高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例文檔

1、 高二數(shù)學(xué)必修第二章等比數(shù)列前 n 項和教學(xué)案例在教學(xué)設(shè)計時，雖然我把教學(xué)等比數(shù)列前n 項和公式作為重點來處理，但著墨并不多，因為我把更多的心思放在了練習(xí)的設(shè)計與安排上， 期望在課堂教學(xué)中， 能夠在練習(xí)這一環(huán)節(jié) 上綻放精彩。沒想到，到頭來卻成了有心栽花花不開，無意插柳柳成行。那天上課時，一開始先進行常規(guī)復(fù)習(xí)，接著為了烘托課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的求知欲望， 我用故事激趣導(dǎo)入新課（為表述方便，以下片斷中的教師即指稱筆者自己） ：我：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的概念與通項公式， 誰來說一說怎樣的數(shù)列叫做等比數(shù)列？ 判斷等比數(shù)列的方法有哪幾種？。 聽說有些同學(xué)喜歡國際象棋， 關(guān)于國際象棋有一個很 有趣的故事

2、，大家想聽嗎？，誰知道有多少粒麥子呢？學(xué)生：（學(xué)生議論紛紛，大多認為不會太多吧）我：這個問題就歸結(jié)為今天要學(xué)習(xí)的等比數(shù)列的求和問題。 等比數(shù)列的前 n 項怎么表示？如 何求出結(jié)果？學(xué)生： 有的學(xué)生默不作聲， 有的由于預(yù)習(xí)了教材而脫口說出了求解思路， 教師投以贊許的目 光。我：請一名學(xué)生板書出公式的推導(dǎo)過程：（1）（2）由（ 1）（ 2）得（*）我：這種方法叫做 “錯位相減法 ”，并解釋為什么稱之為 “錯位相減法 ”。問：公式涉及到等比 數(shù)列的哪幾個基本量？大家對公式有什么要補充嗎？學(xué)生：公式（ * ）中 ，此公式還可寫成 ；當(dāng) 時，是常數(shù)列， 我：這是一個重要的公式，應(yīng)用時要注意什么？（ ）大

3、家對于它還有什么問題嗎？不問不打緊，一問還真問出了問題。這時，只見坐在前排的一個學(xué)生拋出了一句： “老師， 這個 錯位相減法 是怎么被想出來的呢？ ”我愣了一愣： 是呀， 這個方法是怎么被想出來的呢？在以往的教學(xué)中， 并沒有學(xué)生問起這個 問題， 自己也沒有留意過這個問題， 當(dāng)然更沒有研究過這個問題。 面對著全班學(xué)生，在眾目 睽睽之下，我真的心虛。風(fēng)暴乍起，晴天霹靂，躲又沒處躲，退也沒法退，進又進不得，怎么辦？索性與之較量一番 吧！置之死地而后生。嘿！這樣一想，心情反而平靜了下來。我：這位同學(xué)提了一個很好的問題， 是呀， 這個方法是怎么被發(fā)現(xiàn)的呢？我們能不能自己來 發(fā)現(xiàn)公式的推導(dǎo)方法呢？于是我要

4、求每前后兩桌的 4 個學(xué)生組成一組， 進行探究活動， 一旦有了想法就推舉一名代表 發(fā)言，陳述想法。大約 6、7 分鐘后，就有個小組報告說，他們利用倒序相加法來求，但無論怎么試都不可行。（評注： 等差數(shù)列前 n 項和是利用倒序相加法求得的， 他們想用這個辦法來試試， 他們的這 種想法，于情于理都很自然）接著又有一個小組報告了他們的發(fā)現(xiàn)：學(xué)生： 我們發(fā)現(xiàn)中的每項都有， 所以首先想到的可能是提取，即， 但是我們無法求 出。后來我們又發(fā)現(xiàn)除第一項外，也可以提取，也就是（* ）但我們不知道這樣做有沒有用。 （以上內(nèi)容均予以板書出來）我眼睛一亮，嘿！還真有戲了，不露聲色地微微一笑：大家再仔細觀察（ * ）

