高中數(shù)競(jìng)賽專題之?dāng)?shù)列

1、- 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題之?dāng)?shù)列 一,數(shù)列的性質(zhì) 等差數(shù)列與等比數(shù)列是中學(xué)階段的兩種重要數(shù)列, 主要性質(zhì)及內(nèi)容對(duì)比爭(zhēng)辯如下： 也是各年高考, 競(jìng)賽的重點(diǎn), 現(xiàn)將它們的 性質(zhì) 1：如 a1 , a2 , , a n , 是等差（等比）數(shù)列,那么 ai , ai j , , ai kj , 仍是等差（等 比）數(shù)列； k k j l,那么 k ailk ajl （腳標(biāo)和相同就對(duì)應(yīng)的 性質(zhì) 2：如 an 為等差數(shù)列,且 i ll 1 l 1 l 1 l 1 k a jl （腳標(biāo)和相同就對(duì) k i lk j l,那么 k ail 項(xiàng)的和相同）；如 an 為等比數(shù)列,且 應(yīng)的項(xiàng)的積相同） ； l 1 l 1 l

2、 1 l 1 性質(zhì) 3：如 an 為等差數(shù)列,記 S1 k k k ai , S 2 ai k, , Sm ai m 1 k , ,那么 Sm 仍為等差數(shù)列, an 為等比數(shù)列, i 1 i 1 i 1 , Pm k ai m 1 k , 記 P1 k ai , P2 k ai k , l 1 l 1 l 1 那么 Pm 仍為等比數(shù)列； 性質(zhì) 4：如 an 為等比數(shù)列,公比為 q,且 |q| 1,就 lim S n a1 ； 2n , n 1 q 例 1,如 an , b n 為等差數(shù)列,其前 n項(xiàng)和分別為 Sn ,Tn ,如 Sn Tn 3n 1 ） 就 lim an （ ） B. 6 C.

3、 2 D. 4 n bn 3 3 9 例 2,等差數(shù)列 an 的前 m 項(xiàng)和為 30 ,前 2m 項(xiàng)和為 100 ,就它的前 3m 項(xiàng)的和為（ B. 170 C. 210 例 3, an , bn 為等差數(shù)列,其前 n 項(xiàng)和分別為 Sn ,Tn ,如 Sn 3n 31 Tn 31n 3 b28 （1）求 的值, （ 2）求使 bn 為整數(shù)的全部正整數(shù) n； a 28 a n 第 1 頁(yè),共 11 頁(yè)- - 例 4,在等差數(shù)列 an 中,如 a10 0 ,就有等式 a1 a 2 an a1 a2 a19 n , n 19, n N 成立,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地： 在等比數(shù)列 b n 中,如 b9

4、1,就有等式 成立； 例 5,一個(gè)正數(shù),其小數(shù)部分,整數(shù)部分和其本身成等比數(shù)列,就該數(shù)為 ； 只取 0 或 例 6,設(shè) 十進(jìn)制） 位純小數(shù) 0. | 1, 1,2, , 1 , M n n a1 a2 an ai i n an Tn 是 M n 的元素個(gè)數(shù), Sn 是全部元素的和,就 lim Sn ； n Tn 例 7,設(shè) A=1,2, . n, Sn 是 A 的全部非空真子集元素的和, Bn 表示 A 的子集個(gè)數(shù),求 Sn lim 2 的值； n n B n 例 8 , 設(shè) 數(shù) 列 an 的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn 2an 1, n 1,2, , 數(shù) 列 b n 滿 足 b1 3, bk 1

5、 ak bk , k 1,2, ,求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和； 方法：第一找出 a n 的通項(xiàng)式,在找出 b n 的通項(xiàng)式 2 2 2 例 9,設(shè) an 為等差數(shù)列, bn 為等比數(shù)列,且 b1 a1 , b2 a2 , b3 a3 , a1 a2 , 又 lim b 1 b2 bn 2 1 ,試求 an 的通項(xiàng)公式； n 例 10 ,設(shè) Sn 是等差數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和,且 Sn 3an 1, n N ,數(shù)列 bn 的通項(xiàng) 2 式為 bn 4n 3, （ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式, （ 2）如 d a1 , a2 , an , b 1 , b 2 , b n , ,就稱 d 為

