高數(shù)二下練習(xí)題答案完整版(全部)

1、高數(shù)二下練習(xí)題答案完整版(全部)、求無窮限積分（、求無窮限積分（）。_學(xué)院_專業(yè)班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_反常積分、定積分應(yīng)用（一）e過程略、求瑕積分。d=、求由曲線與所圍成圖形的面積。、求由曲線和直線，所圍成的平面圖或種不同的求法）、拋物線與其在點(diǎn)和處的切線所圍成的圖形的面積。解：過點(diǎn)的切線方程為線方程為，而過處的切故求的兩切線交點(diǎn)為為：，則所要求圖形的面,面積。解：由橢圓的對(duì)稱性，橢圓的面積可表示為：/2/2（簡單的計(jì)算過程略，希望同學(xué)們自行補(bǔ)充完成）、在上給定函數(shù)，問取何值時(shí)，右圖中曲邊三角形OACO與ADBA的面積之和最??？何時(shí)最大？Cd當(dāng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加Q,所以當(dāng)時(shí)，面積之

2、和最大，當(dāng)時(shí)，面積之和最小。,令或高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專業(yè)班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_定積分應(yīng)用（二）、求由曲線和圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：、分別求由曲線dd解：繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積+繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積、求由曲線和直線、所圍成的平面圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：d圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積dd、求曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積。（參考課本第頁（）的（）的做法，注意是按圓環(huán)體來分隔）解：圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積dddd、已知一拋物線過軸上的兩點(diǎn)：（）求證：兩坐標(biāo)軸與該拋物線所圍圖形（）求證：兩坐標(biāo)軸與該拋物線所圍圖形的面積等于軸與該拋物線所圍圖形的面積

3、。（軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積。，本題大家可以隨意選個(gè)非零的來做）,、求由曲線,，所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：（注意旋轉(zhuǎn)體界面圓C（萬元/臺(tái)），求：（）總成本函數(shù)和總的半徑是C（萬元/臺(tái)），求：（）總成本函數(shù)和總、設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本（萬元/臺(tái)）其中（）獲得最大利潤時(shí)的產(chǎn)量；）從（最大利潤時(shí)的產(chǎn)量又生產(chǎn)了臺(tái)，總利潤的變化。解：（）總成本函數(shù)為總收益函數(shù)為；（）由（當(dāng)可求得駐點(diǎn)為，而，因此當(dāng)產(chǎn)量臺(tái)時(shí)，獲得最利潤；（）.（略）高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專業(yè)班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_定積分綜合一、選擇題、設(shè)函數(shù)在,b上連續(xù)，則曲線與直線,b,所圍成的平面圖形的面積等于（C）（A）b（B）

4、b()（C）b、設(shè)I，I，、設(shè)I，I，I，則III（A）II（B）II（C）IIII（）III、設(shè)連續(xù)，()()，則B（A）（B）（C）（）、下列結(jié)果正確的是Bbbd（B）bbdbbbd（）b、設(shè)B，則在上（A）單調(diào)增加（B（C）有增有減（）無界、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則bbb=A（A）（B）（）（）b是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，則、若是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，則dt是B（A（B（C）非奇非偶函數(shù)（）既奇既偶函數(shù)、下列反常積分發(fā)散的有C（A）（B）（C）e（）、下列反常積分收斂的有（A（A）（B）（C）（）（A）g（B）、由曲線，g（A）g（B）線，b所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成立體的體積是Bbbg（C（C）gb（）b

5、g二、填空題、利用定積分的幾何意義，填寫下列定積分的結(jié)果：=、利用定積分的性質(zhì)，填寫下列各題：)dt3、設(shè)，則=。=。4、已知在,上連續(xù)，且，且設(shè)FF()()，則F-2。e)、設(shè)由、設(shè)由dtedt所確定，則。=6、設(shè)為連續(xù)函數(shù)且滿足()，則。、求下列定積分d=ee=、若反常積分收斂，、某廠生產(chǎn)的邊際成本函數(shù)、某廠生產(chǎn)的邊際成本函數(shù)，且固定成本C，則總成本函數(shù);當(dāng)產(chǎn)量由個(gè)單位增至個(gè)單位時(shí)，總成本的增量是。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專業(yè)班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_一階微分方程、求)的通解。解：原方程可化為積分，得ee)C（其中C為任意常數(shù)）令e，不難看出C為任意常數(shù)，故，方程的通解為常數(shù)）C)（C為任意、求微

