均值不等式教學(xué)設(shè)計

1、2 2 基不式學(xué)計一、錄內(nèi)容同學(xué)們，大家好！基本不等式是高中數(shù)學(xué)教材必修五第三章不等式內(nèi)容的 一個重要組成部分，本節(jié)課我要講的內(nèi)容是“基本不等式我將以“什么是基 本不等式如何證明基本不等式如何利用基本不等式求最值探究線索進(jìn)行 講解。首先一起來了解兩個概念 a, b 為正數(shù)稱 b 的算術(shù)平均數(shù)，稱 , b 的幾何平均數(shù)在有了這樣兩個概念之后我們可能會比較好奇這兩 個數(shù)之間有怎樣的大小關(guān)系呢？下面我們分別從代數(shù)角度和幾何角度來進(jìn)行證明。從代數(shù)角度比較大小常用的方法就是作差以我們不妨先用作差法來探究 一下兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系。具體過程分為四個步驟：a 第一步作差， ab21第二

2、步變形 a ) 2 b ) 2 a b 12( )第三步定號：第四步結(jié)論 0， 0則 ab （當(dāng)且僅當(dāng) 時這里我們得到了一個不等式反映了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 之間的大小關(guān)系有一定的應(yīng)用性所以我們稱其為基本不等式那么如何來證 明不等式呢？其實剛才作差探究兩者大小關(guān)系的過程就給出了基本不等式的一 種代數(shù)證法。那么基本不等式又有怎樣的幾何意義呢？一起來看一個圖形。這是 年 8 在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，此會標(biāo)取材于我國古 代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖所以用這個作為會標(biāo)，一方面是因為它看上 去像一個風(fēng)車象征了中國人民的熱情好客另一方面它是由四個全等的直角 三角形與中間的小正方形拼成的一個

3、大正方形揭示了很多的數(shù)學(xué)奧秘下面我 們就利用這個圖形反映出來的面積大小關(guān)系對基本不等式加以解釋。設(shè)直角三角形的一條直角邊長為a ，另一條直邊長為 b ，則容易得到大正方形邊長為 a ，小正方形邊長為 b 。需要說明的是， 時， 原圖中的小正方形消失四個直角三角形剛好拼成一個完整的大正方形根據(jù)邊ab長可以進(jìn)一步求得每一個小三角形的面積為 ，大正方形面積為 ，從圖2形上可以看出大正方形的面積要大于或者等于四個直角三角形面積的和以有a 2 ab也就是a 2 ，當(dāng)且僅 a ，四個直角三角形面積的和 x = y1 x = y1 ，“二定”（ ）a 與大正方形的面積相等，也就是 。好，這樣我們就借助于圖形

4、用幾2何方法對基本不等式做出了證明。通過以上的學(xué)習(xí)可以知道基本不等式是解決最大（?。┲祮栴}的有力工具， 在利用基本不等式求最大（小）值時，我們有這樣兩個原理：已知 x, y 都是正數(shù)， p s 是常數(shù)，則：（1）xy px y ，當(dāng)且僅當(dāng)x = y取“=”（2）x + y s xys 24，當(dāng)且僅當(dāng) 取“=”利用基本不等式求最值時，應(yīng)注意以下三個條件： （1）各項皆為正數(shù)“一正（2）和或積為定值“二定（3）注意等號成立的條件.（即“三相等 這里我們簡稱為“一正二定三相等”下面我們利用這兩個原理來求解兩道例題：例 1：已知x ，求函數(shù) 3y x (1 - 3x 的最大值。解： x 13， - x

5、0一正= - 3x ) =1 - ) x( - x ) 3 2 當(dāng)且僅當(dāng) x 1 3 =16時等號成立時1 0， ） 6 3三相等函數(shù)y x (1 - 3x 的最大值為112.這道題我們利用基本不等式來求得積的最大值么最小值問題又如何解決 呢？接下來我們看一下例 2：例 2：求函數(shù)y （ x 3）的最小值。 x -3解：3，0 x x - 1 x x x 21 當(dāng)且僅當(dāng)1 等號成立，此時4 函 y 1 的最小值為 5這道題我們就用基本不等式求得和的最小值通過以上這兩道題的求解我 們可以歸納出在利用基本不等式求最值時的一般流程：判斷 a 是否配湊a 為定值為正數(shù)式子者 為定值結(jié)果驗證等號是否 成

