高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限連續(xù)考點精講例題解析

1、高等數(shù)學(xué)（函數(shù) 極限 連續(xù)考點精講例題解析內(nèi)容考點一、函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域為，若對于任，都有，稱為偶函數(shù)；若對于任都有，稱為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點對稱。【考點一】判別給定函數(shù)的奇偶性的主要方法是：不管的具體形式是什么，均計算的值。如果，則由定義知為偶函數(shù)；如果，則由定義知為奇函數(shù)。二、函數(shù)的周期性對函數(shù)，若存在常數(shù)，使得對于定義域的每一個，仍在定義域內(nèi)，且有，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，T稱為的周期。【考點二】判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)，主要方法是根據(jù)周期函數(shù)的定義，要先找到一個非零常數(shù)，計算是否有等式成立。而對于抽象的周期函數(shù)，其周期一定與已知條件中所給的參數(shù)或常

2、數(shù)有關(guān)，是其二倍、三倍。三、函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)在數(shù)集X上有定義，若存在正數(shù)M，使得對于每一個，都有 成立，稱在X上有界，否則，即這樣的M不存在，稱在X上無界。【考點三】（1）（有界性定理） 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)必在a,b上有界。（2）若函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界.【評注】（1）函數(shù)是否有界是相對于某個區(qū)間而言的，與區(qū)間有關(guān)；（2）證明或判別函數(shù)有界性的主要方法包括五種，但考試重點集中在【考點三】的考查上：利用函數(shù)有界性的定義；利用【考點三】的結(jié)論，特別是【考點三】中的第二個結(jié)論；收斂數(shù)列必為有界數(shù)列；函數(shù)極限的局部

3、有界性定理；拉格朗日中值定理.【考點四】（1）無界變量與無窮大量的區(qū)別：無窮大量一定是無界變量，但無界變量不一定是無窮大量。（2）有界變量與無窮大量的乘積是無界變量，但不是無窮大量.【評注】（1） 無界變量與有界變量是函數(shù)有界性的正反兩個方面。（2）用無窮大量的定義和無界變量的定義來區(qū)別這兩個概念。是指，在x=x0處的充分小鄰域內(nèi)，對于所有的都可以任意大，而“無界”不要求“所有的”。四、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對于上任意兩點與且時，均有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。如果其中的“”或“”改為“”），稱函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，

4、在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若對任一，有在a,b上單調(diào)增加（減少）。注意： 若將上面的不等式的點（駐點）只有有限個，則結(jié)論仍成立?！究键c五】（1）判斷抽象的函數(shù)的單調(diào)性，在考試時采用舉反例排除法，而盡量不用單調(diào)性的定義進行證明；（2）導(dǎo)數(shù)大于零的函數(shù)一定單調(diào)遞增，但單調(diào)遞增的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不一定嚴(yán)格大于零，其導(dǎo)數(shù)也可能等于零。五、分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 在用公式法表示的函數(shù)中，若自變量與因變量之間的函數(shù)關(guān)系要用兩個或多于兩個的數(shù)學(xué)式子來表達，即在函數(shù)定義域的不同部分用不同數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。 分段函數(shù)的定義域是各個部分自變量取值范圍的總和或并集。設(shè)函數(shù)的定義域為，函數(shù)的值域為，若集合與的交集

5、非空，稱函數(shù)為函數(shù)與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，為中間變量。對復(fù)合函數(shù)，重要的是會把它分解，即知道它是由哪些“簡單”函數(shù)復(fù)合的。 將兩個或兩個以上的函數(shù)特別是分段函數(shù)進行復(fù)合是考研中的基本題型?！究键c六】求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的主要方法是：分段代入法。其核心是先代入，后解不等式?！窘忸}程序】（1）代入：如果復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)是段分段函數(shù)，而內(nèi)層函數(shù)是段分段函數(shù)，則將內(nèi)層函數(shù)分段代入外層函數(shù)后，得到的復(fù)合函數(shù)為段的分段函數(shù)。（2）解不等式：分別解出個不等式構(gòu)成的不等式組，把無解的不等式組去掉，即得所求的復(fù)合函數(shù)。六、反函數(shù)設(shè)函數(shù)的值域為，定義域為，則對于每一個，必存在使。若把作為自變量，作為因變量，便得一

6、個函數(shù)，且，稱為的反函數(shù)。但習(xí)慣上把反函數(shù)記作。 在同一直角坐標(biāo)系下，函數(shù)與其反函數(shù)的圖形是同一條曲線；而函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱?！究键c七】求反函數(shù)的程序：（1）由解出，得到關(guān)系式；（2）將與互換，即得所求函數(shù)的反函數(shù)。七、初等函數(shù) 常量函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)這六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復(fù)合運算所得到的可以用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。初等函數(shù)是微積分研究的主要對象。分段函數(shù)不一定是初等函數(shù)。絕對值函數(shù)很特殊，它既是初等函數(shù)，又可以寫成分段函數(shù)的形式，常?？梢詷?gòu)造一些選擇題。典型例題例1 求解：是奇

