高等代數(shù)教學(xué)筆記3：行列式l+II

1、高等代數(shù)教學(xué)筆記3:行列式I1994年，一個叫夏侯惇,呃 不,Sheldon的人（不知道是不是“生活大 爆炸”里的那位）,寫了一篇文章,題目是Down with determinant, 后來發(fā)展 成一本書Lin ear algebra done right .他拋棄了行列式這個概念，把高等 代數(shù)的內(nèi)容重新寫了一遍，最后一章才給出行列式的定義理由是很多書上的 行列式定義不自然，并且高等代數(shù)的大部分內(nèi)容不需要行列式也可以講.這至 少給了我們兩點啟迪：一是行列式的定義應(yīng)該盡可能自然地引入，二是在學(xué)習(xí) 高等代數(shù)的時候我們可以使用行列式，不過隨時需要考慮一下，不用行列式如 何得到類似的結(jié)論.不過，我個

2、人還是喜歡講行列式.首先，行列式具有傳奇色彩，它是日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在1683年首先提出，十 年后德國數(shù)學(xué)家Leibniz又獨立提出的.有趣的是，有證據(jù)表明，關(guān)孝和當(dāng)時已經(jīng)有了微積分的思想，這與Leibniz 以及Newton不謀而合.看起來，代數(shù) 和分析是有千絲萬縷的聯(lián)系的，實際上也是這樣，比如分析中做變量替換就涉 及到Jacobi行列式，而前文提到的多項式的導(dǎo)數(shù)卻是從微積分里來的.其次，行列式的概念還是非常有用的，涉及到代數(shù)中的解方程組，分析中的 Jacobi行列式，幾何中的平行四邊形和平行六面體體積，外代數(shù)的最高次外積 群表示論的導(dǎo)火線群行列式等等.最重要的是，行列式作為一個數(shù)學(xué)對象，本身

3、沒有太復(fù)雜的理論背景，它的提 出和探索過程很有啟發(fā)性，這是數(shù)學(xué)家們進行數(shù)學(xué)研究或者數(shù)據(jù)處理的一個典 范,啟發(fā)我們怎么從一堆紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)中找出有用的信息.或許，如今熱門的大數(shù)據(jù)學(xué)科可以給被Sheldon打倒的行列式正個名，把其發(fā)現(xiàn)者關(guān)孝和與 Leibniz奉為大數(shù)據(jù)的祖師爺.二、三階行列式行列式是從線性方程組求解中發(fā)展出來的，所以初學(xué)者必須自己動手算一算以 下的幾個問題.我每次講的時候都會花挺長時間展示如下的二元、三元一次方程組的求解過程，不厭其煩地展示其中的細節(jié)，希望學(xué)生們能從中得到啟發(fā)，理 解行列式為什么會被提出.不過效果并不太理想，因為不少學(xué)生并不在乎問題 的起源，也不耐煩從繁瑣的計算過

4、程中尋找有用的線索，而這其中不乏一些刻 苦用功而事倍功半的學(xué)生.問題1判斷二元一次線性方程組filial + ai22 b* a211 + a筮戈2 =誕何時有唯一解，并求解的表達式.這個問題自然很簡單，不過它的解答蘊含著規(guī)律，數(shù)學(xué)研究在很大程度上都是 在探索規(guī)律.中學(xué)生就可以嘗試做一做的，畢竟我們沒必要每次遇到二元一次 方程組時都用消元法求解.實際上，三十多年前的中學(xué)課本上是有求解公式的 我們需要引入一個很關(guān)鍵的記號一一二階行列式，即11 a12=1122 一 01221-2l 衛(wèi)22利用二階行列式可以把解寫得非常整齊，推理完了可以好好欣賞一下其中展現(xiàn) 的數(shù)學(xué)之美如果不覺得解的表達式漂亮，可

5、能是沒有把解寫得很對稱，可以 調(diào)整一下，當(dāng)然更可能是審美觀念的問題.為了找到一般規(guī)律，我們需要再研究一下三元一次方程組其實很多很漂亮的 結(jié)論并不是一開始就被想到，大部分是經(jīng)過了長期的摸索，刪繁就簡，去偽存 真后才得到現(xiàn)在的樣子這個過程常常被忽略，但對于初學(xué)者還是應(yīng)該走一走 問題2解三元一次線性方程組r111 + 122 + L33 =幾fl.21 1 + 22：廠2 +。23兀3 二蝕：1為說1 + 口32亦 + 知血3 = 加*在有唯一解的情況下求出解的表達式 可以利用二元情形的結(jié)論，把看作已知的，利用后兩個方程求出（用 二階行列式來表達）,再代入第一個方程解出1 .在這個過程中盡量保持二階