5、，還能發(fā)現(xiàn)什 么？有學(xué)生說：括號內(nèi)是數(shù)列的前 n-1 項求和，也就是，這樣 （評注：這離真正的求和公式僅一步之遙了）我：請學(xué)生繼續(xù)思考，希望他們能發(fā)現(xiàn) 與 之間的關(guān)系。果然幾分鐘后就有下文了。學(xué)生：，這樣代入上式就可以求出。我：很好！大家再仔細看看，這個方法與錯位相減法有什么關(guān)系呢？ 一經(jīng)提醒，大家可開心了，每張臉上都寫滿了興奮：是呀，他們自己發(fā)現(xiàn)了錯位相減法，這 能不歡呼雀躍嗎！一看時鐘，課已經(jīng)進行了 30 多分鐘，顯然原先的例題教學(xué)與練習(xí)安排不可能按照原計劃完 成了，于是我對例題教學(xué)進行了壓縮，對練習(xí)也重新做了調(diào)整。下課鈴響了，學(xué)生們似乎還意猶未盡，我?guī)е┰S的不安離開了教室。這是一堂沒有

6、上完的課， 這是一堂令我難忘的課。 這堂課沒有在預(yù)計的練習(xí)中出彩， 原本沒 想要它出彩的公式教學(xué)卻綻放出光彩。等差數(shù)列的前 n 項和”的教學(xué)案例 現(xiàn)代認知心理學(xué)認為： 學(xué)生只有參與教學(xué)實踐， 參與問題探究， 才能建立起自己的認知結(jié)構(gòu)， 才能靈活地運用所學(xué)知識解決實際問題， 才能有所發(fā)現(xiàn)、 有所創(chuàng)新。 傳統(tǒng)的教學(xué)模式教 師講、學(xué)生聽， 導(dǎo)致學(xué)生被動接受知識， 很大程度上阻礙了學(xué)生的主動參與，限制了學(xué)生的 思維活動及相應(yīng)能力的培養(yǎng)和形成， 學(xué)生很難適應(yīng)新時期的教育教學(xué)要求。 改進教學(xué)模式和 教學(xué)方法的變革刻不容緩。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在過去的舊觀念下的那種“滿堂灌” ，到現(xiàn)在 部分教師的 “滿堂問”都

7、存在著嚴重的問題。 “提出問題比解決問題更為重要 （愛因斯坦） ”， 所以提問不是簡單的教師提、 學(xué)生答， 而應(yīng)該更多的引導(dǎo)學(xué)生相互提問。 下面就以我的一堂 “等差數(shù)列的前 n 項和”，進行教學(xué)反思。一、在探究過程中設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生主動參與，提高課堂教學(xué)效率 新知識的學(xué)習(xí)都必須通過主體的積極參與， 才能將新知識納入已有的認知結(jié)構(gòu)。 在新知識教 學(xué)中，為了讓學(xué)生積極主動的參與到教學(xué)活動中去，精心的設(shè)問是關(guān)鍵。 在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的過程中，結(jié)合學(xué)生已有的知識 等差數(shù)列的概念、通項公式和 性質(zhì)，為了讓學(xué)生積極主動地將新知識納入已有的認知結(jié)構(gòu)，設(shè)計下列問題：問題 1、 123100？這是學(xué)生小學(xué)就已

8、具備的高斯求和知識，學(xué)生可以解決。問題 2、能否用上述方法解決等差數(shù)列的Sn?特殊到一般 Sn（ a1 an）（ a2 an-1） 問題 3、 a1an a2 an-1 是否成立？問題 4、按上述匹配法，可分多少組？教師分析，學(xué)生思考后，注意結(jié)合n 的特值，容易得出：取決于 n 的奇、偶性。即： n 為偶數(shù) ,an （a1 an）nn 為奇數(shù)， n1 為偶數(shù)，則 an （a1 an）（n1）問題 5、與 a1,an 有何聯(lián)系？聯(lián)想性質(zhì)可得： （a1 an）,綜上 Sn （a1 an）n 問題 6，從上述結(jié)論 Sn n（ a1 an）類似于哪個公式？ S 梯形如何求得？引例中的鋼管數(shù) 如何求得？

9、類似地能否求 Sn。 歸納出數(shù)列求和的一種重要方法：倒序相加。二、在課堂小結(jié)中設(shè)問，有助于課后的自主學(xué)習(xí)，提高課堂教學(xué)效率 課堂小結(jié)在課堂教學(xué)中往往起著提綱契領(lǐng)， 畫龍點睛的作用， 它通常是本節(jié)課的基礎(chǔ)知識和 思想方法及關(guān)鍵點。 如果教師直接小結(jié)， 哪怕 “字字珠璣 ”，其結(jié)果往往是 “平平淡淡 ”。因此， 小結(jié)時，教師精心設(shè)問， 有助于學(xué)生主動認清所學(xué)知識的本質(zhì)，理清所學(xué)知識的脈絡(luò)， 使知 識系統(tǒng)化， 同時，更有助于學(xué)生課后的主動學(xué)習(xí)。 本節(jié)課在小結(jié)時， 我提出了一系列的問題， 比如小于 1000 的正整數(shù)中被 7 除余 2 的數(shù)之和為多少？以一種懸念性，有助于學(xué)生課后主 動探討。有時， 前

