待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式-知識講解(提高)

1、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式學(xué)問講解(提高)撰稿：張曉 審稿：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能用待定系數(shù)法列方程組求二次函數(shù)的解析式；經(jīng)受探究由條件特點(diǎn)，機(jī)敏選擇二次函數(shù)三種形式的過程，正確求出二次函數(shù)的解析式，二次 函數(shù)三種形式是可以相互轉(zhuǎn)化的【要點(diǎn)梳理】學(xué)問點(diǎn)一 、 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式二次函數(shù)解析式常見有以下幾種形式(1)(1)一般式：y2 axbx c(a , b, c 為常數(shù)，0);(2)頂點(diǎn)式：a(xy2h)k(a , h, k 為常數(shù)，a0);(3)交點(diǎn)式：ya(xx1)( x x2) ( x1, x2 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a0)確定二次函數(shù)解析式常用待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)

2、解析式的步驟如下22 第一步，設(shè)：先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，如y a(x xj(x X2)0;y ax2 bx c y a(x h)2 k ，其次步，代：依據(jù)題中所給條件， 代入二次函數(shù)的解析式中， 得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程第三步，解：解此方程或方程組，求待定系數(shù)；第四步，復(fù)原：將求出的待定系數(shù)復(fù)原到解析式中要點(diǎn)詮釋：在設(shè)函數(shù)的解析式時(shí)， 肯定要依據(jù)題中所給條件選擇適宜的形式： 當(dāng)拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，(組)；可設(shè)函數(shù)的解析式為 y ax2 bx c ；當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大值、最小值時(shí)可設(shè)函數(shù)的解析式為y a(x h)2k ；當(dāng)拋物線與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(xi, 0) ,(X2,

3、 0)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的 解析式為 y a(x x1)(x x2).【典型例題】類型一、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式x 0 1所示 求拋物線的解析式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)【答案與解析】y ax2 bx ca 0yaxbxc2A,B, C三點(diǎn),由圖象可知A, B, C的坐標(biāo)分別為0，2，4，0， 5，-3c 2,16a 4b c 0, 解之，得25a 5b c 3，1 1 21(x23x23 2-)22258212yx223x2該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)評】 這道題的一個(gè)特點(diǎn)是題中沒有直接給出所求拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，需要從圖象中獵取信息圖象上三個(gè)點(diǎn)時(shí)，通常應(yīng)用二次函數(shù)的一般式列方程求解析式是求“圖象所表示的

4、函數(shù)解析式”，那就必需加上自變量的取值范圍.要特別留意：假設(shè)這道題x0.3與4，-.求這條拋物線的解析式2【答案與解析】y1 x24mxn經(jīng)過點(diǎn)(0，-)2y13-x2 mx n經(jīng)過點(diǎn)0,蘭和4上，422這條拋物線的對稱軸是直線x 2.設(shè)所求拋物線的解析式為設(shè)所求拋物線的解析式為1 / y (x42)2h.31將點(diǎn)02代入，得一42)2 h32解得1 h2這條拋物線的解析式為-(x1 (y42)2一即2y - x243x2【點(diǎn)a值已經(jīng)知道，只需求出 m,n 的值。條件給出了兩個(gè)點(diǎn)，因此，可以從二次函33數(shù)的一般式入手列方程組解答.還可以從所給兩點(diǎn)0,上,4,丄的特征入手：這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線22的

5、對稱軸對稱，因此可知對稱軸是直線ii2x ,yN X ,y ii2x 2，這樣又可以從拋物線的頂點(diǎn)式入手yiyx 1當(dāng)點(diǎn) M2 ,這一點(diǎn)很重要也很有用拋物線 y ax bx c A,2B, C三點(diǎn),y ax2 bx c 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4,x 軸兩交點(diǎn)間的距離為 6,求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式【答案與解析】由于頂點(diǎn)坐標(biāo)為1 , 4x1，又由于拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)的距離為 6,所以兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為:x113 , x21 3 ,則兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為4 , 0、 2, 0;求函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式可有兩種方法:解法1:設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為頂點(diǎn)式:y a(x 1)2y細(xì)1)y所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式為24 (

6、a 豐 0)，把(2, 0)代入得 a解法2:設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為兩點(diǎn)式：y ax 4x-2 a工0,把1, 4a所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:9( x4)( x-2) ；【點(diǎn)評】在求函數(shù)的解析式時(shí)，要依據(jù)題中所給條件選擇適宜的形式 舉一反三:【高清課程名稱：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式ID號：356565 關(guān)聯(lián)的位置名稱播放點(diǎn)名稱：3-4】x 軸的交點(diǎn)是 A2,0，B 1，0，C2，8 1 求該拋物線的解析式；2求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).【答案】1y 2x2 2x 4 ；192； ,-.22類型二、用待定系數(shù)法解題如下圖，二次函數(shù)y-x21 22bx c的求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；設(shè)該二次函數(shù)圖象的

7、對稱軸與圖象經(jīng)過 A(2 , 0) , B(0, -6)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與【答案與解析】 4,解得6.y4x 6.這個(gè)二次函數(shù)的解析式為(1)把 A(2，0)，B(0，-6)代入 y21 x2bx C2(2) T該拋物線的對稱軸為直線x點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4 , 0),AC= OC-OA= 4-2 = 2 .1 1SAABC - gAC gOB - 2 6 6.ABC的面積時(shí)，一般要將坐標(biāo)軸上的邊作為底邊，另一點(diǎn)的縱(橫)坐標(biāo)確實(shí)定值為高進(jìn) 行求解.(1)A B 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入解析式求出 b, c的值.(2)C的坐標(biāo)再求出ABC的面積.舉一反三：【高清課程名稱：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式ID號：356565 3-4】【變式】二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是(1,2)，且過點(diǎn) 0,?.求二次函數(shù)的表達(dá)式；2求證：對任意實(shí)數(shù) mM (