6、行列式，不要展開這個過程很簡單，但是會啟發(fā)我們定義三階行列式為11 12 (l 1321 22 23 伽11 12 (l 1321 22 23 伽1細2 22 23如1一杠12化陽21隹 31 a33+ 1321 22這樣就得到了以及-的非常漂亮的表達式，同樣值得好好欣賞，因為這時候可以看出規(guī)律性越來越明顯 需要注意的是，在這個過程中需要處理二階行列式，比如022 b? 7-102122-22J121*32T|a：ji竝21Ki如1z LI b2口22+叭32伽1這里蘊含了行列式計算的拆項、提取系數(shù)、交換行列等幾大法寶 ：(1) 一個行列式可以拆成兩個行列式；(2)行列式的一列的共同倍數(shù)可以提

7、出來；(3)兩列互換，行列式變號.類似地，也可以用前兩個方程或第一、三個方程來求解，這樣會得到行列式的其 他兩種定義，分別是按照第二行或第三行定義的n階行列式：按第一行展開和完全展開三階行列式是通過二階行列式來定義的，涉及的二階行列式都是這個三階行列 式去掉一行一列之后得到的.為了方便，我們把去掉第i行第j列后得到的 行列式記為嘰,稱為元素?zé)?的余子式,于是三階行列式可以簡記為Mu a 12/12 十 1313 -很自然地想到：對于一般的含n個未知量n個方程的線性方程組，如果存在 唯一解，則可以通過定義行列式來求解我們把線性方程組的系數(shù)排列成矩形32* 必2122 *湖g 1如2稱為n階方陣，

8、記為A.以后會考慮行數(shù)和列數(shù)不相等的矩陣.方陣A的n 階行列式記為|A|,可以按照三階情形推廣如下.定義3(行列式按第一行展開)月I =如1人11 一 1212 + (-仏.上述行列式的定義只是一個遞推關(guān)系，我們有必要了解一下其通項公式，這就 需要把行列式完全展開我們還是要從三階行列式看起問題4三階行列式的完全展開式為印 1 12_十 122331 + 132132口21a23=*a 1102332 一 12a21ft33 一31 13 =川31|或其倍數(shù)即可！但是不要直接驗證，而是探索一下這個結(jié)論是怎么得到的 進一步有問題12血 1（IT1 血：3 =11 + G2込 1 + 舊1 人3伽I

9、 口:詡33這個等式表明，三階行列式的行與列有對稱性！于是可以看出行列式有第三種 定義方式：問題13 （行列式按第一列展開）n階行列式可以定義為fliiMii Q21A/2 4+ （】）一匕訂Ahi,或者llAn + Q21 宜21 Hh-這個定義預(yù)示著行列式的行列地位是相當(dāng)?shù)?，直接證明它與前兩個定義的等價 性并不容易，需要注意到如下問題，用完全展開式可以很容易證明 問題14轉(zhuǎn)置（所有的行與列互換）不改變行列式.行列式的幾何意義有一件與行列式相關(guān)的非常值得做的事情，詳情可以參考我參編的高代代數(shù)與 解析幾何一書問題15平面直角坐標(biāo)系中，給定平面矢量 =（珈盹）,B （如T求a與B的夾角；（由此可

10、以自然引出平面矢量的內(nèi)積的定義）（2）求 a與B張成的平行四邊形面積（行列式與面積）問題問題3.33計算行列式題題3.32計算行列式:這個過程推廣到三維有 問題16給定立體空間的矢量0 = 31+叼衛(wèi)必 0 =（小加諭 丁=（粗，勺33）求a , B的夾角；（空間矢量的內(nèi)積） 求a , B張成的平行四邊形面積；（空間矢量的外積）（3）求a , B , 丫張 成的平行六面體體積（行列式、混合積與體積）高等代數(shù)教學(xué)筆記3:行列式II行列式的計算（II）現(xiàn)在我們可以看一些典型行列式的計算了行列式的計算除了使用前面提到的完全展開、按某一行（列）展開、按某些行（列）展開以及行列初等變換的幾個 性質(zhì)，常見

11、的行列式計算技巧有遞推關(guān)系、拆項（把某一行或列拆開為兩行（列）、鑲邊（增加一行一列把行列式化成高一階的），很多書上都有相關(guān)例題 不再贅述.這里僅選擇幾個有背景的行列式的計算.前文提到了 Vandermonde行列式,它在Lagrange插值公式中有應(yīng)用.以后我 們會發(fā)現(xiàn)，Vandermonde行列式還有另一個作用：我們可以隨心所欲寫下任意 階數(shù)的非零行列式，當(dāng)然這樣的行列式不能是簡單的對角形或上、下三角形的.Vandermonde行列式的計算有不同的方法，其中之一是把它看成一個多元多項 式，利用行列式的性質(zhì)去尋找這個多項式的公因式.類似的方法可以用在很多 地方.我們舉幾個例子.先看一個簡單的.

