2021-2022學(xué)年湖南省岳陽市數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 的取值范圍是（ ）A（0，+）B（0，1）C（，0）D（0，）2如圖，正方體，則下列四個(gè)命題：點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，直線與直線所成角的大小不變點(diǎn)

2、在直線上運(yùn)動時(shí)，直線與平面所成角的大小不變點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，二面角的大小不變點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，三棱錐的體積不變其中的真命題是 （ ）ABCD3已知函數(shù),則下面對函數(shù)的描述正確的是（ ）ABCD4執(zhí)行如圖程序框圖，若輸入的，分別為12，20，則輸出的（ ）A2B3C4D55已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則，的大小關(guān)系為（ ）ABCD6已知關(guān)于的方程，若對任意的，該方程總存在唯一的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD7已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD8函數(shù)的圖像大致為 ()ABCD9下列說法中， 正確說法的個(gè)數(shù)是（ ）在用列聯(lián)表分析兩個(gè)

3、分類變量與之間的關(guān)系時(shí)，隨機(jī)變量的觀測值越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和 0.3已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若，則A0B1C2D310已知，則的最小值是A BCD11命題“ ， ”的否定為()ABC ，D，12已知為非零不共線向量，設(shè)條件，條件對一切，不等式恒成立，則是的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)fx=axlnx,x0,+，其中a為實(shí)數(shù)，fx為fx的導(dǎo)函數(shù)，14已知，則方程

4、恰有2個(gè)不同的實(shí)根，實(shí)數(shù)取值范圍_.15不等式的解集是_.16已知，則=_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）設(shè)是等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，求的最小值.18（12分）羽毛球比賽中采用每球得分制，即每回合中勝方得1分，負(fù)方得0分，每回合由上回合的勝方發(fā)球設(shè)在甲、乙的比賽中，每回合發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各回合發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立若在一局比賽中，甲先發(fā)球（1）求比賽進(jìn)行3個(gè)回合后，甲與乙的比分為的概率；（2）表示3個(gè)回合后乙的得分，求的分布列與數(shù)學(xué)期望19（12分）已知點(diǎn)A是橢圓的上頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓E

5、于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在橢圓E上，且；（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.20（12分）已知函數(shù).（1）若，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，證明：，.21（12分）如圖四棱錐中，底面是正方形，且，為中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值22（10分）已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，且與拋物線的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，求的最小值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由方程的解與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)系得：方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于的圖象與的圖象

6、有5個(gè)交點(diǎn)，作圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)即可。利用導(dǎo)數(shù)求過某點(diǎn)的切線方程得：過原點(diǎn)的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，得解【詳解】設(shè)，則的圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)的圖象與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)即可，設(shè)過原點(diǎn)的直線與切于點(diǎn)，由，則過原點(diǎn)的直線與相切，又此直線過點(diǎn)，所以，所以，即（e），即過原點(diǎn)的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的關(guān)系應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程。2、D【解析】由與平面的位置關(guān)系判斷直線與直線所成角的大小變化情況；考慮與平面所

7、成角的大小，然后判斷直線與平面所成角的大小是否不變；根據(jù)以及二面角的定義判斷二面角的大小是否不變；根據(jù)線面平行的性質(zhì)以及三棱錐的體積計(jì)算公式判斷三棱錐的體積是否不變.【詳解】如下圖，連接，因?yàn)?，所以平面，所以，所以直線與直線所成角的大小不變；如下圖，連接，記到平面的距離為，設(shè)正方體棱長為，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以與平面所成角的正弦值為：，又因?yàn)椋?，所以所以與平面所成角的正弦值為：，顯然，所以直線與平面所成角的大小在變化；因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，又在直線上，所以二面角的大小不變；因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，所以?dāng)在上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)到平面的距離不變，所以三棱錐的體積不變.所以真命題有：.故選：D

8、.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷，難度一般.(1)已知直線平行平面，則該直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等；(2)線面角的計(jì)算方法：作出線段的射影，計(jì)算出射影長度，利用比值關(guān)系即可求解線面角的大?。挥?jì)算線段在平面外的一個(gè)端點(diǎn)到平面的距離，該距離比上線段長度即為線面角的正弦.3、B【解析】分析：首先對函數(shù)求導(dǎo)，可以得到其導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理，可以將其零點(diǎn)限定在某個(gè)區(qū)間上，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值所滿足的條件，利用不等式的傳遞性求得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以，?dǎo)函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以在上有唯一的實(shí)根，設(shè)為，且，則為的最小值點(diǎn)，且，即，故，故選B.點(diǎn)睛：該題考

9、查的是有關(guān)函數(shù)最值的范圍，首先應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而此時(shí)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是無法求出確切值的，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理，將導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)限定在某個(gè)范圍內(nèi)，再根據(jù)不等式的傳遞性求得結(jié)果.4、C【解析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算當(dāng)前的值，即可得出結(jié)論【詳解】解：由，則.由，則.由，則.由，則輸出故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了算法和程序框圖的應(yīng)用問題，也考查了古代數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題5、B【解析】利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得，距離y軸近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值較小，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，所以可知距離y軸近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值較??；，且，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主

10、要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).6、B【解析】 由成立，得， 設(shè)，則 則時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 且， 使得對于任意，對任意的，方程存在唯一的解， 則，即，即， 所以，所以實(shí)數(shù)得取值范圍是，故選B 點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，其中解得中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和函數(shù)與方程等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，試題有一定的難度，屬于難題，解答中把方程存在唯一的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵7、B【解析】因?yàn)?，所以，由正弦函?shù)的單調(diào)性可得，即，也即，所以，應(yīng)選答案B。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是將函數(shù)看做正弦函數(shù)，然后借助正