6、分方程，滿足的特解。解：原方程可化為積分得常數(shù)即其中C為任意ee數(shù)，故原微分，令e，不難看出C為任意常意常數(shù)，當(dāng)時(shí)，其中C為任故滿足條件的方程的特解為、求微分方程的通解。解：方程可化為：所以dydyeee、微分方程的通解。程設(shè)則有uuudu對(duì)應(yīng)的通解為即（其中C為任意常數(shù)）當(dāng)上所述，微分方程的通解為（其中C為任意常數(shù)）的特解。、求微分方程的特解。解：令，則原微分方程變?yōu)閐u積分得u即（其中C為任意常數(shù)）由初始條件，代入上式，可求得，所由初始條件，代入上式，可求得，所以原微分方程在此初始條件下的特解為)6、求微分方程的通解。成其通解為（其中C為任意常數(shù)）由常數(shù)變易法，令原微分方程的通解形式為，則

7、，代入原微分方程，得，積分得其中C為任意常數(shù)。于是，所求微分方程的通解為（其中C為任意常數(shù)）、設(shè)dt。解：對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得，即且ee(C)當(dāng)時(shí)，代入上方程得C故()、巳知生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本是，生產(chǎn)單位的邊際成本與平均單位成本之差為：，且當(dāng)產(chǎn)量的數(shù)值等于時(shí)，相應(yīng)的總成本為，求總成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。ededed,rrrr，得特征根為解：特征方程為所以方程的通解二階微分方程、求方程的通解。rre、求微分方程)的通解，其中常數(shù)。解：特征方程為：rr，求得特征根所以方程的通解rr所以方程的通解rr，解得特征根為(CC)、求方程，的特解。解：特征方程為rr所以方程的通解為(CC)ee，C把故所求

8、方程滿足條件的解為2,Ce、求微分方程的一個(gè)特解。:,微分方程的一個(gè)特解為.、求微分方程的通解。eeee,、設(shè)函數(shù)求微分方程滿足初始條件的特解。非齊次微分方程的通解為ee非齊次微分方程的通解為ee特解為ee齊次微分方程的通解為e設(shè)非齊次微分方程的特解為e,代入微分方程得,eeQ當(dāng)時(shí),高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專業(yè)班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_微分方程綜合一、選擇題1、下列各微分方程中為一階線性微分方程的是（B）（A）（B）（C）（）()、滿足方程（B）dt的解是（A）e（B）e（C）C,C,C為、已知，CC任意常數(shù)是方程的解，則（B）（A（B）是方程的解，但不是通解（C（）不一定是方程的解、具有特解，的二階

9、常系數(shù)齊次線性方程是（B）（A）（B）（C）（）（C）、微分方程，（C）的特解是（A）（B）（C）e（）e中,b為常數(shù)）（）（A）（）b（B）b（C）、微分方程（）的特解應(yīng)設(shè)為（A）e（B）（C）（）e（C）（）ee、設(shè)微分方程有特解*，則它的通解是（A）（A）ee*（B）ee（C）CC*（）ee*二、填空題的通解是,的特解為、微分方程的特解為、微分方程、微分方程的通解為,其中C為任意常數(shù)、微分方程的通解是、微分方程的通解是C、微分方程的通解是e,和和的二階常系數(shù)齊次線性e、設(shè)、設(shè)為某方程的通解，其方程為其中，為待定常數(shù)(CC)e(),、方程e的特解可設(shè)為.、方程的特解可設(shè).的特解.的特解可設(shè)

10、、方程(，為待定常數(shù)),為.的特解可的特解可設(shè)e),(為.注意:特解的表達(dá)式里面出現(xiàn)的常數(shù)，可說成數(shù)”兩者都可以。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專業(yè)班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_空間解析幾何、多元函數(shù)概念和性質(zhì)一選擇題、方（）程表示（A）平面（B）柱面（C）球（）拋物面、函數(shù))的定義域（C）（A）（B）（C）（）、設(shè)（），且當(dāng)時(shí)，則=（A）（B）（C）（）、若(,)（B）)(，則,=（A）（B）（C）（）、球面：、球面：的球心是點(diǎn)二填空題(面上的半徑為，原點(diǎn)為圓心的圓，母線平行于軸的圓柱面、若一球面以點(diǎn)為球心且過原點(diǎn)，則其方程為_，半徑_4_；、的定義域、設(shè)函數(shù)(,)、的定義域、設(shè)函數(shù)(,)，則,，則,(，則,