6、數(shù)列 an 與 b n 的公共項(xiàng), 按它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后次序排成一個(gè)新的數(shù)列 d ,證明： d 的通項(xiàng)公式為 d n 32n 1 , n N ； 第 2 頁(yè),共 11 頁(yè)- - 例 11 , n 2n 4 個(gè)正數(shù)排成 n 行 n 列： a11 , a 12 , a 13 , a1n a 21 , a 22 , a 23 a2n a , a , a , a n1 n2 n3 nn 其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,并且全部的公比相等,已知 a24 1, a 42 1 , a 43 3 ,求 a11 + a22 + a 33 + ann 的值； 8 16 作業(yè)： 1,將正奇數(shù)集合

7、1 ,3, 5, . 由小到大按 n 組有 2n-1 個(gè)奇數(shù)進(jìn)行分組： 1 ,3 , 5, 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 . .,就 1991 位于 組中； 2 , 在 等 差 數(shù) 列 an 中 , 公 差 d 0 , a2 是 a1 與 a4 的 等 比 中 項(xiàng) , 已 知 數(shù) 列 a1 , a 3 , ak1 , ak 2 , , a kn , 成等比數(shù)列,求數(shù)列 kn 的通項(xiàng)公式； 2 3,設(shè)正數(shù)數(shù)列 an 中意 2 S n an 1,bn an 2an 3 ,（ 1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式, （ 2）設(shè) M am 2 bn 2 m2 n2 2am bn mn ,

8、試求 M 的最小值； 二,數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法在確定程度上考察了以下才能： （ 1）從整體上直接領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的才能； （ 2）從數(shù)學(xué)問(wèn)題,數(shù)式結(jié)構(gòu),數(shù)式關(guān)系中洞悉對(duì)象本質(zhì)的才能； （ 3 ）從解題思路和問(wèn)題結(jié)果中 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的才能； 第一數(shù)學(xué)歸納法： 設(shè) Tn 是一個(gè)關(guān)于自然數(shù) n 的命題, 中意以下條件：（ 1 ） T 1 是成立的, （ 2）假設(shè) T k 成立能推出 T k 1 成立,就命題對(duì)一切自然數(shù) n 都成立； 其次數(shù)學(xué)歸納法： 設(shè) Tn 是一個(gè)關(guān)于自然數(shù) n 的命題, 中意以下條件：（ 1 ） T 1 是成立的, （ 2）假設(shè) T 1 ,T 2 ,. T k 成立能推出 T

9、 k 1 成立,就命題對(duì)一切自然數(shù) n 都成立； 解題思維過(guò)程：嘗試觀看歸納,猜想證明,即從特殊關(guān)系中概括一般規(guī)律, 建立猜想,給出嚴(yán)格證明； 第 3 頁(yè),共 11 頁(yè)- - 解題策略：從數(shù)學(xué)問(wèn)題,數(shù)式結(jié)構(gòu),數(shù)式關(guān)系,解題思路和問(wèn)題結(jié)果等特點(diǎn)去摸索問(wèn)題； 例 1,已知對(duì)任意自然數(shù) n n ,求證 an n （ 1989 年高中） n,有 an 0 且 a3j a 2例 2,用 Sn 表示 1,2,3, j 1 j 1 1 4 n2 2n 的各數(shù)的最大奇數(shù)因子之和,求證：Sn3 例 3,設(shè) an 是正數(shù)數(shù)列且中意 Sn 1 an1 ,求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式； 2 an 方法：嘗試觀看歸納,猜想

