回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1、稱為樣本點(diǎn)的中心9/18/202213.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué) 選修2-3求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫(huà)“從整體上看各點(diǎn)與此直線的距離和最小” .9/18/20222選 變 量畫(huà)散點(diǎn)圖選 模 型(線性)估計(jì)參數(shù)(a,b)分析和預(yù)測(cè)建立回歸模型的基本步驟通過(guò)散點(diǎn)圖,可直觀地分析和了解兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系,以確定回歸模型通過(guò)分析相關(guān)指數(shù)、隨機(jī)誤差（殘差圖），評(píng)價(jià)模型的好壞，進(jìn)行預(yù)報(bào)這也就是回歸分析的基本思想9/18/20223最小二乘法估計(jì)公式:探究1：你能推導(dǎo)出著兩個(gè)計(jì)算公式嗎？(推導(dǎo)思路見(jiàn)下一片；推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)課本)回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心！對(duì)于一組具有線性

2、相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù):(x1,y1), (x2,y2), , (xn,yn), 我們知道其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：4(xi,yi )5(xi,yi )69/18/202279/18/20228后兩項(xiàng)與,無(wú)關(guān)前兩項(xiàng)均為正且與,有關(guān)此項(xiàng)為0,Q有最小值.9/18/202299/18/202210 2008年5月，中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于加強(qiáng)青少年體育、增強(qiáng)青少年體質(zhì)的意見(jiàn)指出城市超重和肥胖青少年的比例明顯增加. “身高標(biāo)準(zhǔn)體重”該指標(biāo)對(duì)于學(xué)生形成正確的身體形態(tài)觀具有非常直觀的教育作用. “身高標(biāo)準(zhǔn)體重”從何而來(lái)？我們?cè)鯓尤パ芯?1.創(chuàng)設(shè)情境：例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，

3、其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示：編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重.問(wèn)題呈現(xiàn)：女大學(xué)生的身高與體重分析：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖可以看出，樣本點(diǎn)呈現(xiàn)條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫(huà)它們之間的關(guān)系.3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系.解：1.由于問(wèn)題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因

4、此選取身高為自變量x，體重為因變量y3.用公式求出回歸方程：2. 畫(huà)散點(diǎn)圖；本例中, 可求得r=0.7980.75這表明體重與身高有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義的.身高172cm女大學(xué)生可以預(yù)報(bào)其體重為:所以回歸方程為:對(duì)回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)探究2：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg.下圖中的樣本點(diǎn)和回歸直線的相互位置說(shuō)明了這一點(diǎn).由于樣本點(diǎn)不在同一條直線上，只是散布在某一條直線附近，所以身高與體重的關(guān)系可用

5、線性回歸模型:y=bx+a+e, (3) 來(lái)表示，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e是y與bx+a之間的誤差.通常e為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差(random error),即e稱為隨機(jī)誤差.它的均值E(e)=0,方差D(e)=2.這樣線性回歸模型的完整表達(dá)式為：一般假定均值為0,即期望各點(diǎn)都在直線y=bx+a上.真實(shí)值a,b,y思考：產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因(主要來(lái)源)是什么？一個(gè)人的體重除了受身高的影響外，還受其他許多因素的影響.其主要來(lái)源是(誤差越小,回歸模型的擬合效果越好！)(1)用線性回歸模型近似真實(shí)模型(真實(shí)模型是客觀存在的，只是通常我們不知道真實(shí)模型到底是什么)所引起的誤差.另外可能存在非線