12、x a a丄1V yax a；(2)zaya a XzzX7l行列式(1)很典型,(2)是其眾多變形之一 .(1)的計算方法也很多：行列變 換、拆項、鑲邊等等當(dāng)然也可以用多項式的方法：容易看出來行列式是一個一 元n次首一多項式f(x),而f(a) = 0,因此x - a是f(x)的一個根.以后學(xué)到矩 陣的秩的時候,我們很容易看出a是f(x)的至少n - 1重根，這一點現(xiàn)在也可 以得到，只要利用多項式的導(dǎo)數(shù)即可.在這里就需要知道，對行列式求導(dǎo)實際上 是對每列(或行)分別求導(dǎo)得到n個行列式，再把它們加起來就行.這就說明x -a是f(x)的(至少)n - 1因式.n次多項式最多有n個根，于是需要求出

13、最 后一個根.一種方法是把其他行都加到第一行就可以得到-(n - 1)a也是f(x)的根；另一種方法是利用Vieta定理，所有根的和是f(x)的n - 1項系數(shù)的相反數(shù)，而此時這個系數(shù)為0(為什么?).這里又蘊含了矩陣的另一個重要概念一一跡,也就是對角元素的和，學(xué)到相關(guān)概念時再回頭看看，可以達到溫故知新的功 效.像上述問題中這樣的對角線上有未知量、其他位置都是常數(shù)的行列式我們會經(jīng)常遇到，這就是后面要著重研究的矩陣的特征行列式(特征多項式).比如前面已經(jīng)提到過的I0X!Iao*+ a口一1 + * + 盤0 1 x H-1978年，中科院的一道高等代數(shù)考研試題與如下的行列式問題本質(zhì)上是一樣的 這

14、也是許以超先生的書上的習(xí)題.問題問題3.35 （循環(huán)矩陣的行列式）求x + n n1 x n 2 n + 12n _ 4 n + 2 TOC o 1-5 h z t*f- v*A HYPERLINK l bookmark32 o Current Document n I x n + 2-1n x n這個復(fù)雜的行列式的結(jié)果出人意料的簡單：.的確可以通過一些行列 變換把這個行列式降階從而找到規(guī)律不過，這樣生硬的計算方式會把這個問 題的神奇的背景掩蓋了 ！這個問題實際上與Lie代數(shù)有關(guān)，去掉對角線上的x 所得的矩陣實際上是一個幕零矩陣，也就是它的n次方（矩陣乘法）是零.當(dāng) 然不能直接驗證,巧妙的方式

15、是要用到Lie代數(shù)的運算：A,B = AB -BA,這 里A,B都是n階方陣.還有很多的行列式與群論有關(guān)，比如下面的兩個例子問題3.34證明：切 372X X4 X3（IC1 + 砂 + 厲4）（巧 + 砂-忑3 ；巾:l：4 T1 X2（旳_現(xiàn)+ Xa 砌”衛(wèi)_切一叼+ .I比4叼上述四階行列式竟然可以分解成一次因式的乘積，這本身就是一件值得玩味的事.實際上它與Klein群有關(guān)系.熟悉一點群論的應(yīng)該知道，四階群一共有兩 種，另一種是循環(huán)群.更一般地有任意n階循環(huán)群，與之相關(guān)的行列式如下.n忑兀一1 X2:rj3父3i富2巧* X4fl加一 11島_2A Xl上述行列式有一個因式是明顯的：忑1

16、 +2 + 八+足小這可以通過把其他行加到第一行得到.關(guān)鍵在于尋找其他的因式，我們也可以 把其他行的倍數(shù)加到第一行，比如第二行的$2倍，第n行的$斤倍 加到第一行去.我們只看第一行的前兩項：于是取2為n次單位根即可,而2 = I是我們已經(jīng)用過的.這樣我們就 可以得到了 n個不同的一次因式，它們的乘積自然也是原行列式的因式 （需要 多元多項式的因式分解的存在唯一性）.再比較一下次數(shù)和首項系數(shù)即可.這個復(fù)雜但又有規(guī)律的行列式竟然也可以寫成一次因式的乘積，這也是值得玩味的.后面我們還可以用矩陣乘法（矩陣相似）的觀點再來看這個問題. 感 興趣的讀者還可以試一試計算如下行列式.問題3.36計算：$3兀2

17、Xl5=2Xi5X4_=2:J?61*2広3氏6兀4忑3上述三個行列式加在一起就是一道通向有限群表示論的橋梁 問題3.37計算n階 Cauchy行列式11一 1也1+切11+2111化1+論 102+61t*“ 2+血T*fl1*1. 1知+6知+旣如 +in（沒找到原文，所以不知道這個行列式是Cauchy在1841年的書中提到的Cauchy考慮這個行列式的背景），在Euclid 空間中會出現(xiàn)其中的對稱情形 （丄=.這個行列式看起來復(fù)雜,計算難度卻不大,只要作一作初等變 換，把任意兩行減一減就會發(fā)現(xiàn)公因式了 .我們也可以用多元多項式的觀點看：首先每行通分，把分母提到行列式外面,余下的行列式就是一個多元多項式.再注意到% 巧或機=場（i，豐力時行列式都是,于是切一 5與仰是 這個2n元的行列式的因式.從而n （切一為）（切一）1是行列式的因式，比較一下次數(shù)，再加上分母就能得到結(jié)果了 .不過，這里值得停一下：Cauchy行列式似乎與兩個Vandermonde行列式有關(guān)， 實際上是