反函數(shù)-精講版課件

1、第 講6 反函數(shù)第二章 函數(shù)高考搜索反函數(shù)的定義及其求法分段函數(shù)的反函數(shù)的求法互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系反函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用高高考猜想高考比較重視對反函數(shù)的考查，試題多以考查基礎(chǔ)知識為主；經(jīng)?？疾榈挠校悍春瘮?shù)的求法；反函數(shù)的概念；反函數(shù)在某點的函數(shù)值；反函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系，包括定義域與值域的關(guān)系、單調(diào)性的關(guān)系、函數(shù)圖象的關(guān)系等.一、反函數(shù)的概念1. 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A，值域為C，由y=f(x)求出x=(y).如果對于C中每個y值，在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么x=(y)為以y為自變量的函數(shù)，叫做y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f-1(y).通常情況下，一般用x表示自變量，所以記

2、作 . y=f-1(x)2. 反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的 和 .二、反函數(shù)的求解步驟第一步從y=f(x)中求出x，第二步 ;第三步確定y=f-1(x)的定義域，即原函數(shù)的 .值域定義域交換x，y的位置值域三、原函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系1.原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱.2. 若點P(a，b)在y=f(x)的圖象上，則點 在y=f-1(x)的圖象上.直線y=x(b，a)四、反函數(shù)的性質(zhì)若y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則y=f(x)的反函數(shù)是 .其自身五、兩個重要結(jié)論1. 若y=f(x)存在反函數(shù)，xA，yC，則f-1f(x)= ，ff-1(x)= .2. 已知y=f(x)，求f

3、-1(a)可以利用 ，從中求出x，即f-1(a).xxf(x)=a1.函數(shù) 的反函數(shù)是( )A.y=(x-1)2 (1x3)B. y=(x-1)2 (0 x4)C. y=x2-1 (1x3)D. y=x2-1 (0 x4) 由得x=(y-1)2，且1y3，所以其反函數(shù)是y=(x-1)2(1x3)，故選A.答案：A2.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a0，且a1)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點 則f(x)=( )A.log2xB. C. D. x2 f(x)=logax，代入解得所以故選B.答案：B3.函數(shù) 的反函數(shù)為自身的條件是( )A.a=0,b=0B. a=1,bRC. a=1,b-1D. a=

4、-1,b=0因為函數(shù) 的反函數(shù)為自身，所以則a=1，b-1.故選C.答案：C題型一：反函數(shù)的求法1. 求下列函數(shù)的反函數(shù).(1)f(x)=x2-3x+2 (x1);(2)f(x)= x2-1(0 x1) x2 (-1x0). (1)由得 因為x1，所以即又當(dāng)x1時，所以y0，故(2)當(dāng)x(0，1時，由y=x2-1，得x=y+1.又0 x21，所以-1y0.當(dāng)x-1，0)時，由y=x2，得x=-y，又0 x21，所以0y1.故f-1(x)= 點評：求反函數(shù)的解析式應(yīng)注意兩點：一是先把解析式看為自變量的方程，在定義域范圍內(nèi)求得自變量；二是須求得反函數(shù)的定義域(也可求原函數(shù)的值域).求下列函數(shù)的反函

5、數(shù).(1) f(x)=x2-2x-1 (x0);(2) (1)由y=x2-2x-1=(x-1)2-2，得(x-1)2=y+2.因為x0，所以即又當(dāng)x0時，x-1-1，故(x-1)21，則y-1，所以(2)由得所以1-x2=(1-y)2，即x2=2y-y2.因為-1x0，所以且y(0，1.所以題型二：互為反函數(shù)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系2. 已知函數(shù) y=g(x)的圖象與y=f-1(x+1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，求 的值. 解法1：(著力于尋求f-1(x+1)的解析式)由已知得所以又由題設(shè)知g(x)的反函數(shù)為f -1(x+1)，所以g-1(x)=f-1(x+1),所以令 ，則所以由得解得b=-1，

6、所以 解法2:(利用正反函數(shù)值的轉(zhuǎn)化)令則又由題設(shè)知g(x)的反函數(shù)為f -1(x+1)，所以g-1(x)=f-1(x+1).所以由得 所以所以b+1=0，即b=-1,故得 解法3:(運用對復(fù)合函數(shù)的反函數(shù)的認(rèn)知)由題設(shè)知f-1(x+1)的反函數(shù)為g(x),又f -1(x+1)的反函數(shù)為f(x)-1,所以g(x)=f(x)-1,所以點評：互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，即點(a，b)如果在原函數(shù)的圖象上，則點(b，a)一定在它的反函數(shù)的圖象上.設(shè)函數(shù)已知其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于點M(-1，3)成中心對稱，求實數(shù)a的值.其對稱中心為(a+1，-1).因為f-1(x)的圖象

7、的對稱中心M(-1，3)，所以f(x)的圖象的對稱中心為(3，-1)，即a+1=3，故a=2. 題型三：函數(shù)與其反函數(shù)的相互關(guān)系3. 已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，點A(-1，1)和B(1，3)在它的圖象上，f -1(x)是它的反函數(shù)，那么不等式|f -1(log2x)|1的解集為( )A. (2，8) B. (1，3)C. (-1，1) D. 無法確定 因為|f -1(log2x)|1，所以-1f -1(log2x)1.又因為f(x)為R上的增函數(shù)，所以f(-1)ff -1(log2x)f(1)，即1log2x3，得2x8，選A.點評：互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有著類似的性質(zhì)：如單調(diào)性、奇偶性.原函數(shù)與它的反函數(shù)的增減性相同；原函數(shù)如果是奇函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù). 設(shè)函數(shù)已知f-1(x)=f(x)，求m的值. 因為f-1(x)=f(x)，所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.顯然f(5)=0，所以點A(5，0)在y=f(x)的圖象上，從而點A(5，0)關(guān)于直線y=x的對稱點(0，5)也在y=f(x)的圖象上，所以此時，由得所以故m=-1為所求.1. 求函數(shù)的反函數(shù)大致分三個步驟進行：首先由y=f(x)解出x=(y)；然后求出原函數(shù)f(x)的值域；最后將x，y互換，注明反