （1）以一個滯后因變量Yt-1代替了大量但科伊克變換也同時產(chǎn)生了兩個新問題：（1）模型存在隨機(jī)項(xiàng)和vt的一階自相關(guān)性；（2）滯后被解釋變量Yt-1與隨機(jī)項(xiàng)vt不獨(dú)立。這些新問題需要進(jìn)一步解決。但科伊克變換也同時產(chǎn)生了兩個新問題：三、自回歸模型的參數(shù)

13、估計(jì) 一個無限期分布滯后模型可以通過科伊克變換轉(zhuǎn)化為自回歸模型。事實(shí)上，許多滯后變量模型都可以轉(zhuǎn)化為自回歸模型，自回歸模型是經(jīng)濟(jì)生活中更常見的模型。以適應(yīng)預(yù)期模型以及局部調(diào)整模型為例進(jìn)行說明。1. 自回歸模型的構(gòu)造 三、自回歸模型的參數(shù)估計(jì) 一個無限期分布滯后模型可以通過科伊（1）自適應(yīng)預(yù)期（Adaptive expectation）模型 在某些實(shí)際問題中，因變量Yt并不取決于解釋變量的當(dāng)前實(shí)際值Xt，而取決于Xt的“預(yù)期水平”或“長期均衡水平”Xte。 例如，家庭本期消費(fèi)水平，取決于本期收入的預(yù)期值； 市場上某種商品供求量，決定于本期該商品價格的均衡值。 （1）自適應(yīng)預(yù)期（Adaptive

14、expectation）因此，自適應(yīng)預(yù)期模型最初表現(xiàn)形式是： 由于預(yù)期變量是不可實(shí)際觀測的，往往作如下自適應(yīng)預(yù)期假定:其中：r為預(yù)期系數(shù)（coefficient of expectation）, 0r 1。因此，自適應(yīng)預(yù)期模型最初表現(xiàn)形式是： 由于預(yù)期變量是不 該式的經(jīng)濟(jì)含義為：“經(jīng)濟(jì)行為者將根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)修改他們的預(yù)期”，即本期預(yù)期值的形成是一個逐步調(diào)整過程，本期預(yù)期值的增量是本期實(shí)際值與前一期預(yù)期值之差的一部分，其比例為r 。 這個假定還可寫成：將得：代入 該式的經(jīng)濟(jì)含義為：“經(jīng)濟(jì)行為者將根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)修改將（*）式滯后一期并乘以(1-r),得：(*)以(*)減去（*），整理得：其中可見自

15、適應(yīng)預(yù)期模型轉(zhuǎn)化為自回歸模型。(*)將（*）式滯后一期并乘以(1-r),得：(*)以(*)減去（2）局部調(diào)整(Partial Adjustment)模型局部調(diào)整模型主要是用來研究物資儲備問題的。例如，企業(yè)為了保證生產(chǎn)和銷售，必須保持一定的原材料儲備。對應(yīng)于一定的產(chǎn)量或銷售量Xt，存在著預(yù)期的最佳庫存Yte。局部調(diào)整模型的最初形式為：（2）局部調(diào)整(Partial Adjustment)模型局Yte不可觀測。由于生產(chǎn)條件的波動，生產(chǎn)管理方面的原因，庫存儲備Yt的實(shí)際變化量只是預(yù)期變化的一部分。或：(*) 儲備按預(yù)定水平逐步進(jìn)行調(diào)整，故有如下局部調(diào)整假設(shè)：Yte不可觀測。由于生產(chǎn)條件的波動，生產(chǎn)管

16、理方面的原因，庫存其中，為調(diào)整系數(shù)，0 1 將(*)式代入可見，局部調(diào)整模型轉(zhuǎn)化為自回歸模型其中，為調(diào)整系數(shù)，0 1可見，局部調(diào)整模型轉(zhuǎn)化為自2. 自回歸模型的參數(shù)估計(jì) 考伊克模型： 對于自回歸模型： 估計(jì)時的主要問題：滯后被解釋變量的存在可能導(dǎo)致它與隨機(jī)擾動項(xiàng)相關(guān)，以及隨機(jī)擾動項(xiàng)出現(xiàn)序列相關(guān)性。 自適應(yīng)預(yù)期模型：2. 自回歸模型的參數(shù)估計(jì) 考伊克模型： 對于自回歸模 局部調(diào)整模型： 存在：滯后被解釋變量Yt-1與隨機(jī)擾動項(xiàng)t的異期相關(guān)性。 因此，對自回歸模型的估計(jì)主要需視滯后被解釋變量與隨機(jī)擾動項(xiàng)的不同關(guān)系進(jìn)行估計(jì)。 以一階自回歸模型為例說明: 顯然存在： 局部調(diào)整模型： 存在：滯后被解釋變

17、量Yt-1與隨機(jī)擾動項(xiàng) (1) 工具變量法 若Yt-1與t同期相關(guān)，則OLS估計(jì)是有偏的，并且不是一致估計(jì)。 因此，對上述模型，通常采用工具變量法，即尋找一個新的經(jīng)濟(jì)變量Zt，用來代替Yt-1。 參數(shù)估計(jì)量具有一致性。 對于一階自回歸模型： (1) 工具變量法 若Yt-1與t同期相關(guān)，則OL 在實(shí)際估計(jì)中，一般用X的若干滯后的線性組合作為Yt-1的工具變量: 由于原模型已假設(shè)隨機(jī)擾動項(xiàng)t與解釋變量X及其滯后項(xiàng)不存在相關(guān)性，因此上述工具變量與t不再線性相關(guān)。 一個更簡單的情形是直接用Xt-1作為Yt-1的工具變量。 在實(shí)際估計(jì)中，一般用X的若干滯后的線性組合作為Yt- （2）普通最小二乘法 若滯后被解釋變量Yt-1與隨機(jī)擾動項(xiàng)t同期無關(guān)（如局部調(diào)整模型），可直接使用OLS法進(jìn)行估計(jì)，得到一致估計(jì)量。 上述工具變量法只解決了解釋變量與t相關(guān)對參數(shù)估計(jì)所造成的影響，但沒有解決t的自相關(guān)問題。注意： （2）普通最小二乘法 若滯后被解釋變量Yt-1與 事實(shí)上，對于自回歸模型， t項(xiàng)的自相關(guān)問題始終存在，對于此問題，至今沒有完全有效的解決方法。唯一可做的，就是盡可能地建立“正確”的模型，以使序列相關(guān)性的程度減輕。 例5.2.3 建立中國長期貨幣流通量需求模型 經(jīng)驗(yàn)表明：中國改革開放以