數(shù)學(xué)物理方法分離變量法市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、本章中心內(nèi)容用分離變量法求解各種有界問題第二章 分離變量法 我把數(shù)學(xué)當(dāng)作是一件故意思工作,而不是想為自己建立什么紀(jì)念碑。能夠必定地說, 我對(duì)別人工作比自己更喜歡。 我對(duì)自己工作總是不滿意。-拉格朗日 1第1頁第1頁本章基本要求掌握有界弦自由振動(dòng)解及其物理意義著重掌握分離變量法解題思緒、 解題環(huán)節(jié)及其關(guān)鍵問題-本征值問題2第2頁第2頁分離變量法關(guān)鍵：本章考慮問題（1）混合問題（2）邊值問題本章層次：3偏微分方程常微分方程齊次方程+齊次邊界條件非齊次方程+齊次邊界條件非齊次方程+非齊次邊界條件第3頁第3頁分離變量法思緒起源物理上由樂器發(fā)出聲音能夠分解為各種不同頻率單音，每種單音振動(dòng)時(shí)形成正弦曲線，

2、能夠表示成42.1 齊次方程問題特點(diǎn)：含兩個(gè)變量函數(shù)能夠表示為兩個(gè)分別只含一個(gè)變量函數(shù)之積。第4頁第4頁這個(gè)定解問題特點(diǎn)是：偏微分方程是線性奇次，邊界條件也是奇次。研究?jī)啥斯潭ㄏ易杂烧駝?dòng)定解問題解：這是解分離變量泛定方程：邊界條件：初始條件：5研究?jī)啥斯潭ㄏ易杂烧駝?dòng)定解問題（第一類齊次邊界條件）由前面思緒，設(shè)第5頁第5頁 x, t 是互相獨(dú)立變量（求非零解）1、分離變量代入方程中，分離過程：得出兩個(gè)常微分方程： 代入邊界條件：6第6頁第6頁高數(shù)中結(jié)論：2、求解本征值問題7若有二階常系數(shù)線性齊次方程其中p、q為常數(shù)，則特性方程為第7頁第7頁 本方程特性方程r2+=0，由上面結(jié)論知，方程解與不同取

3、值相關(guān)，分情況討論：8(1) (2) 此時(shí)X（x）=0，只有零解，不合題意； 同樣只有零解，不合題意；第8頁第8頁C2是積分常數(shù)9非零解(3)則X（x）一族非零解為 上解稱為滿足邊界條件固有解（特性解），稱為固有值（特性值），sin函數(shù)稱為固有函數(shù)（特性函數(shù)）。第9頁第9頁固得到下面一族解：A、B 是積分常數(shù)3、解出時(shí)間函數(shù)，得到一族解時(shí)間函數(shù)解10解方程 n=1,2,3 第10頁第10頁代入初始條件，有 普通情況下滿足不了，怎么辦？！利用疊加原理！114、通過初始條件，求出通解第11頁第11頁此時(shí)要滿足初始條件，則 12第12頁第12頁則定解問題最后解為13第13頁第13頁5、物理意義：是駐

4、波，（固有振動(dòng)模式）相鄰節(jié)點(diǎn)之間距離等于半波長(zhǎng) 波長(zhǎng)=節(jié)點(diǎn)數(shù)n+1 ,位置 lnlnnlnlx,)1(,2,0-= 14第14頁第14頁15本征頻率lnavlannn22,=pwpw n=1時(shí),1lapw=基頻基波（決定了音調(diào)） n1時(shí)lannpw=諧頻諧波（決定了音色） 波腹波節(jié)第15頁第15頁（4）擬定級(jí)數(shù)解中待定常數(shù)（利用初始條件）6、 分離變量法概要：（1）將偏微分方程化簡(jiǎn)為常微分方程（U=XT)（2）擬定固有值和固有函數(shù)（利用邊界條件）（3）擬定形式解（級(jí)數(shù)形式解）16第16頁第16頁17例：求解（第二類齊次邊界條件）解：設(shè)第17頁第17頁18此時(shí)邊界條件為：相應(yīng)特性值問題為： 此時(shí)

5、X（x）=0，只有零解，不合題意；(1) 第18頁第18頁19 同樣只有零解，不合題意；(2)非零解(3)第19頁第19頁20則特性解為將特性值代入T（t）方程，解出則u（x，t）特解族為第20頁第20頁同樣很難滿足初始條件，由疊加原理得 21此時(shí)要滿足初始條件，有 第21頁第21頁22故定解問題最后解為第22頁第22頁2.2 有限長(zhǎng)桿上熱傳導(dǎo)23第23頁第23頁24第24頁第24頁25此特解仍然很難滿足初始條件，由疊加原理得級(jí)數(shù)解為第25頁第25頁26由初始條件有 第26頁第26頁2.3 二維拉普拉斯方程定解問題 （1）圓域 由于邊界形狀是個(gè)圓周，圓域邊界條件中x、y是不可直接分離，故化為極

6、坐標(biāo)求解。27第27頁第27頁28第28頁第28頁第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點(diǎn)約束條件變量分離形式解29第29頁第29頁30周期本征值問題歐拉方程第30頁第30頁第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程31第31頁第31頁依據(jù)疊加原理，得到級(jí)數(shù)解32第32頁第32頁第三步：利用邊界條件利用傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)求解公式33第33頁第33頁歐拉方程 常系數(shù)線性微分方程附錄： 歐拉方程34第34頁第34頁歐拉方程算子解法: 35第35頁第35頁則由上述計(jì)算可知: 用歸納法可證 于是歐拉方程 轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:36第36頁第36頁 （2）矩形域37第37頁第37頁38第38頁第38頁39疊加后

