2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市第十九中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

1、2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市第十九中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意，函數(shù)的根的個(gè)數(shù)至多為（ ）(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 9參考答案：A當(dāng)時(shí)，由此可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時(shí)，又在上為奇函數(shù)，所以，而時(shí)，所以大致圖象如圖所示：令，則時(shí)，方程至多有3個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有根，而對(duì)任意，方程至多有一個(gè)根，從而函數(shù)的根的個(gè)數(shù)至多有3個(gè)。10.自主招生聯(lián)盟成行于2009年清華大學(xué)等五校聯(lián)考，主要包括“北約”聯(lián)盟，“華約

2、”聯(lián)盟，“卓越”聯(lián)盟和“京派”聯(lián)盟在調(diào)查某高中學(xué)校高三學(xué)生自主招生報(bào)考的情況，得到如下結(jié)果：報(bào)考“北約”聯(lián)盟的學(xué)生，都沒(méi)報(bào)考“華約”聯(lián)盟報(bào)考“華約”聯(lián)盟的學(xué)生，也報(bào)考了“京派”聯(lián)盟報(bào)考“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生，都沒(méi)報(bào)考“京派”聯(lián)盟不報(bào)考“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生，就報(bào)考“華約”聯(lián)盟根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A沒(méi)有同時(shí)報(bào)考“華約” 和“卓越”聯(lián)盟的學(xué)生 B報(bào)考“華約”和“京派”聯(lián)盟的考生一樣多C報(bào)考“北約” 聯(lián)盟的考生也報(bào)考了“卓越”聯(lián)盟D報(bào)考“京派” 聯(lián)盟的考生也報(bào)考了“北約”聯(lián)盟參考答案：D3. 曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后，對(duì)應(yīng)曲線的方程為( )A. B. C. D. 參考答案：B【分析】利用伸縮變

3、換解出，代入曲線方程可得.【詳解】由可得代入曲線方程可得.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查坐標(biāo)系的變換，利用變換規(guī)則和變換之前的方程可得新方程，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4. 已知橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是1，則點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是( )A.B.C.D.參考答案：D5. 已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D）參考答案：C（解1）由已知，令，得或，當(dāng)時(shí)，；且，有小于零的零點(diǎn)，不符合題意。當(dāng)時(shí)，要使有唯一的零點(diǎn)且0，只需，即，選C（解2）：由已知，=有唯一的正零點(diǎn)，等價(jià)于有唯一的正零根，令，則問(wèn)題又等價(jià)于有唯一的正零根，即與有唯一的交點(diǎn)且交點(diǎn)在在y軸右側(cè)，記，由，

4、要使有唯一的正零根，只需，選C6. 已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，則的值為 A-110 B-90 C90 D110參考答案：D ：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，難度一般。因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，解得所以，故選D。7. 已知等比數(shù)列an的公比q0且q1，又a60，則( )Aa5+a7a4+a8Ba5+a7a4+a8Ca5+a7=a4+a8D|a5+a7|a4+a8|參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)【專題】計(jì)算題【分析】等比數(shù)列an的公比q0且q1，又a60，知此等比數(shù)列是一個(gè)負(fù)項(xiàng)數(shù)列，各項(xiàng)皆為負(fù)，觀察四個(gè)選項(xiàng)，比較的是a5+a7，a4+

5、a8兩組和的大小，可用作差法進(jìn)行探究，比較大小【解答】解：a60，q0a5，a7，a8，a4都是負(fù)數(shù)a5+a7a4a8=a4（q1）+a7（1q）=（q1）（a4a7）若0q1，則q10，a4a70，則有a5+a7a4a80若q1，則q10，a4a70，則有a5+a7a4a80a5+a7a4+a8故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)屬基礎(chǔ)題8. 如圖是某手機(jī)商城2018年華為、蘋果、三星三種品牌的手機(jī)各季度銷量的百分比堆積圖（如：第三季度華為銷量約占50%，三星銷量約占30%，蘋果銷量約占20%），根據(jù)該圖，以下結(jié)論中一定正確的是（ ）A. 四個(gè)季度中，每季度三星和蘋果總銷量之和均不低于