6、立化簡不等式反思本節(jié)課的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，對基本不等式的證明可以用代數(shù)法和幾何法， 這兩種證法剛好將數(shù)和形高度的統(tǒng)一到了一起突出數(shù)形結(jié)合的思想有了這樣 的基礎(chǔ)知識之后我們應(yīng)該注意在利用基本不等式求最值時必須具“一正二定 三相等”這三個條件，當(dāng)滿足這樣的條件后利用兩個原理即“積定和最小，和定 積最大”便可求得最值。課后完成課本第 頁習(xí)題 3.4A 組第 1 題和第 3 題。好，本節(jié)微課到此結(jié)束，謝謝大家！二、教目標(biāo)1.通過本節(jié)探究，使學(xué)生學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式，理解這個均值不等式 的幾何意義，掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相 等。2.通過對均值不等式的不同形式應(yīng)用的研究，滲

7、透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，提 高學(xué)生運算能力和邏輯推理能力引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣發(fā)展創(chuàng) 新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。3.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí) 慣，形成積極探索的態(tài)度，逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣。 三、教重難點教學(xué)重點：用數(shù)形結(jié)合的思想理解均值不等式，并從不同角度探索不等式 b 的證明過程不等式求某些函數(shù)的最值及解決些簡單的實際問題。教學(xué)難點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 aba 2的證明過程。四、學(xué)分析學(xué)生在前面學(xué)習(xí)了用不等關(guān)系表示不等式不等式的基本性質(zhì)以及實數(shù)大小 的比較方法

8、在初中學(xué)習(xí)了勾股定理等與基本不等式有關(guān)的知識但是能否在具 體問題情境中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系抽象概括出基本不等式是本節(jié)教學(xué)的一個重難點， 另外，對不等式的證明，學(xué)生經(jīng)歷的很少，這又是本節(jié)課的另外一個難點。用基 本不等式證明不等式求最值解決實際問題是學(xué)生的第三個難點基于上述因 素，在教學(xué)設(shè)計上可以通過合理的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、探索并證明。 五、教分析本節(jié)是人教社高中數(shù)學(xué)必修五第三章不等式第四節(jié)的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué) 習(xí)了不等關(guān)系與不等式等式的基本性質(zhì)以及實數(shù)大小的比較等內(nèi)容后的一個 綜合應(yīng)用也是今后學(xué)習(xí)選修教材的推理與證明以及不等式選講的必備知識本 節(jié)內(nèi)容從不等關(guān)系的發(fā)現(xiàn)到用不等式描述并證明從幾何意義等角

9、度對基本不 等式加以解釋最后到基本不等式的應(yīng)用是一個完整的系統(tǒng)其意圖就是讓學(xué)生 經(jīng)歷一個數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得所必須經(jīng)歷的過程讓學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的良好素材。同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合化歸等重要數(shù)學(xué)思想所以有利于培養(yǎng)學(xué)生良 好的思維品質(zhì)。六、教環(huán)節(jié)()課堂導(dǎo)，引入知若a a, b 為正數(shù)稱 a 的算術(shù)平均數(shù) ab a 的算術(shù)平均數(shù)。2(設(shè)計意尋求學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入新的概念為下面的學(xué)習(xí)掃清障礙) ()信息交，揭示律a b問題 與 ab 有怎樣的大小關(guān)系呢？2用做差法探究兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系第一步作差a 2- 第二步變形 , b 分別寫 ( a ) ( )的形式得到一個完全平方式。第

