(整理)常數(shù)項級數(shù)的審斂法

1、nn=1n=111-2常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法TOC o 1-5 h z正項級數(shù)：藝uu0rtIF1Lnnn=1顯然，部分和數(shù)列(s單調(diào)增加：ssAsA.(sTn12nn1.收斂準(zhǔn)則定理1正項級數(shù)藝u收斂o部分?jǐn)?shù)列s有界.nnn=1兀sm-例1判別正項級數(shù)也的收斂性2nn=1TOC o 1-5 h z.兀.兀smsm解s=-+竺+A+旦-+A+An2222n2222n2-12-豈丿1有上界級數(shù)收斂1-22.比較審斂法定理2定理2設(shè)藝u和藝v都是正項級數(shù),nnn=1n=1且uv(n=1,2,A).若v收斂,nnnn=1則藝u收斂；反之，若藝u發(fā)散，則藝v則藝u收斂；反之，若藝u發(fā)

2、散，則藝vnnn=1n=1n=1發(fā)散分析：v=bnn=1，則藝u的部分和nn=1s=u+u+A+uv+v+Avn12n12N時有u0)成立,則級數(shù)藝u收斂；如果級數(shù)藝v發(fā)散，且當(dāng)nNnnnnn=1n=1時有ukv(k0)成立，則級數(shù)藝u發(fā)散.nnnn=1分析：因為級數(shù)的每一項同乘不為零的常數(shù)k,以及去掉級數(shù)前面的有限項不會影響級數(shù)的收斂性.例2討論p級數(shù)藝丄(2)的收斂性，其中常數(shù)p0.npn=1解設(shè)p但調(diào)和級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)(2)發(fā)散.npn設(shè)p1，當(dāng)n-1xn時，有丄丄,所以npxp1np=fndxJndx1np=fndx1時收斂.n總之：p級數(shù)(2)當(dāng)p1時收斂注：比較審斂法的：必須有參考

3、級數(shù)。常用：幾何級數(shù)，注：比較審斂法的：必須有參考級數(shù)。常用：幾何級數(shù)，p級數(shù)(調(diào)級數(shù))例3判別下列級數(shù)的斂散性.例3判別下列級數(shù)的斂散性.In+1n2+5n+2n=11=-n2+5n2+2n28n藝丄發(fā)散，原級數(shù)發(fā)散nn=1(2).1丄sin(2).1丄sinn+1n+1n=1的2+(-1練習(xí)工廠n=12nsin-3n1sin3n3n原級數(shù)收斂3.比較審斂法的極限形式定理3設(shè)藝u和藝v都是正項級數(shù),nnn=1n=13.比較審斂法的極限形式定理3設(shè)藝u和藝v都是正項級數(shù),nnn=1n=1如果lim佇=l（0l0或limn=+a,nsvnsvnn例4判別下列級數(shù)的斂散性.且級數(shù)另vn=1發(fā)散，則

4、級數(shù)藝u發(fā)散nn=1(1)sin1nn=11sinlimn=10,1nsn藝1發(fā)散nn=1原級數(shù)發(fā)散另2ntan右n=12ntanlimnsn收斂收斂4比值審斂法定理4設(shè)un=1定理4設(shè)un=1為正項級數(shù)，如果ulimn+1=pnsUn則當(dāng)P1(或limn+tnsUn=g）時級數(shù)發(fā)散；p=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散（證略，可參考教材）例5判別下列級數(shù)的斂散性：(1)n3limn+1=10)n=1limn+1=x0 x1發(fā)散x=1發(fā)散nsUn5.根值審斂法柯西判別法定理5設(shè)藝u為正項級數(shù)，如果lm丁=P,則當(dāng)P1（或n“n.nsn=1limnu=Q時級數(shù)發(fā)散，p=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.（證

5、略，可參考教材）nns例6判別下列級數(shù)的斂散性1I11(1)蘭一nu=n=一T0(nTs)1,級數(shù)發(fā)散6根限審斂法（與p級數(shù)作比較）定理6設(shè)Eu為正項級數(shù)，nn=1如果limnu=l0(或limnu=+s)則Eu發(fā)散;TOC o 1-5 h znnnnTsnTs,n=1(3)如果p1，而limnpu=l(0lu(n=1,2,3,A);(2)limu=0,nn+1nns則級數(shù)收斂，且其和Su，其余項r的絕對值|ru.1nnn+1nn1n1n1分析：先證明S的極限存在,為此把S寫成兩種形式:2n2ns(uu)+(uu)+A+(uu)2n12342n12n2及su(uu)(uu)_A(uu)u.TO

6、C o 1-5 h z2n123452n22n12n根據(jù)條件(1)知所有括弧中的差非負(fù)的.由第一種形式可見(單調(diào)增，由第二種形式2n可見su，因單調(diào)有界數(shù)列必有極限，當(dāng)n,s趨于一個極限s,且2n12nlimssu.2n1ns再證明前2n+1項的和s的極限也是s,事實上，ss+u.由條件(2)知2n+12n+12n2n+1limu0,因此limslim(s+u)s.2n+12n+12n2n+1nsnsns由于limslimss,故藝(1)n-1u收斂于和s，且sunnn+1n+1(n1,2,A)，limulim0,ngnnxn所以它是收斂的，且其和s0且nn2nnnn=1vu|(n=1,2,A).由比較審斂法知Qv收斂，從而Q2v也收斂.nnnnn=1n=1u收斂。nn=1而u=2v-|u|,Qu=Q2vu收斂。nn=1nnnnnnn=1n=1n=1注意上述定理的逆定理并不成立.TH8說明，對蘭u，若用正項級數(shù)的審斂法判定無|u|收斂。一般地，若藝|u|發(fā)nnnn=1n=1n=1散不能斷定藝u也發(fā)散，但是若用比值審斂法或根值審斂法判定無u|發(fā)散，則可斷nnn=1n=1定藝u發(fā)散，因為從這兩個審斂法的證明知,上述兩種審斂法判定藝uI發(fā)散的依據(jù)nnn=1n=1是|u|不趨于0(nT8),故Qu發(fā)散。nnn=1例9判別下列級數(shù)的斂散性：n兀cos(1)Q(-1)n-1