10、后兩節(jié)知識內(nèi)容聯(lián)系緊密， 為了下節(jié)課的教學(xué)， 可提出一些與后一節(jié)課有 關(guān)的具有啟發(fā)性的問題， 這些問題讓學(xué)生一方面鞏固本節(jié)課的知識， 另一方面讓學(xué)生感到似 乎是熟悉的，能解決的，但又不太清楚，不能立即解決，從而產(chǎn)生躍躍欲試的感覺。另外， 也可以在小結(jié)時，將問題引向更深入的問題， 有助于優(yōu)生課后的自主學(xué)習(xí)。 還有， 傳統(tǒng)教學(xué) 的課堂小結(jié)由教師當(dāng)堂完成的唯一辦法也應(yīng)該有其它方法來補充，比如， 我們可以考慮讓一部分課堂，教師不作小結(jié)，由學(xué)生來作小結(jié)，然后同學(xué)補充，最后由教師點評，甚至于還可 以讓部分課堂根本就不要小結(jié)， 而將小結(jié)這項工作留為學(xué)生課外作業(yè)， 讓學(xué)生們各自課外獨 立完成小結(jié)后，再由教師集

11、中整理，留待后面的課堂中完成。數(shù)學(xué)問題包含數(shù)學(xué)習(xí)題， 但數(shù)學(xué)問題絕不等于數(shù)學(xué)習(xí)題。 問題的目的不是 “灌水 ”，而是為學(xué) 生的思維 “點火 ”。古希臘一位智者說過： “人腦不是一個可以灌注的容器，而是一只可以點 燃的火把。 ”所以，課堂上的設(shè)問，應(yīng)該是將現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)素材、學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識 和能力、數(shù)學(xué)文化發(fā)展史中的史料、 數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)內(nèi)容等多方面的數(shù)學(xué)素材的自然結(jié)合， 讓學(xué)生們真切感受到數(shù)學(xué) “現(xiàn)實真理性 ”與“模式真理性 ”的雙重價值， 這樣自然就能點燃學(xué)生 的“智慧火種 ”，從而為學(xué)生的自己學(xué)習(xí)提供生存環(huán)境。 課堂教學(xué)是我們培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的 主要途徑， 設(shè)問是教學(xué)中的一個環(huán)節(jié)，

12、 但也是各種教改都須重視的重要環(huán)節(jié)。 將精心設(shè)問貫 穿在課堂教學(xué)的各個環(huán)節(jié)， 教師的知識傳授與學(xué)生的學(xué)習(xí)在疑問中開始， 探索、 論證、小結(jié)、 發(fā)展，則學(xué)生的思維習(xí)慣得以養(yǎng)成，求知的熱忱得以激發(fā)，學(xué)習(xí)興趣得以培養(yǎng)，思維品質(zhì)、 能力得以全面發(fā)展。精心設(shè)問，刺激學(xué)生心智不斷向前追求，主動探索，自主學(xué)習(xí)，全面提 高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率。閱讀“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)案例說明：因為編寫“自主學(xué)習(xí)”專題論文比賽獲獎作品集的需要， 7 月 13 日開始，我通讀了 獲獎的作品，也對那些文章做了一些修改。本來， 今年 6 月的時候，我曾經(jīng)委托學(xué)校高一語 文備課組的幾位年輕教師做校對工作，但是他們的工作不盡如人意。 現(xiàn)

13、在，我把讀稿時的想法記錄下來，也算是工作留痕吧。我修改了論文的標(biāo)題。原來的標(biāo)題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)學(xué)生的自主活動探索 “橢圓及其 標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)的案例分析 ，修改之后的為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中自主學(xué)習(xí)活動的探索 “橢 圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)案例 。對于原先的標(biāo)題 “數(shù)學(xué)課堂教學(xué)學(xué)生的自主活動探索”來說， 它是不明確的， 或者說搭配是不恰當(dāng)?shù)摹?該文討論的對象是一次教學(xué)活動， 這次活動是學(xué)生 在“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)”中的自主學(xué)習(xí)活動。當(dāng)然“自主學(xué)習(xí)”的對象就是學(xué)生，也就不需要說 明了。再則， “自主活動探索”說的是一次活動（ “探索”的意義等同于“活動” ）呢，還是 說作者要思考一次“自主活動”呢，是有不同理解的。從