11、(,)=()wu、已知,，則),三計(jì)算題、,(2,0)解：當(dāng),時(shí)，、則原式(,)(0,0)解：Q(原式,、,(0,0)e解：Q:原式,e,e注意：如何應(yīng)用變情形，利用一元函數(shù)的常見的等價(jià)無窮小來計(jì)算！考慮下什么情形下是安全的！高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專業(yè)班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及微分、設(shè)函數(shù))e，求。解：解：、求函數(shù)解：;由全微分公式dz則dz、設(shè)，而，u，求。uuu（注意，最后的答案應(yīng)寫成的形式，因要求的表達(dá)式默認(rèn)是，的函數(shù)?。?、設(shè)，求及dz。對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)整理可求得因此故的全微分可表示為：dzdz、設(shè)e，而，求dz。dt解：dzeee要特別注意上面式子在不同地方表示不同自變量的函數(shù)，如的

12、函數(shù)，的函數(shù)；這是把原來是的一元函數(shù)表示成是二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的情形、設(shè),，求，其中u,有二階偏導(dǎo)、設(shè)，求。解：,（注：下標(biāo)的表示對(duì)應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，參見課本例）解法一：方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)整理得上式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)、設(shè),由。所確定的函數(shù)，求解：方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)整理得因此高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專業(yè)班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_多元函數(shù)極值和最值)、求函數(shù))解：解方程、求函數(shù)解：由的極值點(diǎn)。得駐點(diǎn),，,求二階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)點(diǎn),:,對(duì)點(diǎn),:,故為極大值點(diǎn)。對(duì)點(diǎn):，不是極值點(diǎn).對(duì)點(diǎn)和點(diǎn)，故和都不是極值點(diǎn)；、求的極值。得駐點(diǎn),計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)地，故是極大值點(diǎn)，極大值為是極小值點(diǎn)，極小值為解法是極小值點(diǎn)，極小值為.解：解：駐點(diǎn)

13、為在處，點(diǎn)，為極大值在處，C在處，C不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)在處，C，為極小點(diǎn)，、設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要甲、乙兩種原料，已知甲種原料的價(jià)格為，乙種原料的價(jià)格為，而用單位的甲種原料和y單位的乙種原料可生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為，若該產(chǎn)品的單位價(jià)格為，試求最大利潤解：收入成本利潤L)LL,，LL，L，LL,工廠以最大利潤為目標(biāo)，求投放每個(gè)市,工廠以最大利潤為目標(biāo)，求投放每個(gè)市市場的需求情況不同，設(shè)價(jià)格函數(shù)分別為P，P，場的產(chǎn)量，并確定此時(shí)每個(gè)市場的價(jià)格解：總收入：P)總利潤：LC)L，不難驗(yàn)證為最大利潤對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)PP、某廠為促銷產(chǎn)品需作兩種手段的廣告宣，若銷售產(chǎn)品所得利潤L，兩種手段的廣告費(fèi)共千元，問如何分配兩種手

14、段的廣告費(fèi)才能使利潤最大？解：作函數(shù)F,FFF得F兩種廣告分別為（千元）和（千元）的時(shí)候使得利潤最大高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題二重積分、設(shè)區(qū)域由,所圍成，求()d。解：原式(X原式(X型累次積分()()原式(Y型累次積分()是由直線，及。解：原式（X原式（X型）()、設(shè)區(qū)域由。解：軸與曲線（）所圍成，求、設(shè),，、設(shè),，為正方形：，計(jì)算(,)。解：原式矩形區(qū)域,=)()5、求積分5、求積分。解：YX()d解：原式原式()()、設(shè)積分區(qū)域?yàn)?，求。原式drrr解：令原式drrrd、計(jì)算d，其中由，所圍成。解：令r,r原式d原式drd高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題多元函數(shù)微積分綜合一、選擇題、設(shè),，則,=（B）（A）,（

15、B）,（C）,（）,、若，則dz等于（B）A（B）（C）（）（C）（）、設(shè)u,u,),（C）均為可微函數(shù)，則（A）（A）（B）（）u、設(shè)積分區(qū)域是（C）=（B），則（A）（B）（）、設(shè)平面區(qū)域由,與兩坐標(biāo)軸所圍成，若I)，I()，I)，則它們之間的大小順序?yàn)椋ㄐ№樞驗(yàn)椋–）（）III（B）（A）III（B）III（）III、設(shè)是以為頂點(diǎn)的梯形所圍成的有界閉區(qū)域，,是區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分(,)（A）（A）,（B）（C）（C）(,)(,)（）(,)(,)、二次積、二次積分(,)的另一種積分次序是（A）(A)(,(A)(,)(B）(,)(C),(,)、的值等于（A）（A）（B）（C）（）、積