11、弦函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)之間的大小關(guān)系建立不等式組，最后通過解不等式組使得問題巧妙獲解。8、B【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù) 9、D【解析】對題目中的三個(gè)命題判斷正誤，即可得出結(jié)論【詳解】解：對于，分類變量A與B的隨機(jī)變量K2越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大，正確

12、；對于，以模型ycekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)zlny，由ycekx，兩邊取對數(shù)，可得lnyln（cekx）lnc+lnekxlnc+kx，令zlny，可得zlnc+kx，又z0.3x+4，lnc4，k0.3，ce4，正確；對于，根據(jù)回歸直線方程為ya+bx，ab3211，正確；綜上，正確的命題為，共3個(gè)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，隨機(jī)變量K2的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題10、B【解析】將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開后利用基本不等式求出代數(shù)式的最小值，然后在不等式兩邊同時(shí)除以可得出答案【詳解】因?yàn)?，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，故選B【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，在

13、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意配湊“定值”的條件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的應(yīng)用11、A【解析】分析：全稱命題的否定是特稱命題，直接寫出結(jié)果即可詳解：全稱命題的否定是特稱命題，命題“x2，+），x+31”的否定是x02，+），x0+31，故選：A點(diǎn)睛：本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的關(guān)系，基本知識的考查，注意命題的否定與否命題的區(qū)別命題的否定是既否結(jié)論，又否條件；否命題是只否結(jié)論.12、C【解析】條件M：條件N：對一切，不等式成立，化為：進(jìn)而判斷出結(jié)論【詳解】條件M：條件N：對一切，不等式成立，化為：因?yàn)?，即，可知：由M推出N，反之也成立故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)

14、算性質(zhì)、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】試題分析：f(x)=alnx+a，所以考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】(1)在解答過程中常見的錯(cuò)誤有：商的求導(dǎo)中，符號判定錯(cuò)誤不能正確運(yùn)用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)注意：求導(dǎo)之前利用代數(shù)或三角變換先進(jìn)行化簡，減少運(yùn)算量根式形式，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元處理14、【解析】將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并作出函數(shù)的圖象，考查當(dāng)直線與曲線相切以及直線與直線平行這兩種臨界位置情況，

15、結(jié)合斜率的變化得出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】問題等價(jià)于當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍作出函數(shù)的圖象如下圖所示：先考慮直線與曲線相切時(shí)，的取值，設(shè)切點(diǎn)為，對函數(shù)求導(dǎo)得，切線方程為，即，則有，解得.由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象沒有公共點(diǎn)，在有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象沒有公共點(diǎn)，在有兩個(gè)公共點(diǎn)，合乎題意；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，在有兩個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，在沒有公共點(diǎn)，不合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，或

16、者利用參變量分離轉(zhuǎn)化為參數(shù)直線與定函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，若轉(zhuǎn)化為直線（不恒與軸垂直）與定函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，則需抓住直線與曲線相切這些臨界位置，利用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行分析，考查分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于難題15、【解析】直接去掉絕對值即可得解.【詳解】由去絕對值可得即，故不等式的解集是.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】首先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再由即可得【詳解】，則，【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）利用等差數(shù)列通

17、項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程求出，由此能求出的通項(xiàng)公式（2）由，求出的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化求解的最小值【詳解】解：（1）是等差數(shù)列，且，成等比數(shù)列，解得，（2）由，得：，或時(shí)，取最小值【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和的最小值的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題18、（1）0.1（2）見解析【解析】（1）記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨(dú)立，設(shè)“2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，由互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件乘法公式求出比賽進(jìn)行2個(gè)回合后，甲與乙的比分為2比1的概率；（2）的可能取值為0，1，2，2，分別求出相

18、應(yīng)的概率，由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨(dú)立（1）記“2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，則事件發(fā)生表示事件或或發(fā)生，且，互斥 又， 由互斥事件概率加法公式可得答：2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1的概率為0.1 （2）因表示2個(gè)回合后乙的得分，則0，1，2，2， 所以，隨機(jī)變量的概率分布列為01220.2160.10.2040.144故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為=答：的數(shù)學(xué)期望為1.276【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.19、（1） （2）證明見解析【解析】（1）由橢

19、圓對稱性確定直線斜率為1，斜率為-1，求出點(diǎn)坐標(biāo)后可得三角形面積；（2）由直線方程為求得點(diǎn)坐標(biāo)（橫坐標(biāo)即可），得，同理得（直線斜率為），利用得的方程，利用函數(shù)的知識（導(dǎo)數(shù)）證明此方程的解在區(qū)間上【詳解】（1）由橢圓對稱性知點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，且，由題意，方程為，于是可以設(shè)點(diǎn)其中，于是，解得，所以. （2）據(jù)題意，直線，聯(lián)立橢圓E，得：，即：，則，那么， 同理，知：， 由，得：，即：. 令，則， 所以單調(diào)增，又，故存在唯一零點(diǎn)，即.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相交中的三角形面積，考查求直線方程解題方法是求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出弦長，由弦長關(guān)系得關(guān)系式本題考查了運(yùn)算求解能力

20、20、（1）（2）見解析【解析】（1）將a的值代入f(x)，再求導(dǎo)得，在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)的最小值正負(fù)來判斷它的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）把a(bǔ)的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知其在定義域上的最小值，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證?！驹斀狻浚?）解：因?yàn)?，所?令，得或；令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.（2）證明：因?yàn)椋瑥亩?又因?yàn)?，所以要證，恒成立，即證，恒成立，即證，恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，所以，所以，恒成立，即，.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以