14、行文內(nèi)容來看，作者是在思考。 原先的副標(biāo)題“教學(xué)的案例分析”也是存在贅余的問題， “案例”包含了“分析” ，因為本文 不是討論案例撰寫方面的問題的。語言表達方面的修改例子。例子 1：原文：新課程標(biāo)準(zhǔn)要求在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進行一定的數(shù)學(xué)探究活動，對一些數(shù)學(xué)知識及應(yīng)用問題用科學(xué)探究的方法過程來完成，讓學(xué)生能有一個自主建構(gòu)知識的過程，學(xué)會自主學(xué)習(xí)。改文：新課程標(biāo)準(zhǔn)要求在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進行一定的數(shù)學(xué)探究活動，對一些數(shù)學(xué)知識及應(yīng)用問題用科學(xué)探究的過程和方法來完成，讓學(xué)生能有一個自主建構(gòu)知識的過程，學(xué)會自主學(xué)習(xí)。 分析：“過程”是探究的重要內(nèi)容，也許“過程”比“方法”更重要。當(dāng)然修改為“方法和 過程”，我覺得也是可

15、以的。例子 2：原文： 從學(xué)生的心理學(xué)習(xí)心理上看， 學(xué)生頭腦中雖有一些橢圓的實物實例， 但并沒有上升為 “概念”的水平，如何給橢圓以數(shù)學(xué)描述 ?如何“定性”“定量”地描述橢圓是學(xué)生關(guān)注的問 題，也是學(xué)習(xí)的重點問題。改文： 從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看， 學(xué)生頭腦中雖有一些橢圓的實物實例， 但并沒有上升為 “概 念”的水平。如何給橢圓以數(shù)學(xué)描述，如何“定性” “定量”地描述橢圓，是學(xué)生關(guān)注的問 題，也是學(xué)習(xí)的重點問題。分析：句子不連貫，標(biāo)點符號使用有問題。例子 3：原文： 傳統(tǒng)的教學(xué)方法都是首先開門見山地給出橢圓的定義， 板演橢圓的曲線， 再結(jié)合圖形 逐字逐句地摳定義。改文：去掉“以前” 分析：重復(fù)了。

16、例子 4：原文： 為了突破重點，我在教學(xué)中決定抓住學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，采用循序漸進、逐層推進的 方法。改文：“最近發(fā)展區(qū)”上面加雙引號 分析：“最近發(fā)展區(qū)”是一個特定稱謂。例子 5： 原文：這樣，學(xué)生可以在對比、觀察、思維的基礎(chǔ)上提升自己的思維，使新知識與舊知識盡 可能產(chǎn)生自然的聯(lián)系，而不是人為的告訴其正確的結(jié)果，把經(jīng)驗強加給學(xué)生。改文： 這樣，學(xué)生可以在對比、 觀察的基礎(chǔ)上提升自己的思維，使新知識與舊知識盡可能產(chǎn) 生自然的聯(lián)系，而不是人為的告訴其正確的結(jié)果，把經(jīng)驗強加給學(xué)生。分析：“在思維的基礎(chǔ)上提升自己的思維”好像是廢話。例子 6：原文： 同時也讓學(xué)生明確橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是有兩種形式， 以后在

17、遇到求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時， 一 個自然的想法就是“橢圓焦點在哪個軸上？，需要討論嗎？” 改文：同時也讓學(xué)生明確橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是有兩種形式， 以后在遇到求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程問題時， 一個自然的想法就是“橢圓焦點在哪個軸上，需要討論嗎” 。分析：標(biāo)點符號使用出了問題。例子 7： 原文：此時教師引導(dǎo)學(xué)生考慮：動點到兩個定點的距離涉及幾種情況？（相等、和為常數(shù)、 差為常數(shù)等） 。改文：此時教師引導(dǎo)學(xué)生考慮： “動點到兩個定點的距離涉及幾種情況？”一般情況下，學(xué) 生會提出相等、和為常數(shù)、差為常數(shù)等看法。分析：此處不能夠使用括號， 因為括號中的內(nèi)容是文章的重要部分， 不是可有可無的。 同時， 使用括號造成了上下句不

18、連貫。例子 8：原文： 從新課改以來，我一直在思考，我們究竟需要怎樣的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)， 怎樣才能讓學(xué)生 積極的參與到課堂中來，并能獲得不錯的教學(xué)效果？改文：把“？”改為“。 ”。 分析：句子雖然包含疑問代詞，但是并不是疑問句。直線與橢圓教學(xué)案例一、教學(xué)目標(biāo)理解直線與橢圓的各種位置關(guān)系， 能利用方程根的判別式來研究直線與橢圓的各種位置關(guān) 系；掌握和運用直線被橢圓所截得的弦長公式；初步掌握與橢圓有關(guān)的弦長、中點、垂直等問題的一些重要解題技巧；進一步樹立數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等重要數(shù)學(xué)思想.二、重點難點 利用“數(shù)”與“形”的結(jié)合，利用方程解決直線與橢圓的位置關(guān)系和有關(guān)弦長等問題 .三、

