江蘇省蘇州市第五中學(xué)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第3講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用課件

1、第3講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用2021/8/8 星期日1知 識(shí) 梳 理1生活中的優(yōu)化問(wèn)題通常求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題稱為優(yōu)化問(wèn)題，一般地，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，若函數(shù)在給定的定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么該點(diǎn)也是最值點(diǎn)2021/8/8 星期日22利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟3導(dǎo)數(shù)在研究方程(不等式)中的應(yīng)用研究函數(shù)的單調(diào)性和極(最)值等離不開(kāi)方程與不等式；反過(guò)來(lái)方程的根的個(gè)數(shù)、不等式的證明、不等式恒成立求參數(shù)等，又可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究2021/8/8 星期日32021/8/8 星期日42021/8/8 星期日5感悟提升1兩個(gè)轉(zhuǎn)化一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單

2、調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理，如(2)2兩點(diǎn)注意一是注意實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)定義域，由實(shí)際問(wèn)題的意義和解析式共同確定，如(3)二是在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么可直接根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值，如(4)若在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極值，則一定有最優(yōu)解. 2021/8/8 星期日6考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)在方程(函數(shù)零點(diǎn))中的應(yīng)用【例1】 (2013北京卷)已知函數(shù)f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(a，f(a)處與直線yb相切，求a與b的值；(2)若曲線yf(x)與直線yb

3、有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍審題路線(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知f(a)0且f(a)b，解方程得a，b的值(2)兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為方程x2xsin xcos xb0.通過(guò)判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)求解2021/8/8 星期日7解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2cos x)(1)因?yàn)榍€yf(x)在點(diǎn)(a，f(a)處與直線yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.2021/8/8 星期日8(2)設(shè)g(x)f(x)bx2xsin xcos xb.令g(x)f(x)0 x(2cos x)0，得x0.當(dāng)x變化時(shí)

4、，g(x)，g(x)的變化情況如下表：所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，且g(x)的最小值為g(0)1b.當(dāng)1b0時(shí)，即b1時(shí)，g(x)0至多有一個(gè)實(shí)根，曲線yf(x)與yb最多有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意x(，0)0(0，)g(x)0g(x)1b2021/8/8 星期日9當(dāng)1b1時(shí)，有g(shù)(0)1b4b2b1b0.yg(x)在(0,2b)內(nèi)存在零點(diǎn)，又yg(x)在R上是偶函數(shù)，且g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，yg(x)在(0，)上有唯一零點(diǎn)，在(，0)也有唯一零點(diǎn)故當(dāng)b1時(shí)，yg(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則曲線yf(x)與直線yb有兩個(gè)不同交點(diǎn)綜上可知，如果曲線yf(x

5、)與直線yb有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么b的取值范圍是(1，)2021/8/8 星期日10規(guī)律方法 (1)在解答本題(2)問(wèn)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判定f(x)b有兩個(gè)實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)b應(yīng)滿足的條件，并注意g(x)的單調(diào)性、奇偶性、最值的靈活應(yīng)用另外還可作出函數(shù)yf(x)的大致圖象，直觀判定曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，但應(yīng)注意嚴(yán)謹(jǐn)性，進(jìn)行必要的論證(2)該類問(wèn)題的求解，一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一.2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日12解(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x1或

6、a(a0)當(dāng)x變化時(shí)f(x)與f(x)的變化情況如下表：故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1，a)x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值2021/8/8 星期日132021/8/8 星期日14考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用【例2】 (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)exln(xm)(1)設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.審題路線(1)由極值點(diǎn)確定出實(shí)數(shù)m的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)m2時(shí)，轉(zhuǎn)化為求f(x)min，證明f(x)min0.2021/8/8 星期日152

7、021/8/8 星期日162021/8/8 星期日172021/8/8 星期日18規(guī)律方法 (1)第(2)問(wèn)證明抓住兩點(diǎn)：一是轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)m2時(shí)，f(x)0；二是依據(jù)f(x0)0，準(zhǔn)確求f(x)exln(x2)的最小值(2)對(duì)于該類問(wèn)題，可從不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì)，借助單調(diào)性或最值實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化2021/8/8 星期日19【訓(xùn)練2】 (2014鄭州一模)已知函數(shù)f(x)a(x21)ln x.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意a(4，2)及x1,3，恒有maf(x)a2成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍2021/8/8 星期日202021/8/8 星期日212021/

8、8/8 星期日222021/8/8 星期日232021/8/8 星期日242021/8/8 星期日252021/8/8 星期日26規(guī)律方法 求實(shí)際問(wèn)題中的最大值或最小值時(shí)，一般是先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)的最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相結(jié)合用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題中的最大(小)值時(shí)，如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么依據(jù)實(shí)際意義，該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn).2021/8/8 星期日27【訓(xùn)練3】 某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面

9、的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大2021/8/8 星期日282021/8/8 星期日292021/8/8 星期日301理解極值與最值的區(qū)別，極值是局部概念，最值是整體概念2利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較 2021/8/8 星期日312021/

10、8/8 星期日322021/8/8 星期日332021/8/8 星期日342021/8/8 星期日352021/8/8 星期日36答題模板第一步：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求k的值；第二步：求g(x)，構(gòu)造函數(shù)F(x)；第三步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明F(x)1e2；第四步：對(duì)F(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，求最大值；第五步：將問(wèn)題再轉(zhuǎn)化為原問(wèn)題從而得到欲證明的不等式2021/8/8 星期日372021/8/8 星期日382021/8/8 星期日392021/8/8 星期日402021/8/8 星期日41當(dāng)x(0,1)時(shí)，H(x)0，于是G(x)在0,1上是減函數(shù)，從而當(dāng)x(0,1)時(shí)，G(x)G(0)0，故G(x)在0,1上是減函數(shù)于是G(x)G(0)2，從而a1G(x)a3.所以，當(dāng)a3時(shí)，f(x)