6、性的函數(shù)能夠更好地描述y與x之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性函數(shù)來(lái)表達(dá)這種關(guān)系，結(jié)果就會(huì)產(chǎn)生誤差.這種由于模型近似所引起的誤差都包含在e中.(2)忽略了某些因素的影響.因?yàn)橛绊懽兞縴的因素不只是變量x一個(gè).例如:遺傳因素、飲食習(xí)慣、是否喜歡運(yùn)動(dòng)等，所引起的誤差都包含在e中.(3)觀測(cè)誤差.由于測(cè)量工具等原因造成度量誤差也包含在e中.事實(shí)上，我們無(wú)法知道身高和體重之間的確切關(guān)系是什么，這里只是利用線性回歸方程來(lái)近似這種關(guān)系.這種近似以及上面提到的影響因素都是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.探究3：在線性回歸模型中，e是用bx+a預(yù)報(bào)真實(shí)值y的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，那么怎樣研究隨機(jī)誤差呢？是真實(shí)值與估

7、計(jì)值的差！思考：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤？如何衡量模型的擬合效果？即在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該盡量選擇 R2 大的回歸模型.例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753解：例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞.價(jià)格x1416182022需求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好.00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問(wèn)題：1、回歸方程只適用

8、于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；3、樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。 事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值。這些問(wèn)題也使用于其他問(wèn)題。涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：模型適用的總體；模型的時(shí)間性；樣本的取值范圍對(duì)模型的影響；模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。小結(jié):假設(shè) 1:身高和隨機(jī)誤差的不同不會(huì)對(duì)體重產(chǎn)生任何影響， 54.554.554.554.554.554.554.554.5體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號(hào)54.5kg探究3：在線性回歸模型中，e是用bx+

9、a預(yù)報(bào)真實(shí)值y的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，那么怎樣研究隨機(jī)誤差呢？5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號(hào) 例如，編號(hào)為6的女大學(xué)生的體重并沒(méi)有落在水平直線上，她的體重為61kg。解釋變量（身高）和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是解釋變量和隨機(jī)誤差的組合效應(yīng)。用這種方法可以對(duì)所有預(yù)報(bào)變量計(jì)算組合效應(yīng)。數(shù)學(xué)上，把每個(gè)效應(yīng)（觀測(cè)值減去總的平均值）的平方加起來(lái)，即用表示總的效應(yīng)，稱為總偏差平方和。5943616454505748體重/kg17015516

10、5175170157165165身高/cm87654321編號(hào) 假設(shè)2:隨機(jī)誤差對(duì)體重沒(méi)有影響，也就是說(shuō)，體重僅受身高的影響，那么散點(diǎn)圖中所有的點(diǎn)將完全落在回歸直線上。 怎樣研究隨機(jī)誤差？ 因此，數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱 為殘差。例如，編號(hào)為6的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為：對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得的值平方后加起來(lái)，用數(shù)學(xué)符號(hào)稱為殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。表示為：我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是如何衡量預(yù)報(bào)的精度？顯然，R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型擬合效果越好。 如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾

11、種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過(guò)比較R2的值來(lái)做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。3.分析方程回歸效果的常用方法（1）相關(guān)指數(shù)：該法主要從量上清楚地反映解釋變量與預(yù)報(bào)變量間的效應(yīng).（2）殘差圖：該法主要從圖上直觀地分析點(diǎn)的分布情況,看一下樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的擬合效果.只通過(guò)圖形判斷，無(wú)法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度！學(xué)以致用：1、在對(duì)兩個(gè)變量，進(jìn)行線性回歸分析時(shí)有下列步驟：對(duì)所求出的回歸方程作出解釋，收集數(shù)據(jù)（，）求線性回歸方程，求相關(guān)系數(shù)，根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖如果根據(jù)可靠性要求能夠作出變量，具有線性相關(guān)結(jié)論，則在下列操作順序中正確的是（）學(xué)以致用：2、對(duì)于相關(guān)指數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）、的取植越小，模型擬合效果越好、的取值可以是任意大，且取值越大擬合效果越好、的取值越接近，模型擬合效果越好、以上答案都不對(duì)學(xué)以致用：3、甲、乙、丙，丁四位同學(xué)各自對(duì)，兩變量的線性相關(guān)性做實(shí)驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：則哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)，兩變量有