19、教學(xué)方法導(dǎo)學(xué) 討論式，多媒體課件輔助教學(xué) .四、教學(xué)過程（一）設(shè)置情境 導(dǎo)入新課 在初中已經(jīng)研究過直線與圓的各種位置關(guān)系， 通常用圓心到直線的距離的變化來判斷直線與 圓的各種不同的位置關(guān)系 .但這種方法能用于直線與橢圓的位置關(guān)系的討論嗎？不能！那么 怎么辦？將兩個方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x （有時也可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y） 的一元二次方程來研究、討論 .而我們對一元二次方程是比較熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”來研究、 討論、解決陌生的直線與橢圓的位置關(guān)系及其有關(guān)問題 .探索研究問題 1： 當(dāng)實數(shù) m 分別取何值時，直線 l： y=x+m 與橢圓 9x2+16y2=144 相交、相切、相 離？

20、分析：將直線和橢圓的方程聯(lián)立，得關(guān)于 x 的一元二次方程 25x2+32mx+16m2-144=0 ， =576(25- m2) ，當(dāng)(1)0，即 -5m5 時，直線 l 與橢圓相交； (2)=0，即 m=5，或 m= -5 時，直線 l 與橢圓相切； (3)0，即 m5，時，直線 l 與橢圓相離 . 將曲線位置關(guān)系的研究的問題轉(zhuǎn)化為方程根的討論的問題， 這是本節(jié)課的核心。 在不同的范 圍內(nèi)取值時，決定了直線與橢圓的不同的位置關(guān)系，體現(xiàn)了量變到質(zhì)變的哲學(xué)思想。22x2 y 2 1問題 2： 過橢圓 16 4 內(nèi)一點 M(2 ，1)作橢圓的弦，點 所在直線 l 的方程 (如圖 )。分析一：設(shè) l

21、 ：y-1=k(x-2) 交橢圓于點 A(x1 ， y1)、 B(x2 ， y2)， 將直線方程代入橢圓方程化為 x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)-16=0. 則由韋達定理得，故所求直線方程為 x+2y-4=0.這個方法是最基本、最常規(guī)、最通用，也是最重要的方法，必須熟練掌握 .韋達定理在這里發(fā)揮出很大的作用，以后我們還可以發(fā)現(xiàn)它的更大的作用.知識就是要做到前后連貫，并組成一個有機的整體分析二：同上所設(shè)，因為點 A、B 都在橢圓上，則得x1x14y12 1622x22 4y22 16 經(jīng)觀察知這兩個式子除了字母的下標(biāo)不同外， 其余都相同， 將兩式相減， 看能得到什么結(jié)果： (x1+x2

22、) (x1-x2)+4(y1+y2) (y1-y2)=0可以知道式中的x1+ x2=4 ， y1+y2=2 ，那么得 4 (x1-x2)+8 (y1-y2)=0.根據(jù)上式能得到什么呢？得到直線 l 的斜率，則 .、兩式被稱為同構(gòu)式，就是除了字母的下標(biāo)不同外，其余的結(jié)構(gòu)都相同.第一次用同構(gòu)式來解題， 覺得非常新穎和奇妙， 甚至覺得不可思議， 怎么想起來的呢？這是探索嘗試的結(jié) 果.可是當(dāng)你掌握了這個方法，并熟練地解決了幾道題后，你就會覺得不新鮮了 .許多技能技 巧都是這樣，一個生，二回熟，熟能生巧嘛！分析三：設(shè) A(x ， y)，則得x2+4y2=16又 M(2 ，1)是 AB 的中點，所以 B(

23、4-x ， 2-y) ，又點 B 也在橢圓上，則得(4-x)2+4(2-y)2=16、兩式當(dāng)然不是同構(gòu)式， 怎么辦？回顧在研究求相交兩圓的公共弦所在直線方程時， 用 過什么方法，那么在這里能不能用呢？大膽嘗試！-化得 沒有想到在圓中曾用過的技巧在這里又發(fā)揮了它的威力。 分析四：橢圓的上頂點和右頂點分別是 (0，2)、(4，0)，M(2 ，1)恰為連結(jié)這兩點的線段的中 點，故所求直線即為連結(jié)這兩點的直線由巧妙的發(fā)現(xiàn)得到巧妙的解法 .雖然這里有一定的偶然性，但這是一種機遇，解數(shù)學(xué)題時若 發(fā)現(xiàn)和利用題中的某些隱含條件，充分題目給的機遇，可使解答大大簡捷.不過，這到底不問題 3 ：橢圓 C 的焦點分別

