中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專(zhuān)題：例析一次函數(shù)圖象截出的等腰三角形問(wèn)題

1、例析一次函數(shù)圖象截出的等腰三角形問(wèn)題 當(dāng)一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形是一個(gè)等腰直角三角形時(shí)，這個(gè)特殊的三角形能給我們解題帶來(lái)許多的精彩. 例1 如圖1，直線與兩坐標(biāo)軸分別相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)(、兩點(diǎn)除外)，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn). (1)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，你認(rèn)為四邊形的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?并說(shuō)明理由; (2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積有最大值?最大值是多少? (3)如圖2,3當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，將四邊形沿著軸的正方向移動(dòng)，設(shè)平移的距離為，正方形與重疊部分的面積為.試求與的函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出該函數(shù)的圖象. 分析 第(1)問(wèn)，要想確定四邊形的周長(zhǎng)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是如何變化的，首先要

2、解決的問(wèn)題就是結(jié)合圖形表示出四邊形的周長(zhǎng).根據(jù)矩形的性質(zhì)，已知這里四邊形的周長(zhǎng)是，四邊形周長(zhǎng)的變化規(guī)律就取決于線段和的變化規(guī)律.結(jié)合題目條件，我們會(huì)有兩種基本的思路:一是坐標(biāo)法表示線段，線段的長(zhǎng)恰好是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，的長(zhǎng)恰好是點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，這是這一方法的精髓;二是轉(zhuǎn)化線段和法，根據(jù)條件知道是一個(gè)等腰直角三角形，且腰，因此，所以線段就轉(zhuǎn)化成了，從而也能將所求問(wèn)題化解. 第(2)問(wèn)，在探求周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探求四邊形的面積變化規(guī)律.借鑒第(1)問(wèn)的思路，解題的關(guān)鍵是先表示出四邊形的面積，即，利用坐標(biāo)法就可以將四邊形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問(wèn)題，最值自然就可以確定. 第(3)問(wèn)，解答時(shí)

3、體現(xiàn)兩種數(shù)學(xué)思想的靈活應(yīng)用:一是數(shù)形結(jié)合的思想，初步判定重合部分圖形的形狀，確定面積的分割法表示;二是分類(lèi)的思想，抓住的變化規(guī)律，立足正方形成立的條件，給出的正確分類(lèi)也是解題的重要因素. 解 (1)因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸分別相交于、兩點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以,，所以是等腰直角三角形.因?yàn)?，所以四邊形是矩形，且是等腰直角三角形，所?因?yàn)榫匦蔚闹荛L(zhǎng)為，所以四邊形的周長(zhǎng)是定值，且為8;(2)設(shè)四邊形的面積為，根據(jù)題意，得所以四邊形的面積是關(guān)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，并且當(dāng)，即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積最大且最大面積為;(3)設(shè)兩個(gè)圖形重合部分的面積為，正方形與直線的交點(diǎn)，如圖2，當(dāng)

4、時(shí)，.如圖3，當(dāng)時(shí)，此時(shí)為正方形的邊與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為;縱坐標(biāo)的絕對(duì)值恰好是重疊圖形的等腰直角三角形的腰長(zhǎng)，所以;所以與函數(shù)的圖象如圖4所示. 點(diǎn)評(píng) 這道題是知識(shí)與方法的盛宴.涉及的知識(shí)點(diǎn)廣，有幾何知識(shí)，一次函數(shù)知識(shí)，二次函數(shù)知識(shí)等;涉及的數(shù)學(xué)思想多，有數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化的思想，分類(lèi)的思想，平移的思想等，可謂是包羅萬(wàn)象，值得深思與探究. 例2 (2013年長(zhǎng)沙中考題)如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在第一象限，由點(diǎn)向軸，軸所作的垂線，(垂足為，)分別與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形的面積為定值2. (1)求的度數(shù); (2)求證; (3)當(dāng)點(diǎn)

5、，都在線段上時(shí)，由三條線段，組成一個(gè)三角形，記此三角形的外接圓面積為，的面積為，試探究:是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出該最小值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析 第(1)問(wèn)的證明是比較容易的;第(2)問(wèn)的證明抓住一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似;第(3)問(wèn)的關(guān)鍵在判定三條線段組成的三角形的形狀. 解 (1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以 ;(2)法1 因?yàn)榫匦蔚拿娣e是2，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，法2：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖5在等腰直角三角形中，得，在等腰直角三角形中，因?yàn)榫匦蔚拿娣e是定值2，(3)根據(jù)(2)知，以為邊的三角形是直角三角形，且斜邊是，所以三角形的外

6、接圓面積為過(guò)點(diǎn)作邊上的高，易求得高為，所以關(guān)于的二次函數(shù)的開(kāi)口向上，所以有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，但是此值不在取值范圍內(nèi)，因此取不到.因?yàn)椋际钦龜?shù)，當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為 反思 此題可以引申出如下幾個(gè)獨(dú)立的新結(jié)論: 結(jié)論1 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在第一象限，由點(diǎn)向軸，軸所作的垂線，(垂足為，)分別與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形的面積為定值2，若，都在直線上，求證:是一個(gè)定值. 第(2)問(wèn)的三種證明方法都可以幫助你實(shí)現(xiàn)證明. 結(jié)論2 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在第一象限，由點(diǎn)向軸，軸所作的垂線，(垂足為，)分別

7、與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形的面積為定值2，若，都在直線上，試判斷以為邊的三角形的形狀，并證明你的猜想. 相信讀者也會(huì)輕松解決.結(jié)論3 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在第一象限，由點(diǎn)向軸，軸所作的垂線，(垂足為，)分別與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形的面積為定值2，若，都在直線上，設(shè)面積為，的面積為，的面積為，試判斷，之間的關(guān)系，并證明你的猜想. 根據(jù)結(jié)論2，你同樣能輕松解決.結(jié)論4 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在第一象限，由點(diǎn)向軸，軸所作的垂線，(垂足為，)分別與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形的面積為定值2，若，都在直線上，設(shè)面積為，的面積為，的面積為，試判斷，之間的關(guān)系，并證明你的猜想.結(jié)論5 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交