10、三步定號顯然這個式子大于等于 0第四步得出結(jié)論， a ，則 ab a b2當(dāng)且僅 a b 時，取“=如此一來，我們可以得到如下結(jié)論：a a ，則 ab 當(dāng)且僅 時，取“=2(設(shè)計意： 養(yǎng)學(xué)生獨立思考、解決問題的能力，使學(xué)生體會不等式證明 的常用方法.）問題 均值不等式又有怎樣的幾何意義呢？這是 2002 年 8 月在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會會標(biāo)，此會標(biāo)取材于我國古代 數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖所以用這個作為會標(biāo)，一方面是因為它看上去 像一個風(fēng)車象征了中國人民的熱情好客另一方面它是由四個全等的直角三 角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，揭示了很多的數(shù)學(xué)奧秘。設(shè)直角三角形的一條直角邊長為 另一條直角

11、邊長為 則容易得到大正方形邊長為 a 小正方形邊長為 b 時原圖中的小正方形 消失四個直角三角形剛好拼成一個完整的大正方形根據(jù)邊長可以進(jìn)一步求得每一個小三角形的面積為ab2，大正方形面積為 ，從圖形上可以看出大正方形的面積要大于或者等于四個直角三角形面積的和，所以有 2 也就是a 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) a 時，四個直角三角形面積的和與大正方形的面積a 相等，也就是 ab 。2(設(shè)計意： 學(xué)生初中已經(jīng)接觸過的趙爽弦圖作為素材，可使學(xué)生有熟悉 的感覺.)問題 通過剛才的學(xué)習(xí)我們可以得到怎樣的規(guī)律呢？1 ， 即函 數(shù)1 ， 即函 數(shù)已知 , y 都是正數(shù)， p , s 是常數(shù)，則當(dāng) xy p 時，即積是定

12、值由基本不等式可知 x 2 p 當(dāng)且僅當(dāng) 取 此時 x y 取得最小值 2 p 當(dāng)x y s ，即和為定值則 xy 24，當(dāng)且僅當(dāng) 時 xy 得最 大值為 。利用基本不等式求最值時，應(yīng)注意以下三個條件）各項皆為正 4數(shù)）和或積為定值注意等號成立的條件；這里我們簡稱為“一正二定 三相等(設(shè)計意： 過歸納總結(jié)使學(xué)生學(xué)習(xí)到的知識條理化()運用規(guī)，解決題基本不等式與我們學(xué)習(xí)過的其它公式有所不同我們比較熟悉的完全平方公 式平方差公式等都是等式的形式而基本不等式是以不等式的形式出現(xiàn)的同學(xué)們在運用時可能有些顧慮。其實只要滿足不等式使用的條件 a 并且符合它的結(jié)構(gòu)特征我們完全可以進(jìn)行套用下面我們通過幾個例題來

13、考慮 在運用基本不等式過程中還需要注意哪些問題。例 1：已 x ，求函數(shù)3y x (1 - 3x 的最大值。解： 0 x 13， - x0= - 3x ) =1 1 1 - ) x( - 3 ) =3 12，當(dāng)且僅當(dāng) x 1 3 16時等號成立，此時1 0， ） 6 3 x (1 - 3x )的最大值為112.例 2：求函數(shù)y x -3（x3）的最小值。解： x3， x - 0 y 1 x 2 x 1 當(dāng)且僅當(dāng)1x x ，即 x 等號成立，此時4 函數(shù)y x 1x 的最小值為 5(設(shè)計意： 過例題的訓(xùn)練，提高學(xué)生解決問題的能力，加深對基本不等 式的理解，明確公式的使用條件，套用方法及等號成立的條件)通過上面兩個例題的練習(xí)可以歸納出利用基本不等式求最值的流程： 首先，判 , b 是否為正數(shù)，若是，通過配湊式子出現(xiàn)a b 定值，或 a為定值，然后化簡不等式，之后驗證等號是否成立，最后，得出結(jié)果。(設(shè)計意： 過歸納總結(jié)得出利用基本不等式求最值的一般步驟，使做