24、為 F1（-2，0）、F2（2，問題 3 ：橢圓 C 的焦點分別為 F1（-2，0）、F2（2，0），橢圓 E以 C的焦點為焦點，且過直是一種通用的常規(guī)解法線 x+y-9=0 上的一點 P，當(dāng)橢圓 E 的長軸最短時，求橢圓 E 的方程 .l 上求一點 P，使 P 到直線 l 外的兩個已知點A 、B 的距離之和最短分析一：如圖，在直線在初中時解過此題，作點 B 關(guān)于直線 l 的對稱的點 C ，連 AC 交 l 于點 P，則 P 為所求之點，即 P 到 A 、 B 兩點的距離之和最短 .222x2 2y2 1 利用上面的結(jié)論，即可得橢圓 E 的方程為 85 77 . 貯存在腦中的初中知識在這里顯示

25、出它的巨大作用 .分析二：由已知可設(shè)橢圓E：2x2a2ya2 4與直線 l 的方程聯(lián)立，化得關(guān)于 x的一元二次方程，由 =0 得解 當(dāng)橢圓 E與直線 l相切時，橢圓 E 的長軸最長，故得上述解法 .問題 4： 若橢圓 ax2+by2=1（a0 ， b0）與直線 l：x+y=1 交于 A、B兩點，M 是 AB 的中點， 直線 OM 的斜率為 2，且 OA OB（O 為原點 ），求橢圓的方程 .分析：欲求橢圓的方程，只要求出a、b 的值，構(gòu)建關(guān)于 a、b 的方程組是解決問題的關(guān)鍵為此，設(shè) A（x1 ， y1）、B(x2 ， y2)為此，設(shè) A（x1 ， y1）、B(x2 ， y2)，則 M(x1x

26、22y1y2 )2)OM 所在直線為 y=2x ，與直線 AB 的交點為12,）3 3 ，由橢圓與直線l 的方程消去 y 得x1x2+y1y2=0.a+b=2a解、可得4x1x2+y1y2=0.a+b=2a解、可得4,b2 4 2x3 ，則所求橢圓方程為 3223y2b1(a+b)x2-2bx+b-1=0 ，則由韋達定理得 a b 3再設(shè)法求得關(guān)于 a、b 的一個方程，由已知得 OA OB 0再由韋達定理得在解析幾何問題的解答過程中，往往有比較麻煩的計算，不應(yīng)該被這種“簡單的復(fù)雜計算”擋住了我們的去路，這也是對我們意志品質(zhì)的考驗和鍛煉 .問題 4 的變式 ： 將直線 OM 的斜率改變?yōu)?2 ，

27、將條件“OA OB”改為“弦 AB 的長 |AB|為2 2 ”，求橢圓的方程分析一：由弦長公式得關(guān)于a、 b 的一個方程分析一：由弦長公式得關(guān)于a、 b 的一個方程再由已知得另一個關(guān)于 a、b 的一個方程 a b再由已知得另一個關(guān)于 a、b 的一個方程 a b22解此方程組可得所求橢圓方程為12x3223y分析二：因為 M 是 AB 的中點，那么 |AM|=|BM|= 2 .又點 A、B 都在直線 l上，所以得 A（1 2, 2） 、B（32, 2 2）.代入橢圓方程即可得解 .（三）課堂練習(xí) 蘇教版課課練 P.103 的 T2、T3.（四）提煉總結(jié)解決橢圓與直線的位置關(guān)系的問題時，一般是將曲

28、線問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組的問題，從 而以“數(shù)”為工具解決“形”的問題，這種“數(shù)”與“形”之間的互相轉(zhuǎn)換是多種數(shù)學(xué)思想 的充分體現(xiàn)；在解決有關(guān)問題時，首先要努力設(shè)法運用常規(guī)的方法，即“通性、通法”，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一條最重要的準(zhǔn)則， 所以必須熟練掌握有關(guān)的基礎(chǔ)知識和基本技能， 并努力做到融會貫通 和靈活運用；解決這類問題并不需要多么高的智商， 只要基礎(chǔ)比較扎實， 再加上個人的良好的個性品質(zhì)， 就能做到無往而不勝 .（五）作業(yè)布置 蘇教版課課練 P.103 的 T9、T10.六）板書設(shè)計直線與橢圓一、直線和橢圓的位置關(guān)系問題 1 變式題問題 2 練習(xí)題二、探索研究 三、提煉總結(jié) 問題 3 教學(xué)后記：

