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1、1.3 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1.3.1 三角函數(shù)的周期性海水會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象,大約在每一晝夜的時(shí)間里,潮水會(huì)漲落兩次【問題】:(1)若今天是星期二,則過了七天是星期幾?過了十四天呢? (2)物理中的單擺振動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律如何呢? 通過前面對(duì)三角函數(shù)線的學(xué)習(xí),我們知道每當(dāng)角增加或減少2時(shí),所得角的終邊與原來角的終邊相同,因而兩角的正弦函數(shù)值也相同,正弦函數(shù)的這種性質(zhì)叫周期性 不但正弦函數(shù)具有這種性質(zhì),其他的三角函數(shù)和不少的函數(shù)也都具有這樣的性質(zhì)1.理解周期函數(shù)的概念. (重點(diǎn))2.知道正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期. (重點(diǎn))3.會(huì)求一些簡(jiǎn)單三角函數(shù)的周期.(難點(diǎn))周期函數(shù)的定義 一
2、般地,對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零的常數(shù),使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值,都滿足f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期【注意】: T是非零常數(shù). 任意xD ,都有x+TD,T0,可見函數(shù)的定義域無界是周期函數(shù)的前提條件. 周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).理解定義時(shí),要抓住每一個(gè)x都滿足f(x+T)=f(x)成立才行. 周期也可推進(jìn),若T是f(x)的周期,那么2T也是y=f(x)的周期. 對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期例1:若鐘擺的高度h(mm)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)
3、關(guān)系如圖所示.(1)求該函數(shù)的周期;(2)求t=10 s時(shí)鐘擺的高度.解:(1)由圖象可知,該函數(shù)的周期為1.5 s.(2)設(shè)h=f(t),由函數(shù)f(t)的周期為1.5 s,可知f(10)= f(1+61.5)= f(1) =20,故t=10 s時(shí)鐘擺的高度為20 mm.例2.求函數(shù)f(x)=cos2x的周期.解:設(shè)f(x)周期為T,則f(x+T)=f(x),即cos2(x+T)=cos2x對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,也就是cos(u+2T)=cosu對(duì)任意實(shí)數(shù)u都成立,其中u=2x.由y=cosu的周期為2,可知使得cos(u+2T)=cosu對(duì)任意實(shí)數(shù)u都成立的2T的最小正值為2,可知2T= 2,
4、即T= ,所以f(x)=cos2x的周期為. 一般地,函數(shù) 及 (其中A, 為常數(shù),且A0,0)的周期【重要結(jié)論】1.等式sin(30+120)=sin30是否成立?如果成立,能否說明120是正弦函數(shù)y=sinx,xR的一個(gè)周期?為什么?2. 是不是周期函數(shù)?為什么?答:等式成立,不是,因?yàn)槎x中要求每一個(gè)x都滿足定義.答:不是,因?yàn)閤0.【思考辨析】4.函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù)),xR,問函數(shù)f(x)是不是周期函數(shù),若是,有無最小正周期?3.函數(shù)y=cosx,xR是不是周期函數(shù)?-2是不是它的一個(gè)周期?為什么?答:是周期函數(shù),-2是它的一個(gè)周期,因?yàn)閏os(x-2)=cosx.答:是,無最小正周期.1.求下列函數(shù)的最小正周期:解:54.已知函數(shù)y=2sin(x+)(0)在區(qū)間0,2的圖象如下:那么=_.解:由圖象知函數(shù)的周期T=,所以 .21.三角
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