數(shù)學(xué)建模數(shù)模排隊(duì)論課件

1、排隊(duì)論 羅清雨XPXk 設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為0,1,2, 而取各值的概率為:k0, 1, 2, (0)定義:泊松定理 設(shè)隨機(jī)變量XnB(n, p), (n0, 1, 且n很大，p很小，記=np，則2,),注: 1.)泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布泊松分布的應(yīng)用較廣.例如:在一定時(shí)間間隔內(nèi)某電話交換臺(tái)收 的呼喚次數(shù).一天內(nèi)到某商店去的顧客數(shù).到用戶一定時(shí)間內(nèi)某放射性物質(zhì)放射的質(zhì)點(diǎn)數(shù).某醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù).例.用步槍向某一目標(biāo)射擊,每次擊中目標(biāo) 的概率為0.001,今射擊6000次,試求至少有 兩彈擊中目標(biāo)

2、的概率.方法二.用泊松定理作近似計(jì)算,例 在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)， 不少于60000元的概率不低于90%，賠償金至多可設(shè)為多少？(2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)問： (1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率解: 設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n, p), 1 (7.75)= 0;= 1PX120 (1) PY0 = P1000012-1000X60000=P1000012-aX60000（2）設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價(jià)于=PX60000/a0.9;排

3、隊(duì)論（隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是研究系統(tǒng)擁擠現(xiàn)象和排隊(duì)現(xiàn)象的學(xué)科）排隊(duì)論的應(yīng)用范圍：工業(yè)上：原材料的供應(yīng)，產(chǎn)品的銷售，多機(jī)床的看管，工具收發(fā)，倉(cāng)庫(kù)管理等服務(wù)行業(yè)，食堂，商店，修配服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，銀行，郵局等合理地確定規(guī)模。軍事上，組織武器和軍事基地的分布，新武器的研制等。“顧客-攻擊目標(biāo)”，“服務(wù)-向目標(biāo)開火”，“服務(wù)完畢-擊落目標(biāo)”。排隊(duì)論的特性與共性排隊(duì)系統(tǒng)：為了獲得服務(wù)而到達(dá)的顧客，若不能立即獲得而又允許排隊(duì)等候的話，就加入等候隊(duì)伍，并在獲得服務(wù)之后離開系統(tǒng)。因顧客來的時(shí)間和受服務(wù)時(shí)間是不確定的，所以它是個(gè)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。包括顧客輸入，排隊(duì)和服務(wù)三個(gè)過程。輸入過程： 在輸入流中，應(yīng)用最廣泛、最易處理的

4、是最簡(jiǎn)單流。 定長(zhǎng)輸入：顧客有規(guī)則地按等距時(shí)間到達(dá),每隔a時(shí)間到達(dá)一個(gè)。設(shè)顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔為t，它的分布函數(shù)記為 如產(chǎn)品通過傳送帶進(jìn)入包裝箱。最簡(jiǎn)單流（泊松Poisson流）令N(t)表示0到t時(shí)刻顧客到達(dá)的總數(shù)，它滿足以下四個(gè)條件：平穩(wěn)性：在區(qū)間(a,a+t)內(nèi)有k個(gè)顧客到來的概率Vk(t)與a無關(guān)，只與t,k有關(guān)。無后效性（獨(dú)立性）：在區(qū)間內(nèi)有個(gè)顧客到來的概率與時(shí)刻a以前的情況無關(guān)。普通性：在同一時(shí)間瞬間內(nèi)不可能有兩個(gè)顧客同時(shí)到達(dá)。有限性：任意有限區(qū)間內(nèi)到達(dá)有限個(gè)顧客的概率為1。因而 對(duì)這樣的最簡(jiǎn)單流，長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)到達(dá)k個(gè)顧客的概率Vk(t)服從泊松分布，即 式中 為一常數(shù)，叫平均到

5、達(dá)率。 2,排隊(duì)規(guī)則：指“顧客”按怎樣的規(guī)定次序接受服務(wù) 根據(jù)有沒有排隊(duì)與等待，分三種情況： 損失制：當(dāng)一個(gè)顧客到時(shí)，若所有服務(wù)機(jī)構(gòu)被占用，該顧客就自動(dòng)消失，永不再來。如敵機(jī)經(jīng)過防空系統(tǒng)時(shí)沒被擊落，就消失了。 等待制：當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)機(jī)構(gòu)被占用，顧客就排隊(duì)等候服務(wù)。先到先服務(wù)。后到先服務(wù)。存入倉(cāng)庫(kù)的東西，常常后放先取。隨機(jī)服務(wù)。多個(gè)服務(wù)臺(tái)時(shí)。優(yōu)先權(quán)服務(wù)。強(qiáng)占服務(wù)。救火車，救護(hù)車，長(zhǎng)途電話的搶線通話?；旌现疲菏菗p失制與等待制的混合。對(duì)長(zhǎng)度有限制的情況。等待時(shí)間有限制的情況。顧客在系統(tǒng)中逗留時(shí)間有限制的情況。服務(wù)機(jī)構(gòu)是在指同一時(shí)刻內(nèi)有多少服務(wù)設(shè)備可接納顧客，對(duì)每一顧客服務(wù)了多少時(shí)間。假設(shè)服