10、證明 例 4,已知數(shù)列 xn 中意： x1 1,當(dāng) n 1 時(shí), 有 4 x1 xn 2x2 xn 13x 3 xn 2 nxn x 1） n 1 x 1 x 2 x 2 x3 xn xn 1 ,試求 數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式；方法：嘗試觀看歸納,猜想證明 例 5 ,一個(gè)數(shù)列 V n 定義如下： V0 2, V 1 5,Vn 1 2 Vn Vn12 V 1 , n 1 ,證明： 2 1 2 n 1 n 對(duì)于自然數(shù) n,有 Vn 2方法：變化形式 3；這里 V n 表示不超過(guò) V n 的最大整數(shù)；（ IMO18-6 ） 例 6,設(shè)數(shù)列 an 中意： a1 1 a, a n 1 1 a ,這里 0

11、a 1 ,求證：對(duì)全部的自然 an 數(shù) n,有 an 1 ；（ 1977 年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克） an 1 , 例 7,已知 a1 , a2 , an 是 n 個(gè)正數(shù)且中意 a1 a2 求證： （ 2 a 1）（ 2 a2）（ 2 a n） 3 n ,試證：對(duì)每一個(gè)自然數(shù) n,有 例 8,已知 a, b 是正實(shí)數(shù),且中意 111 a b a b na nbn 2 2 n 2n 1第 4 頁(yè),共 11 頁(yè)- - 三,遞推數(shù)列,熱點(diǎn)問(wèn)題是求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式 1,轉(zhuǎn)化：最常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化為等差（等比）數(shù)列的通式和求和 類型： ,化歸成 （ 1） an aa n 1 b an a an 1 型； （ 2

12、） an 1 can d b n,化歸成 an b n can 1 b n 1 型； （ 3） an ca n 1 d b n r ,化歸成 an bn u ca n 1 bn 1 u 型； （ 4） an pan 1 cn d ,化歸成 a n n u pa n 1 n 1 u 型； （ 5） an ca n 1 ,化歸成 1 1 d 型； da n 1 c an an 1 c （ 6） an pa n 1 qa n 2 型 例 1,已知數(shù)列 xn 中意： x1 1, xn xn 1 ,且 4x n xn 1 xn x n 1 1 ,試求數(shù)列 xn 2的通項(xiàng)公式；方法：開(kāi)方轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列的形

13、式 例 2,設(shè)數(shù)列 an 中意： a1 1, an 1 3an 4 ,求 a n 的通項(xiàng)公式； 例 3,設(shè)數(shù)列 an 中意： a1 a2 1, a n 21 an , n 1,2, ,求 a2022 ；an 1 例 4,設(shè)數(shù)列 an 中意： a1 1, n 1 an 1 a nn ,求 a2022 ； 2,變換（代換） ：三角代換,代數(shù)代換 例 1,已知 a0 a1 2 , a n 1 a n 1 ,求 an ；方法：觀看特點(diǎn),聯(lián)想到正切公式 例 2,數(shù)列 an 中意： 1 a n 1 1, a n 1 11 4a n 1 24a n ,求 an 16 方法：含根式,通過(guò)代換轉(zhuǎn)化為不含根式的遞

14、推式 例 3,設(shè) a1 , a2 , an 中意關(guān)系式 （3 a n 1 6 an 18, 且 a0 3 ,就 n 1 i 0 ai 第 5 頁(yè),共 11 頁(yè)- - 方法：倒數(shù)關(guān)系不易求解,通過(guò)代換轉(zhuǎn)化為熟識(shí)的形式 例 4,給定正整數(shù) n 和正數(shù) M ,對(duì)于中意條件： a12an2 1 M 的全部等差數(shù)列 a1 , a 2 , an , 試求 S an 1 an 2 a2 n 1 的最大值；方法：依據(jù)特點(diǎn),三角代換 3,特點(diǎn)方程及特點(diǎn)根求解遞推式 對(duì)于二階線性遞推數(shù)列數(shù)列 xn 中意： xn 2 ax n 1 bxn 0 .（ 1）其中 a,b 為常數(shù),如 有等比數(shù)列 x n 中意等式（ 1）

