數(shù)學(xué)物理方程調(diào)和市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、第四章 調(diào)和方程1 方程建立和定解條件 2 格林公式、調(diào)和函數(shù)及其基本性質(zhì) 3 格林函數(shù) 4 用電象法求解特殊區(qū)域狄氏問(wèn)題 第1頁(yè)第1頁(yè)二、 拉普拉斯方程邊值問(wèn)題提法1 第一邊值問(wèn)題（狄氏問(wèn)題）2 第二邊值問(wèn)題（牛曼問(wèn)題）3、狄氏外問(wèn)題4、牛曼外問(wèn)題1 方程建立和定解條件調(diào)和函數(shù)：含有二階偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程連續(xù)函數(shù)。一、方程建立第2頁(yè)第2頁(yè)三、泊松方程邊值問(wèn)題泊松方程邊界條件定義在第一類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件第三類(lèi)邊界條件泊松方程與第一類(lèi)邊界條件，構(gòu)成第一邊值問(wèn)題(狄里希利問(wèn)題)泊松方程與第二類(lèi)邊界條件，構(gòu)成第二邊值問(wèn)題(諾依曼問(wèn)題)泊松方程與第三類(lèi)邊界條件，構(gòu)成第三邊值問(wèn)題第3頁(yè)第3

2、頁(yè) 1奧高公式 設(shè) 及 和 是在 上連續(xù)，在 內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)任意函數(shù), 則有下列奧-高公式其中 是 在 點(diǎn) 處外法向量 2 格林公式、調(diào)和函數(shù)及其基本性質(zhì)一、格林公式第4頁(yè)第4頁(yè) 2格林第一公式 在上述奧-高公式中令 ， ，注意到顯然恒等式：我們就有下列格林第一公式或第5頁(yè)第5頁(yè) 3格林第二公式 在上述格林第一公式中，互換 位置，得格林公式通常指格林第二公式，在格林函數(shù)法求解定解問(wèn)題時(shí)常要用到。然后兩式消減，我們就得到格林第二公式：原有第6頁(yè)第6頁(yè)由物理學(xué)家狄拉克首先引進(jìn)用以討論物理學(xué)中一切點(diǎn)量質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)電荷瞬時(shí)力脈沖等定義 d 函數(shù)是指含有下列性質(zhì)函數(shù)：4、d 函數(shù)第7頁(yè)第7頁(yè)如對(duì)一維問(wèn)題:設(shè)在

3、無(wú)窮直線上 區(qū)間內(nèi)有均勻電荷分布，總電量為一個(gè)單位，在區(qū)間外無(wú)電荷如圖，則電荷密度函數(shù)為物理意義：集中量密度函數(shù)若 f(x) 在 內(nèi)連續(xù)，由中值定理有對(duì)于 有第8頁(yè)第8頁(yè)對(duì)于 在 連續(xù)，有或者表示是任意階可微函數(shù)極限，通常意義下沒(méi)故意義，只在積分運(yùn)算中才故意義。當(dāng) 時(shí)，得到點(diǎn)電荷密度函數(shù)此積分應(yīng)理解為第9頁(yè)第9頁(yè) 相關(guān)d 函數(shù)等式應(yīng)當(dāng)在積分意義下理解。第10頁(yè)第10頁(yè)令兩邊微商，得由于由傅里葉逆變換，得拉普拉斯變換對(duì)二、三維同樣有 函數(shù) 二維： 處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，密度分布函數(shù)為 三維： 處有一個(gè)單位點(diǎn)電荷，密度分布函數(shù)為 第11頁(yè)第11頁(yè)求證： ，其中 證實(shí):要證實(shí) ，就是要證實(shí)積分意義下例