6、華為的銷量B. 蘋果第二季度的銷量小于第三季度的銷量C. 第一季度銷量最大的為三星，銷量最小的為蘋果D. 華為的全年銷量最大參考答案：D【分析】根據(jù)華為、蘋果、三星三種品牌的手機(jī)各季度銷量的百分比堆積圖，分析出每個(gè)季度華為、蘋果、三星三種品牌的手機(jī)各季度銷量的百分比，再對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，第四季度中，華為銷量大于50%，三星和蘋果總銷量之和低于華為的銷量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，蘋果第二季度的銷量大于蘋果第三季度的銷量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，第一季度銷量最大的是華為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖知，四個(gè)季度華為的銷量都最大，所以華為的全年銷量最大，D正確，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查百

7、分比堆積圖的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題.9. 將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是 ( ）A B C D 參考答案：D10. 已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，那么的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 參考答案：D二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知橢圓是橢圓上兩點(diǎn)，有下列三個(gè)不等式.其中不等式恒成立的序號(hào)是 .（填所有正確命題的序號(hào)） 參考答案：略12. 設(shè)a0.若曲線與直線xa，y=0所圍成封閉圖形的面積為a，則a=_ _.參考答案：略13. 三棱錐S-ABC中，SA平面ABC，ABBC，SA

8、AB1，BC，則三棱錐外接球O的表面積等于_.參考答案：14. 設(shè)，若，則實(shí)數(shù) 參考答案： 15. 為了在下面的程序運(yùn)行之后得到輸出，則鍵盤輸入x的值應(yīng)該為 參考答案：16. 已知點(diǎn)，橢圓與直線交于點(diǎn)、，則的周長(zhǎng)為_(kāi)參考答案：817. 已知，函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 .參考答案：（0，+）三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18. 已知橢圓C：的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，拋物線的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn) (I)求橢圓C的方程； (II)已知圓M：的切線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)

9、，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：略19. （本題滿分7分）證明下面兩個(gè)命題：（1）在所有周長(zhǎng)相等的矩形中，只有正方形的面積最大；（2）余弦定理：如右圖，在中，、所對(duì)的邊分別為、，則參考答案：證明一：（1）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，寬分別為，由題設(shè)為常數(shù)由基本不等式2：，可得：， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 即當(dāng)且僅當(dāng)長(zhǎng)方形為正方形時(shí)，面積取得最大值 證明二：（1）設(shè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則寬為 于是，長(zhǎng)方形的面積， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積最大為，此時(shí)，長(zhǎng)方形的為，即為正方形（2）證法一： 故， 證法二 已知中所對(duì)邊分別為以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則， 故， 證法三 過(guò)邊上的高，則故，20. 如圖

10、，在三棱錐中，.（）求證：；（）求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：（）如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)闉檎切?，所以；因?yàn)?，所?又，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?（）解法一：過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連結(jié).因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，故平?所以直線與平面所成角為.在中，由余弦定理得，所以.所以，.又，故，即直線與平面所成角的正弦值為.解法二：如圖，以原點(diǎn)，以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系.可求得，則，.平面的一個(gè)法向量為，.設(shè)直線與平面所成角為，則.21. （本小題滿分14分）已知函數(shù),其中.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為，且，求a的取值范圍參考答案：解(1)f(x)3x22ax，要使f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，則f(x)0在(0,2)上恒成立，-2分f(x)是開(kāi)口向下的拋物線，a3. -6分(2)0，tan3x22ax0,1據(jù)題意03x22ax1在(0,1上恒成立，-9分由3x22ax0，得ax，a， -11分由3x22ax1，得ax.又x(當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取“”)，a .-13分綜上，a的取值范圍是a. 14分22. 為了保護(hù)一種珍貴文物，博物館需要在一種無(wú)色玻璃的密封保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)氣體。假設(shè)博物館需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成：罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體的