29、教者在試驗班的教學(xué)過程中，將提示量減少到最低限度，盡可能地讓學(xué)生在自主、積極、 合作、交流的過程中展開解題教與學(xué)的活動.只是在關(guān)鍵的時刻，教者作必要的點撥、點化和點評，使學(xué)生提高、深化對解決有關(guān)問題的方法的認識，以便提升到一個新的高度， 這是 能力升華的需要，也是教師科學(xué)加藝術(shù)的教學(xué)方法的生動體現(xiàn) .在本節(jié)課的教學(xué)過程中，始終強調(diào)“通性、通法”的使用價值，但也不排除某些“特性、 特法”的作用 .如同構(gòu)式的使用、兩個橢圓方程相減、抓住題目的某些隱含條件等法，在解 決某些問題中也能發(fā)揮出很大的作用 .這些技巧在熟練掌握后，也就成為“通性、通法”.這里體現(xiàn)了辨證法的思想光輝 .在培養(yǎng)提高學(xué)生的智力因

30、素的同時，時時處處注意到對學(xué)生非智力的培養(yǎng)和開發(fā)，即個 性品質(zhì)的優(yōu)化 .這是現(xiàn)在非常值得重視和進一步研究、討論的熱門話題.4 通過本節(jié)課的教學(xué)，我深刻感受到一份高質(zhì)量的教學(xué)設(shè)計可以使一節(jié)課事半功倍，教師講 的輕松；學(xué)生學(xué)得愉快。而這一切都得益于新的教學(xué)理念：在民主、平等的課堂氣氛中，師 生互促、互動，學(xué)生集思廣益，攻克一個個數(shù)學(xué)堡壘；本節(jié)課的四個問題的各種解法，完全 是由學(xué)生各自提出并由集體加以調(diào)整、 矯正、完善的。教者僅僅是 “討論會”秩序的維持者。良性循環(huán)形成之后，主動發(fā)言權(quán)越是放給學(xué)生，他（她）們發(fā)言之前越是深思熟慮，比如問題 4 中的利用向量解決垂直問題由班中一位同學(xué)提出只后， 問他為

31、什么不用斜率來處理， 他 回答：“可以避免討論” 。令全班同學(xué)都拍掌叫好?？梢姡好裰?、平等、互促、互動的課堂是 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的源泉。一元二次不等式的解法教學(xué)案例教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)： 熟練掌握一元二次不等式的兩種解法； 理解一元二次方程、 一元二次不等式和二 次函數(shù)之間的關(guān)系 .能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生運用等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的能力 . 德育目標(biāo)：通過等與不等的對立統(tǒng)一關(guān)系的認識，對學(xué)生進行辨證唯物主義教育 .情感目標(biāo) : 在自主探究與討論交流過程中，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和創(chuàng)新精神 .教學(xué)重點 : 一元二次不等式的解法 .教學(xué)難點 : 一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)的關(guān)系

32、.教學(xué)過程 :師：（復(fù)習(xí)提問）當(dāng) x 取什么值的時候， 2x-7 的值 （1）等于 0；（2）大于 0；（3）小于 0 。生：（積極舉手） （1）當(dāng)x=3.5 時， 2x-7=0（2）當(dāng) x3.5 時， 2x-7 0（3）當(dāng) x3.5 時， 2x-7 0師：精彩！鼓掌！ （學(xué)生全體鼓掌喝彩）（板書演示圖象 ）師：類比上述圖象解法，能否解決不等式x2-x-6 0， x2-x-6 0，圖象在 x 軸下方部分表示 x2-x-6 0. （一名學(xué)生板演，下面學(xué)生練習(xí) ）觀察黑板上圖象可得：當(dāng) x3時， x2-x-6 0.當(dāng)-2x3 時， x2-x-6 0與 ax2+bx+c 0） 與 x 軸的相關(guān)位置，