15、,就 x 必中意相應(yīng)的方程： f x x 2 ax b 0 . （. 2）, 稱此方程（ 2 ）為（ 1）的特點(diǎn)方程； 數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式與特點(diǎn)方程的根有如下關(guān)系： a 2 b 2 q1 , q2 q n 2 n 1當(dāng) 4 0 時(shí),方程（ ）有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根 ,就數(shù)列 , q 均是（ ） 的解,并且對(duì)任意常數(shù) c1 , c2 有 c1 q1 n c2 q2 n 也是（ 1）的解（通解）, c1 , c 2 由初值確定； 當(dāng) a2 4 0 b 時(shí),方程（ 2）有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 q 1 q 2 ,就數(shù)列 q 1 n , nq1 n 均是（ 1） 的解,并且對(duì)任意常數(shù) c 1 , c2 有

16、 c 1q1 n c2 nq 1 也是（ 1）的解（通解）, c1 , c 2 由初值確定； na 2 b 2 q1 , q2 q1 n 2 n 1當(dāng) 4 0 時(shí),方程（ ）有兩個(gè)共軛復(fù)根 ,就數(shù)列 , q 均是（ ）的解, 并且對(duì)任意常數(shù) c1 , c 2 有 c 1q1n c2 q2 也是（ 1）的解（通解） , c1 , c2 由初值確定； n例 1, 求斐波那鍥數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式： x0 x1 1, x n 2xn 1xn ； 方法：利用特點(diǎn)方程求解 注：設(shè)數(shù)列 x n 是 k 階線性遞推數(shù)列, 其特點(diǎn)方程為 f x 0 ,設(shè)其前 n 項(xiàng)的和 Sn ,就 Sn 是 k+1 階線性遞

17、推數(shù)列,其特點(diǎn)方程為 x 1 f x 10 3xn 2 , n 3 ,求此數(shù)列的前 n 項(xiàng) 例 2,已知數(shù)列 xn 中意： x1 1, x 2 7, xn 2x n 和； 第 6 頁(yè),共 11 頁(yè)- - 例 3,設(shè)數(shù)列 an , bn 中意： a0 1, b 0 0 且 an 1 7an 6b n 3 （ n 0 , bn 1 8an 7bn 4 求證： an 是完全平方數(shù)（ n=0,1,2, .）方法：將其轉(zhuǎn)化為只與 an 有關(guān)的遞推式 4,利用函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)原理求解數(shù)列通項(xiàng)公式 定理 1：設(shè) f x ax b, a 0,1 ,數(shù)列 an 由初始值 a0 f x 0 及 an f an 1 確定

18、, 那么當(dāng)且僅當(dāng) x0 是 f x 的不動(dòng)點(diǎn)時(shí),數(shù)列 a n x0 是公比為 a 的等比數(shù)列； 定理 2：設(shè) f x ax bc 0, ad bc 0 數(shù)列 an 由遞推關(guān)系 an f an 1 確定, cx d 設(shè)函數(shù) f x 有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn) x 1 , x 2 ,就： an x1 a cx 1 （ 1）當(dāng) x1 x2 時(shí),就數(shù)列 是等比數(shù)列,公比為 ； an x2 a cx2 （ 2）當(dāng) x1 x2 時(shí),就數(shù)列 1 是等差數(shù)列,公差為 2c ； an x1 a d 例 1,設(shè)數(shù)列 an 中意： 2 an a n1 1, n N ,求證： lim a n 1 ； n 例 2 ,設(shè)數(shù)列 an 中