7、函數(shù)，是奇函數(shù)， 因此是奇函數(shù)。于是。例2 設(shè)，則下列結(jié)論正確的是(A)若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)。(B)若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)。(C)若為周期函數(shù)，則為周期函數(shù)。(D)若為單調(diào)函數(shù)，則為單調(diào)函數(shù)。解 (B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。證明 為奇函數(shù)，所以，為偶函數(shù)。例3 設(shè)，是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時，下列結(jié)論成立的是(A) (B)(C) (D)解 ，單調(diào)減少于是xN時，恒有 ，則稱常數(shù)A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為。沒有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。（了解該定義）收斂數(shù)列必為有界數(shù)列，其極限存在且唯一。2極限存在準(zhǔn)則（1）定理1.1.4（夾逼定理）設(shè)在的

8、某空心鄰域內(nèi)恒有，且有 ， 則極限 存在，且等于A .注 對其他極限過程及數(shù)列極限，有類似結(jié)論. （2）定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.3重要結(jié)論：（1）若，則，其中為任意常數(shù)。 （2）。 （3） 。【考點八】（1） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.（2）單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞增且無上界的數(shù)列的極限為.（3）單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且無下界的數(shù)列的極限 為.【評注】（1）在應(yīng)用【考點八】進行證明時，有些題目中關(guān)于單調(diào)性與有界性的證明有先后次序之分，需要及時進行調(diào)整證明次序。（2）判定數(shù)列的單調(diào)性主要有三種方法： = 1 * ROMAN I 計算 . 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)

9、遞減。 = 2 * ROMAN II 當(dāng)時，計算 . 若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減。 = 3 * ROMAN III 令，將n改為x，得到函數(shù)。若可導(dǎo)，則當(dāng)時， 單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減?！究键c九】（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)有正整數(shù)，當(dāng)時，且，則.【評注】在使用夾逼準(zhǔn)則時，需要對通項進行“縮小”和“放大”，要注意：“縮小”應(yīng)該是盡可能地大，而“放大”應(yīng)該是盡可能地小，在這種情況下，如果仍然“夾”不住，那么就說明夾逼準(zhǔn)則不適用于這個題目，要改用其他方法。【考點十】設(shè)，則。也就是說，將數(shù)列中的正整數(shù)改為連續(xù)變量，令，則數(shù)列的極限等于相應(yīng)的函數(shù)的極限。二、函數(shù)的極限【考點十一】 也就是說，函數(shù)極限存在且等于A

10、的充分必要條件是，左極限與右極限都存在，并且都等于A?！驹u注】在求極限時，如果函數(shù)中包含或項，則立即討論左右極限和，再根據(jù)【考點十一】判斷雙側(cè)極限是否存在?！究键c十二】使用洛必達（）法則求型未定式的極限之前，一定要將所求極限盡可能地化簡。化簡的主要方法： （1）首先用等價無窮小進行代換。注意：等價無窮小代換只能在極限的乘除運算中使用，而不能在極限的加減運算中使用，但在極限的加減運算中高階無窮小可以略去； （2）將極限值不為零的因子先求極限； （3）利用變量代換（通常是作倒代換，令） （4）恒等變形：通過因式分解或根式有理化消去零因子，將分式函數(shù)拆項、合并或通分達到化簡的目的?！居洃浺c】常見的

11、等價無窮小代換：（一）基本情形：當(dāng)時，我們有：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）（8） （9） (10)() （12） （二）差函數(shù)中常用的等價無窮小代換：當(dāng)時，我們有： （1） （2） （3） （4）（5） （6）【考點十三】求型未定式極限的方法： （1）分子、分母同時除以最大的無窮大 （2）使用洛必達（）法則【考點十四】化和型未定式為型和型的方法是： （1）通分法 （2）提因子法 （3）變量代換法【考點十五】（1）求冪指函數(shù)型不定式的極限，常用“換底法”或“用e抬起法”，化為型后再使用洛必達法則，即（2）計算型極限的最簡單方法是使用如下的型極限計算公式：。推導(dǎo)如下（為簡