33、由二次方程 ax2+bx+c=0 根的判別式 =b2-4ac 的情況確定，分 0、 =0、 0 三種情況 .a0.黑板顯示出：一元二次不等式 ax2+bx+c 0（a 0）的解集 =b2-4ac 0=0 0）圖象ax2+bx+c=0（a 0）ax2+bx+c 0（a 0）ax2+bx+c 0）由學(xué)生填空 .講解書上例 1例 4，并歸納解一元二次不等式的步驟 （學(xué)生總結(jié)，教師歸 納補充 ）：化二次項系數(shù) a為正 .求 .解對應(yīng)的一元二次方程 .最后求解出一元二次不等式 .學(xué)生做課堂練習(xí)： 1.5 節(jié)練習(xí)引申練習(xí)：若關(guān)于 x 的不等式 （a-2）x2+2（a-2）x-4 0 的解集是 R.求實數(shù)

34、a范圍 .老師作課堂小結(jié)：表格 步驟（四組） 思想方法（分類討論，數(shù)形結(jié)合，函數(shù) 與方程，轉(zhuǎn)化思想）簡單線性規(guī)劃教學(xué)案例教學(xué)建議一、知識結(jié)構(gòu)教科書首先通過一個具體問題， 介紹了二元一次不等式表示平面區(qū)域 再通過一個具體 實例，介紹了線性規(guī)化問題及有關(guān)的幾個基本概念及一種基本解法圖解法， 并利用幾道例 題說明線性規(guī)化在實際中的應(yīng)用二、重點、難點分析本小節(jié)的重點是二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域 對學(xué)生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域是一個比較陌生、抽象的概念，按 高二學(xué)生現(xiàn)有的知識和認知水平難以透徹理解， 因此學(xué)習(xí)二元一次不等式 （組） 表示平面的 區(qū)域分為兩個大的層次：（ 1）二元一

35、次不等式表示平面區(qū)域 首先通過建立新舊知識的聯(lián)系， 自然地給出概念 明 確二元一次不等式 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 某一側(cè) 所有點組成的平面區(qū)域不包含邊界直線（畫成虛線） 其次再擴大到 所表 示的平面區(qū)域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實線（2）二元一次不等式組表示平面區(qū)域在理解二元一次不等式表示平面區(qū)域含義的基 礎(chǔ)上， 畫不等式組所表示的平面區(qū)域， 找出各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分 這是 學(xué)生對代數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學(xué)建模方法解決實際問題的基礎(chǔ)難點是把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答對許多學(xué)生來說， 從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少， 學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用 題

36、的最常見困難是不會將實際問題提煉成數(shù)學(xué)問題， 即不會建模 所以把實際問題轉(zhuǎn)化為線 性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點， 并緊緊圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題中的已知條件， 找出約 束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后利用圖解法求出最優(yōu)解作為突破這個難點的關(guān)鍵對學(xué)生而言解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類： 不能正確理解題意， 弄清各元素之間的 關(guān)系； 不能分清問題的主次關(guān)系， 因而抓不住問題的本質(zhì)， 無法建立數(shù)學(xué)模型； 孤立地 考慮單個的問題情景， 不能多方聯(lián)想， 形成正遷移 針對這些障礙以及題目本身文字過長等 因素， 將本課設(shè)計為計算機輔助教學(xué)， 從而將實際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前， 以利于 理解；分析完題后， 能夠抓住

37、問題的本質(zhì)特征， 從而將實際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題 另 外，利用計算機可以較快地幫助學(xué)生掌握尋找整點最優(yōu)解的方法三、教法建議（1）對學(xué)生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域是一個比較陌生的概念，不 象二元一次方程表示直線那樣已早有所知， 為使學(xué)生對這一概念的引進不感到突然， 應(yīng)建立 新舊知識的聯(lián)系，以便自然地給出概念（2）建議將本節(jié)新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的 是為了分散難點，層層遞進，突出重點， 只要學(xué)生對舊知識掌握較好， 完全有可能由學(xué)生主 動去探求新知，得出結(jié)論（3）要舉幾個典型例題，特別是似是而非的例子，對理解二元一次不等式（組）表示 的平面區(qū)域

38、的含義是十分必要的（ 4）建議通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生掌握 “數(shù)形結(jié)合” 的數(shù)學(xué)思想， 盡管側(cè)重于用 “數(shù)” 研究“形”，但同時也用“形”去研究“數(shù)” ，這對培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測、歸納等數(shù)學(xué) 能力是大有益處的（5）對作業(yè)、思考題、研究性題的建議：作業(yè)主要訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范的解題步驟和作圖 能力； 思考題主要供學(xué)有余力的學(xué)生課后完成； 研究性題綜合性較大， 主要用于拓寬學(xué) 生的思維（6）若實際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解（近 似解），應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近 尋求與此直線距離最近的整點，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找如果可行域中的整點數(shù)目很少，采用逐個試驗法也可（7）在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力 資源， 問怎樣運用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大； 二是給定一項任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項