19、意： 3a n 1a n 4, n 1, a 19 ,前 n項(xiàng)和為 S n ,就中意不等式 | Sn n 6 | 1 的最小整數(shù) n= ； 125 例 3,設(shè)正數(shù)列 a1 , a2 , a n 中意 a a a an n 2 n 1 n 2 2 an 1 , 2 ,且 a0 a 1 1 , n 求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；方法：變形,轉(zhuǎn)化形成熟識(shí)結(jié)構(gòu) 例 4,運(yùn)動(dòng)會(huì)連續(xù)開(kāi)了 n 天,一共發(fā)了 m 枚獎(jiǎng)牌,第一天發(fā) 1 枚加上剩下的 1,其次天發(fā) 2枚加上剩下的 1,以后每天均按此規(guī)律發(fā)放獎(jiǎng)牌,在最終一天,即第 7 n 天發(fā) n 枚而無(wú)剩余, 7第 7 頁(yè),共 11 頁(yè)- - 問(wèn)運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)了幾天？

20、共發(fā)多少枚獎(jiǎng)牌？ 5,利用高階差分?jǐn)?shù)列求數(shù)列通式 定義 1：（差分?jǐn)?shù)列）對(duì)于數(shù)列 an ,稱 a n a n 1 a n n 1,2,3 為 an 的一階差分, a n 為 數(shù) 列 a n 的 的 一 階 差 分 數(shù) 列 ； 數(shù) 列 a n 的一階差分： 2anan 1 an n 1,2,3 ,稱 2 an 為數(shù)列 an 的的二階差分?jǐn)?shù)列； 一般地,稱 k an k 1 an 1 k 1 an n 1,2,3 為 a n 的 k 階差分,稱 k an 為數(shù)列 an 的的 k 階差分?jǐn)?shù)列； 例 1,求數(shù)列 0 , 1 ,4, 11 , 26 , 57 , . 的通項(xiàng)公式； 例 2,求數(shù)列 -2

21、, 1 , 7, 16, 28 ,. 的通項(xiàng)公式； 定義 2（高階等差數(shù)列）如數(shù)列 an 的的 k 階差分?jǐn)?shù)列 ka n 是一個(gè)非零常數(shù)列,而 k+1 階差分?jǐn)?shù)列 k 1 an 是一個(gè)零常數(shù)列,就稱 an 的的 k 階等差數(shù)列； m 定理 1：設(shè) an 是 m階等差數(shù)列,就 an Cn i1 ia1 ,商定 C nm0, m n ； i 0 定理 2：數(shù)列 an 是 m 階等差數(shù)列的充要條件是 na n是一個(gè)關(guān)于 n 的 m 次多項(xiàng)式； 定理 3,數(shù)列 an 是 m 階等差數(shù)列,它的前 項(xiàng)之和為 Sn ,就 Sn 是 m+1 階等差數(shù)列, m 1 且 Sn C ni i a1 i 1 n 例

22、3,求 k 4的求和公式,并給出證明； 1, 其中 an 0, f n 為關(guān)于 n 的函數(shù), 就此一 k 1 定理 4 ：給定 a1 ,且 an 1an f n, n 階非線性齊次遞推數(shù)列所確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式為： n 1 a1 n n 1 f k k 1 k 1 例 4,已知數(shù)列 an 中意： a1 1, a n 2a n 1 n 2, n 2 ,求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式； 第 8 頁(yè),共 11 頁(yè)- - 例 5,已知數(shù)列 an 中意： a1 1, a n 1 2an n2 ,求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式； 四,數(shù)列的性質(zhì)（反證法,周期性,有界性,整數(shù)性） 1,數(shù)列中的反證法問(wèn)題 例 1,設(shè)等差數(shù)列 a n 包含 1 和 2 ,證明：數(shù)列 a n 中任意三項(xiàng)均不構(gòu)成等比數(shù)列； 例 2,設(shè) f n 是定義在自然數(shù)集且取自然數(shù)值的嚴(yán)格遞增函數(shù), f 2 2 ,當(dāng) m, n 互質(zhì)時(shí), 有 f mn f m f n ,求證：對(duì)任意自然數(shù) 1n,都有 f n n ； ,求證：對(duì)一切自然數(shù) 例 3,數(shù)列 an 為正數(shù)數(shù)列,中意條件 （ ak k a k 1, k 1,2, k, ak