12、便，略去自變量）： 【考點十六】（1）已知 A，則有： 若g(x) 0，則f (x) 0； 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0.（2）已知，若，則.【評注】在已知函數(shù)的極限求未知的參數(shù)問題時，【考點十六】是主要的分析問題與解決問題的方法?！究键c十七】在已知條件或欲證結(jié)論中涉及到無窮小量階的比較的話，則“不管三七二十一”，先用 無窮小量階的比較的定義處理一下再說?！驹u注】無窮小量階的比較，是一個重要考點。其主要方法是將兩個無窮小量相除取極限，再由定義比較階的高低。設(shè)是同一過程下的兩個無窮小，即。若若則稱是比低階的無窮?。蝗羧魟t稱與是等價無窮小。典型例題例1 求解 原式例2 設(shè)當(dāng)x0時(1

13、-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，而xsinxn是比高階的無窮小，則正整數(shù)n等于(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 4解：由題意可知，4n+12，n+1=3, n=2 選(B)例3 設(shè)，則當(dāng)x0時，是的 ( )(A) 高階無窮小 (B) 低階無窮小(C)同階但不等價的無窮小 (D) 等價無窮小解 選(C)例4 求。解 令，則0 xn0，且滿足，求解： 先用冪指函數(shù)處理方法再用導(dǎo)數(shù)定義 取，于是這樣 所以 再由，可知C=1，則第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性內(nèi)容考點一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點. 函數(shù)連續(xù)性概念定義1 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點處連續(xù)，并稱為連續(xù)點

14、。定義2 若函數(shù)在點的某個左（右）鄰域內(nèi)有定義，并且 ，則稱函數(shù)在點處左（右）連續(xù)。顯然，函數(shù)在點處連續(xù)的充要條件是在點既左連續(xù)又右連續(xù)。定義3 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，是指在內(nèi)每點都連續(xù)；在閉區(qū)間上連續(xù)，是指在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，并且在左端點處右連續(xù)，在右端點處左連續(xù)。使函數(shù)連續(xù)的區(qū)間，稱為的連續(xù)區(qū)間。 . 函數(shù)的間斷點及其分類 定義 函數(shù)不連續(xù)的點稱為函數(shù)的間斷點，即在點處有下列三種情況之一出現(xiàn)：（1）在點附近函數(shù)有定義，但在點無定義；（2）不存在；（3）與都存在，但則稱在點處不連續(xù)，或稱為函數(shù)的間斷點。 間斷點的分類 設(shè)為函數(shù)的間斷點，間斷點的分類是以 點的左、右極限來劃分的。 第一類間斷點 若與

15、都存在，則稱為第一類間斷點： （1）若，則稱為跳躍型間斷點，并稱為點的跳躍度； （2）若存在（即=），則稱為可去間斷點。此時，當(dāng)在無定義時，可以補充定義，則在連續(xù)；當(dāng)存在，但時，可以改變在的定義，定義極限值為該點函數(shù)值，則在連續(xù)。 第二類間斷點 若與中至少有一個不存在，則稱為第二類間斷點，其中若與中至少有一個為無窮大，則稱為無窮型間斷點；否則稱為擺動型間斷點?！究键c十八】在由抽象函數(shù)構(gòu)造的連續(xù)性選擇題中，選擇的次序應(yīng)從最簡單的函數(shù)開始，最簡單的往往就是正確選項?！究键c十九】判斷含有參變量的極限構(gòu)成的函數(shù)的連續(xù)性，其關(guān)鍵是在求極限的過程中，正確區(qū)分哪一個是變量，哪一個是不變的量即參變量。【評注】

16、在極限式中若含有參變量，因參變量取不同值時，其極限值不同，因此，要根據(jù)所給極限式，首先確定參變量應(yīng)如何劃分區(qū)間。然后根據(jù)參變量的不同取值范圍，再求極限。、【考點二十】在連續(xù)性的各種題型中，無論是確定函數(shù)（特別是分段函數(shù)）的間斷點及其類型，還是利用連續(xù)性確定函數(shù)中的常數(shù)，解題方法的核心均為先求函數(shù)在一些特殊點（特別是無定義的點和分段函數(shù)的分段點）處的左右極限和，然后再根據(jù)間斷點的定義與函數(shù)連續(xù)的充要條件求出相應(yīng)結(jié)果。二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理 1.（有界性定理） 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)必在a,b上有界。定理2. (最大值最小值定理) 閉區(qū)間a,b上的函數(shù)，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在兩點，使得對a,b上的一切x，恒有 .此處與就是在a,b上最小值與最大值。定理 3.(介值定理) 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b連續(xù)，m與M分別為在a,b上的最小值與最大值，則對于任一實數(shù)c(mc 0, b 04. 求下列函數(shù)的間斷點并判別類型(1) ( 2 ) .5. 討論函數(shù) 在x = 0處的連續(xù)性.6. 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù), 且a x1 x2 xn b, ci (I = 1, 2, 3, , n)為任意正數(shù), 則在(a, b)內(nèi)至少