4、第12頁(yè)第12頁(yè) 當(dāng) 時(shí)，有三式相加，可得第13頁(yè)第13頁(yè) 當(dāng) 時(shí)， 不可導(dǎo)，將 V 取為整個(gè)三維空間第14頁(yè)第14頁(yè)令 ，上式積分與 a 無(wú)關(guān)從而有因此即第15頁(yè)第15頁(yè)二、 泊松方程基本積分公式建立點(diǎn)源泊松方程奇異，不能化為面積分。在 V 中 點(diǎn)挖掉半徑 小球 。小球邊界 。第16頁(yè)第16頁(yè)在 ， 。和連續(xù)。第17頁(yè)第17頁(yè)這樣，邊界條件得以進(jìn)入積分之中！上式為泊松方程基本積分公式。令f=0,即得調(diào)和方程基本積分公式：調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)值能夠通過(guò)積分表示式用這個(gè)函數(shù)在區(qū)域邊界上值和邊界上法向?qū)?shù)來(lái)表示。第18頁(yè)第18頁(yè)1、調(diào)和方程基本解三、調(diào)和函數(shù)基本性質(zhì)2、調(diào)和方程基本積分表示式第1

5、9頁(yè)第19頁(yè)3、 牛曼內(nèi)問(wèn)題有解必要條件4、 平均值公式（定理）5、 極值原理取 狄氏問(wèn)題解唯一擬定，牛曼問(wèn)題解除了相差一常數(shù)外也是唯一擬定。6、 拉普拉斯方程解唯一性問(wèn)題調(diào)和函數(shù)最大、最小值只能在邊界上達(dá)到第20頁(yè)第20頁(yè) 3 格林函數(shù)若u，v均為調(diào)和函數(shù)若v不但為調(diào)和函數(shù)，且滿足由格林公式兩式相加令則第21頁(yè)第21頁(yè)對(duì)泊松問(wèn)題對(duì)拉普拉斯問(wèn)題因此求解狄氏問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求此區(qū)域格林函數(shù)，即第22頁(yè)第22頁(yè)4 用電像法擬定格林函數(shù)用格林函數(shù)法求解主要困難還在于如何擬定格林函數(shù)本身 一個(gè)詳細(xì)定解問(wèn)題，需要尋找一個(gè)適當(dāng)格林函數(shù)，對(duì)一些詳細(xì)問(wèn)題能夠給出構(gòu)建格林函數(shù)辦法 這辦法是基于靜電學(xué)鏡像原理來(lái)構(gòu)建格

6、林函數(shù)，因此我們稱(chēng)這種構(gòu)建辦法為電像法（也稱(chēng)為鏡像法） 在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)關(guān)于邊界象點(diǎn)，在這兩個(gè)點(diǎn)放置適當(dāng)電荷，這兩個(gè)電荷產(chǎn)生電位在曲面邊界上互相抵消。這兩個(gè)電荷在區(qū)域中形成電位就是所要求格林函數(shù)。電象法求格林函數(shù)第23頁(yè)第23頁(yè)物理模型：若在 處放置一正單位點(diǎn)電荷 則虛設(shè)負(fù)單位點(diǎn)電荷應(yīng)當(dāng)在 于是得到這兩點(diǎn)電荷在 xoy 上半平面電位分布也就是本問(wèn)題格林函數(shù)，即為 1、 上半平面區(qū)域拉普拉斯方程第一邊值問(wèn)題求解第24頁(yè)第24頁(yè)據(jù)此可求解上半平面區(qū)域定解問(wèn)題例1 定解問(wèn)題： 【解】 依據(jù)第一邊值問(wèn)題，構(gòu)建格林函數(shù)滿足 處放置于一個(gè)正和一個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷（或點(diǎn)源） 構(gòu)建格林函數(shù)為 第25頁(yè)第25頁(yè)邊界外法線方向?yàn)樨?fù)軸，故有 代入到拉普拉斯第一邊值問(wèn)題解公式，則由得 或由互易性得到上式稱(chēng)為上半平面拉普拉斯積分公式第26頁(yè)第26頁(yè)例2 在上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程第一邊值問(wèn)題 【解】構(gòu)建格林函數(shù)滿足2 、上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程第一邊值問(wèn)題依據(jù)物理模型和無(wú)界區(qū)域格林函數(shù)能夠構(gòu)建為第27頁(yè)第27頁(yè)為了把代入拉普拉斯第一邊值問(wèn)題解公式需要先計(jì)算即為 即有 第28頁(yè)第28頁(yè)代入 即得到 這公式叫作半