待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式-知識講解(提高)

1、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式學問講解(提高)撰稿：張曉 審稿：杜少波【學習目標】能用待定系數(shù)法列方程組求二次函數(shù)的解析式；經(jīng)受探究由條件特點，機敏選擇二次函數(shù)三種形式的過程，正確求出二次函數(shù)的解析式，二次 函數(shù)三種形式是可以相互轉(zhuǎn)化的【要點梳理】學問點一 、 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式二次函數(shù)解析式常見有以下幾種形式(1)(1)一般式：y2 axbx c(a , b, c 為常數(shù)，0);(2)頂點式：a(xy2h)k(a , h, k 為常數(shù)，a0);(3)交點式：ya(xx1)( x x2) ( x1, x2 x軸交點的橫坐標，a0)確定二次函數(shù)解析式常用待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)

2、解析式的步驟如下22 第一步，設(shè)：先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，如y a(x xj(x X2)0;y ax2 bx c y a(x h)2 k ，其次步，代：依據(jù)題中所給條件， 代入二次函數(shù)的解析式中， 得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程第三步，解：解此方程或方程組，求待定系數(shù)；第四步，復原：將求出的待定系數(shù)復原到解析式中要點詮釋：在設(shè)函數(shù)的解析式時， 肯定要依據(jù)題中所給條件選擇適宜的形式： 當拋物線上的三點坐標時，(組)；可設(shè)函數(shù)的解析式為 y ax2 bx c ；當拋物線的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最大值、最小值時可設(shè)函數(shù)的解析式為y a(x h)2k ；當拋物線與 x軸的兩個交點(xi, 0) ,(X2,

3、 0)時，可設(shè)函數(shù)的 解析式為 y a(x x1)(x x2).【典型例題】類型一、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式x 0 1所示 求拋物線的解析式，寫出頂點坐標【答案與解析】y ax2 bx ca 0yaxbxc2A,B, C三點,由圖象可知A, B, C的坐標分別為0，2，4，0， 5，-3c 2,16a 4b c 0, 解之，得25a 5b c 3，1 1 21(x23x23 2-)22258212yx223x2該拋物線的頂點坐標為【點評】 這道題的一個特點是題中沒有直接給出所求拋物線經(jīng)過的點的坐標，需要從圖象中獵取信息圖象上三個點時，通常應用二次函數(shù)的一般式列方程求解析式是求“圖象所表示的

4、函數(shù)解析式”，那就必需加上自變量的取值范圍.要特別留意：假設(shè)這道題x0.3與4，-.求這條拋物線的解析式2【答案與解析】y1 x24mxn經(jīng)過點(0，-)2y13-x2 mx n經(jīng)過點0,蘭和4上，422這條拋物線的對稱軸是直線x 2.設(shè)所求拋物線的解析式為設(shè)所求拋物線的解析式為1 / y (x42)2h.31將點02代入，得一42)2 h32解得1 h2這條拋物線的解析式為-(x1 (y42)2一即2y - x243x2【點a值已經(jīng)知道，只需求出 m,n 的值。條件給出了兩個點，因此，可以從二次函33數(shù)的一般式入手列方程組解答.還可以從所給兩點0,上,4,丄的特征入手：這兩點關(guān)于拋物線22的

5、對稱軸對稱，因此可知對稱軸是直線ii2x ,yN X ,y ii2x 2，這樣又可以從拋物線的頂點式入手yiyx 1當點 M2 ,這一點很重要也很有用拋物線 y ax bx c A,2B, C三點,y ax2 bx c 的頂點坐標為1,4,x 軸兩交點間的距離為 6,求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式【答案與解析】由于頂點坐標為1 , 4x1，又由于拋物線與 x 軸兩交點的距離為 6,所以兩交點的橫坐標分別為:x113 , x21 3 ,則兩交點的坐標為4 , 0、 2, 0;求函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式可有兩種方法:解法1:設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為頂點式:y a(x 1)2y細1)y所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式為24 (

6、a 豐 0)，把(2, 0)代入得 a解法2:設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為兩點式：y ax 4x-2 a工0,把1, 4a所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:9( x4)( x-2) ；【點評】在求函數(shù)的解析式時，要依據(jù)題中所給條件選擇適宜的形式 舉一反三:【高清課程名稱：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式ID號：356565 關(guān)聯(lián)的位置名稱播放點名稱：3-4】x 軸的交點是 A2,0，B 1，0，C2，8 1 求該拋物線的解析式；2求該拋物線的頂點坐標.【答案】1y 2x2 2x 4 ；192； ,-.22類型二、用待定系數(shù)法解題如下圖，二次函數(shù)y-x21 22bx c的求這個二次函數(shù)的解析式；設(shè)該二次函數(shù)圖象的

7、對稱軸與圖象經(jīng)過 A(2 , 0) , B(0, -6)求這個二次函數(shù)的解析式；設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與【答案與解析】 4,解得6.y4x 6.這個二次函數(shù)的解析式為(1)把 A(2，0)，B(0，-6)代入 y21 x2bx C2(2) T該拋物線的對稱軸為直線x點C的坐標為(4 , 0),AC= OC-OA= 4-2 = 2 .1 1SAABC - gAC gOB - 2 6 6.ABC的面積時，一般要將坐標軸上的邊作為底邊，另一點的縱(橫)坐標確實定值為高進 行求解.(1)A B 兩點坐標分別代入解析式求出 b, c的值.(2)C的坐標再求出ABC的面積.舉一反三：【高清課程名稱：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式ID號：356565 3-4】【變式】二次函數(shù)圖象的頂點是(1,2)，且過點 0,?.求二次函數(shù)的表達式；2求證：對任意實數(shù) mM (