7、級(jí)數(shù)解為第39頁第39頁40第40頁第40頁泛定方程邊界條件本征值問題本征值本征函數(shù) k=1,2,3 k=0,1,2,3 41k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第41頁第41頁422.4 非奇次方程解法 研究一根弦在兩端固定情況下，受逼迫力作用所產(chǎn)生振動(dòng)現(xiàn)象。 即考慮下列定解問題：第42頁第42頁43 怎么辦？！ 很明顯現(xiàn)在不能直接用前面變量分離起手式進(jìn)行分解，由于等式右邊非齊次尾巴沒辦法處理！ 現(xiàn)在情況下，弦振動(dòng)和兩個(gè)原因相關(guān)，一是外力，二是初始狀態(tài)。 有否經(jīng)歷過類似情景？是否有可借鑒類似情況？第43頁第43頁44 借用結(jié)論： 這里我們用一招移花接木！ 全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

8、零輸入=初始狀態(tài)引起振動(dòng)，與外力無關(guān)； 零狀態(tài)=外力引起振動(dòng)，與初始狀態(tài)無關(guān)第44頁第44頁45 設(shè)解為：初始狀態(tài)原因（零輸入）外力原因（零狀態(tài)）第45頁第45頁46 （零輸入響應(yīng)） （ 零狀態(tài)響應(yīng)）第46頁第46頁47 對(duì)V（x，t），可直接用前面變量分類法求出：第47頁第47頁48 對(duì)W（x，t），如何求？第48頁第48頁49第49頁第49頁50第50頁第50頁51第51頁第51頁52 設(shè)解法二第52頁第52頁53第53頁第53頁54第54頁第54頁55 原方程解為：第55頁第55頁56 例 在環(huán)形域 內(nèi)求解下列定解問題解由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域，因此改選取平面極坐標(biāo)系，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)

9、系之間關(guān)系第56頁第56頁57將上述定解問題用極坐標(biāo)表示出來： 利用上節(jié)求出圓域拉普拉斯方程本征函數(shù)，設(shè)解為第57頁第57頁58 代入方程并整理得到：比較兩端系數(shù)可得第58頁第58頁59再由邊界條件得通解為：求解得第59頁第59頁60特解有因此有代入邊界條件有原定解問題解為第60頁第60頁612.5 非齊次邊界條件處理設(shè)有定解問題 邊界條件非齊次，若用前面辦法分離變量，由邊界條件沒有辦法得到只與某個(gè)常微分方程相關(guān)詳細(xì)邊界函數(shù)值。 怎么辦？！第61頁第61頁62想辦法把邊界條件化為齊次！設(shè)法作一代換將邊界條件化為齊次，令因此要求選取W(x,t)使V(x,t)邊界條件化為齊次，即第62頁第62頁6

10、3 普通這樣函數(shù)是很容易找到，最簡(jiǎn)樸如選取關(guān)于x線性函數(shù)： 代入w（x，t）要滿足邊界條件，可求出：第63頁第63頁64此時(shí)關(guān)于V定解問題為因此只要做下列代換，V將滿足齊次邊界條件。第64頁第64頁65其中關(guān)于V（x，t）問題即前述非齊次方程、齊次邊界條件問題。第65頁第65頁66 當(dāng)邊界條件不同時(shí)，方法一致（關(guān)鍵在與w（x，t）選取），W（x，t）形式不同。慣用最簡(jiǎn)樸w（x，t）形式第66頁第66頁67通過上式能夠求出W（x）形式。注：若f，u1，u2都與t無關(guān)，則可選取W（x）（與t無關(guān)）， 使V（x，t）同時(shí)滿足齊次方程和齊次邊界條件，此時(shí) W（x）需滿足：第67頁第67頁68此時(shí)u（x

11、，t）=V（x，t）+W（x），則V（x，t）滿足第68頁第68頁69例1：求形式解，其中A,B均為常數(shù)。解：令代入方程有第69頁第69頁70通過二次積分即邊界條件求得：則V方程為：第70頁第70頁71利用分離變量法，帶齊次邊界方程解為利用第二個(gè)初始條件代入第一個(gè)初始條件有即第71頁第71頁72由傅里葉系數(shù)公式可得因此，原定解問題解為：第72頁第72頁73例2 求定解問題其中b,u1均為常數(shù)。解：令代入方程有第73頁第73頁74分解為兩個(gè)方程（零輸入響應(yīng)）（零狀態(tài)響應(yīng)）第74頁第74頁75對(duì)于問題（I），能夠直接采用分離變量法求解。代入有由邊界條件有由此得到下面兩個(gè)常微分方程第75頁第75頁76易求得特性值和特性函數(shù)為：代入含T方程有第76頁第76頁77它通解為從而問題（I）解可表示為其中Cn由初始條件擬定為第77頁第77頁78故所求解V（1）(x,t）為對(duì)于問題（II），能夠用特性函數(shù)法求解，將方程自由項(xiàng)及解都按特性函數(shù)系來展開。第78頁第78頁79其中vn(t)滿足由此可解得第79頁第79頁80從而問題（II）解為原方程解為第80頁第80頁本章小結(jié)分離變量法關(guān)鍵：偏微分方程常微分方程（1）基礎(chǔ)齊次方程+齊次邊界條件（直接變量分離法求解