16、分、積分（C）（A）（B）（A）（B）（C）、設(shè)(,)，則3、設(shè)(,)，則(,=、設(shè)e，而，則dz=edt、設(shè)，則eee（）積不出二、填空題、設(shè))，則=)、設(shè)(,)，則(,)=()與圍成的平面區(qū)域，若；若積分區(qū)域與圍成的平面區(qū)域，若；若積分區(qū)域是，則，則=.、若區(qū)域由、若區(qū)域由，圍成，則二重積分化成先對(duì),，后對(duì),的二次積分為.、=e.e、設(shè)區(qū)域由，所確定，則()=.,(,)e、改換積分的次序、改換積分的次序(,)=、化二、化二次積分為極坐標(biāo)的二次積分(,)=dr(r,r)高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專業(yè)班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、求級(jí)數(shù)、求級(jí)數(shù)n的和。級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)nnn的部分和nnn)此級(jí)數(shù)的和即，

17、n.、判斷級(jí)數(shù)、判斷級(jí)數(shù)nn的斂散性。uunennnnnnn、判斷級(jí)數(shù)、判斷級(jí)數(shù)n的斂散性。()()L()Q級(jí)數(shù)收斂，其和為。、判斷級(jí)數(shù)、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。(Q解：Q級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂。(比值判別法)、判斷級(jí)數(shù)、判斷級(jí)數(shù)n的斂散性。解：解：)(（）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。（）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。（）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，此時(shí)當(dāng)時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)收斂、判斷級(jí)數(shù)、判斷級(jí)數(shù)的斂散性，并求n!n!).解：解：()()級(jí)數(shù)收斂!)、判斷級(jí)數(shù)、判斷級(jí)數(shù)n(n(對(duì)收斂還是條件收斂）解：由解：由nnnnnnnnnn、判斷級(jí)數(shù)、判斷級(jí)數(shù)（的斂散性。若收斂是絕對(duì)（解：解：Q由級(jí)數(shù)由級(jí)數(shù)收斂知，級(jí)數(shù)(級(jí)數(shù)(絕對(duì)收斂。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專業(yè)

18、班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開、求級(jí)數(shù)、求級(jí)數(shù)nnnn的收斂域。nnnn當(dāng)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為當(dāng)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為、求級(jí)數(shù)、求級(jí)數(shù)nnnn的收斂域。解：故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)收斂半徑為nnnn即當(dāng)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散nn故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)nnnn收斂域?yàn)?、求?jí)數(shù)、求級(jí)數(shù)的收斂域和和函數(shù)。nn解：由比值判別法可知當(dāng)，易知級(jí)級(jí)數(shù)易知級(jí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)或時(shí)，數(shù)的收斂域nnnn為為；又nnn，逐項(xiàng)求導(dǎo)到nn、求級(jí)數(shù)、求級(jí)數(shù)的收斂域和和函數(shù)。解：解：故級(jí)數(shù)收斂半徑為故級(jí)數(shù)收斂半徑為即當(dāng)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)，級(jí)數(shù)為，收斂；故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?nnn而由而由mm得得nnnndtn!n,、將函數(shù)(n!n,nn=0()()()()(解：令,則所以代入得(、將函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)。nnnn=0n=0、將函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)。解：()解：()高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專業(yè)班級(jí)姓名_學(xué)號(hào)_級(jí)數(shù)綜合一、選擇題、若級(jí)數(shù)收斂，記nnnnii，則能不存在（）為單調(diào)數(shù)列、若能不存在（）為單調(diào)數(shù)列、若(b)收斂，則（B）（A）與b必同時(shí)收斂（B）與（A）（B）存在（C）可bb可能同時(shí)收斂，也可能同時(shí)發(fā)散（C）（C）bbL必收斂（）收斂，b發(fā)散、若級(jí)數(shù)、若級(jí)數(shù)(收斂于，則)收斂于（B）（）、下列級(jí)數(shù)中，收斂（）、下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（A）（A）（B）（C）（）()5、級(jí)數(shù)的收斂范圍是nn（）e（A）e（B）（）eeee、下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）（A