6、務(wù)時(shí)間具有指數(shù)分布，則對(duì)各個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的，且具有相同的指數(shù)分布，即式中 為一常數(shù)，表示單位時(shí)間內(nèi)平均的被服務(wù)人數(shù)，即平均服務(wù)率。指數(shù)分布的特點(diǎn)：服務(wù)開始后，服務(wù)結(jié)束得較快 的概率很大，服務(wù)時(shí)間很長(zhǎng)的概率很小。顧客已被服務(wù)過一段時(shí)間，還需繼續(xù)服務(wù)的時(shí)間與已服務(wù)的時(shí)間無關(guān)。2三。排隊(duì)論的應(yīng)用實(shí)例：1.在損失制系統(tǒng)中常用到下列已經(jīng)推導(dǎo)過的公式：（1）服務(wù)系統(tǒng)中有k個(gè)服務(wù)設(shè)備被占用的概率： (1)式中的 為到達(dá)率與服務(wù)率之比，又叫通行率。（2）所有服務(wù)設(shè)備都空閑的概率 ： (2)式中的n是服務(wù)設(shè)備總數(shù)。(3)顧客因服務(wù)設(shè)備沒空而離去的概率（損失率）Pn： (3)(4)平均忙著的服務(wù)臺(tái)數(shù)E

7、(k)： (4)例1 某問訊處共有n臺(tái)電話機(jī)，可以同時(shí)供n個(gè)顧客通話，設(shè)顧客呼喚為最簡(jiǎn)單流，呼喚率 =3次/分鐘，通話時(shí)間平均值為每半分鐘3次，服務(wù)率 次/分鐘，求1)電話打不通的概率（損失率）不大于5%時(shí)所需要的電話臺(tái)數(shù)n.2)需要幾個(gè)話務(wù)員？由公式（3）得：可由數(shù)學(xué)軟件解出n=4下面討論這4臺(tái)電話機(jī)的利用率：由公式（1）設(shè)備都空閑:P0=0.369由公式(3)平均忙著的臺(tái)數(shù):E(k)=0.98利用率：0.98/4=0.245這就是說平均有3/4時(shí)間電話機(jī)是空閑的，因而不需要配備4個(gè)接話員。因設(shè)備沒空顧客離開的概率：例2：某加油站有3名服務(wù)員，過往車輛到加油站,如發(fā)現(xiàn)服務(wù)員沒空就會(huì)離去，已知

8、車輛到達(dá)率每小時(shí)36輛，一輛汽車的平均服務(wù)時(shí)間為5分鐘，服務(wù)率 輛/時(shí)，則通行率 ，求損失顧客可能性的大小，應(yīng)如何改善服務(wù)系統(tǒng)。解：由公式（3）得車輛損失的概率：這說明到加油站的每100輛車中有35輛沒經(jīng)服務(wù)而離去。再分析一下3名服務(wù)員都空閑的概率：由公式（2）：由公式（4）得平均工作的人數(shù)：可見服務(wù)員的利用率2.2/3=0.733,說明 利用率高，又有35%的損失率，所以有條件的話，可以添加服務(wù)員。(2)等待制系統(tǒng)設(shè)有n臺(tái)服務(wù)設(shè)備，m個(gè)顧客，顧客流為最簡(jiǎn)單流，服務(wù)時(shí)間為指數(shù)分布。已推出以下結(jié)論：當(dāng)mn時(shí)，有k臺(tái)設(shè)備占用的概率：全部設(shè)備都空閑的概率：（6）（7）平均對(duì)長(zhǎng)： （8）空閑設(shè)備臺(tái)數(shù)的數(shù)學(xué)期望： （9） 服務(wù)設(shè)備利用率:例3。 關(guān)于多機(jī)床看管問題，顧客就是故障機(jī)床，服務(wù)是調(diào)整機(jī)床，設(shè)顧客流是最簡(jiǎn)單流，服務(wù)時(shí)間具有