燃料最優(yōu)控制問題探究

1、燃料最優(yōu)控制問題探究0引言隨著社會科技的不斷發(fā)展，人們的生活水平、生活質量有了質的飛躍。 但是, 這些都對能源提出了更高的要求，科學技術的發(fā)展也離不開能源的支持。 就目前 探明的能源情況來看，現(xiàn)有能源最多能夠滿足我國幾十年的使用。為了國家的長久發(fā)展，尋找新能源迫在眉睫，同時，節(jié)約能源也同樣重要。因此，能源的利用 效率就非常重要，這就必須要考慮到能源的最優(yōu)化實現(xiàn)， 尤其是燃料的最優(yōu)化實 現(xiàn)。在實際工程中，常常需要考慮使控制過程中的能量消耗最小，從而達到節(jié)約 燃料、提高續(xù)航和安全的目標。例如，在航空航天領域中，航天器大多采用燃料 燃燒所產(chǎn)生的發(fā)動機推力或力矩來進行控制的，從節(jié)約燃料、節(jié)省成本和延長

2、續(xù) 航時間角度考慮，實現(xiàn)燃料消耗最小非常重要。止匕外，燃料消耗是衛(wèi)星相對軌道 轉移任務中最為關注的問題，因為它直接決定了衛(wèi)星的使用壽命。 在其他諸如燃 料電池轎車動力系統(tǒng)、發(fā)動機燃料最優(yōu)控制系統(tǒng)等問題中，燃料最優(yōu)控制也是十 分重要的。1燃料最優(yōu)控制問題描述設燃料消耗率以非負量陰(t)表示，則控制過程中的燃料消耗總量為tf TOC o 1-5 h z F 0 (t)dt(1)一般地說，燃料消耗率與控制向量(推力或力矩)有確定關系，即 拶=肄(。, 下面考慮關系式rCj Uj| (Cj 0)(2)j i它的物理意義是，當推力或力矩增加時，燃料消耗成比例地增加，具比例系數(shù)為發(fā)動機推力或力矩不能任意大

3、而受限制，即Uj Mj j 1,2,L ,r(3)tf0tf0rcj uj 出j 1tfJ Q t dt 0但是，在研究燃料最優(yōu)控制問題時，還應該同時考慮過渡過程時間 t/0因為 末值時刻自由，從燃料消耗最優(yōu)出發(fā)，就可能導致過長的時間 與；而強調時間 3 又有可能使燃料過多消耗。所以，考慮燃料消耗的快速控制問題的性能指標 時，一種較好的選擇是采用時間加權性能指標，即 TOC o 1-5 h z tf r. tf11.一、J tf 0cj Uj dt 0cj Uj 出（5）j ij i式中，口是大于零的加權系數(shù)，它體現(xiàn)了對時間&的重視程度。當1P = 0時， 不計及時間與，只考慮燃料消耗；當口

4、=時，不計及燃料消耗，只考慮時間最 快。式（5）為性能指標的最優(yōu)控制問題稱為燃料消耗的快速控制問題，又稱時間燃料最優(yōu)控制問題。因為燃料最優(yōu)控制問題的性能指標比較復雜，多以燃料最優(yōu)控制的理論研究 也比較困難。本文僅以二次積分模型為例來說明燃料最優(yōu)控制問題。2燃料最優(yōu)控制理論綜述1）二次積分模型二次積分模型的狀態(tài)方程為(6)(8)Xi(6)(8)?控制受限系統(tǒng)的初始狀態(tài)為X2控制受限系統(tǒng)的初始狀態(tài)為|u(t)| 1, t 0,tfxi (0)x10,X2(0)x20末值狀態(tài)為Xi (t f ) 0, X2 (t f ) 0, tf自由性能指標為tf性能指標為tfJ 0|u(t)|dt(10)要求在

5、狀態(tài)方程的約束下，尋求滿足式(7)的最優(yōu)控制u(t)，使系統(tǒng)從0)轉移 到工(弓)=0,同時使J取最小值由于控制u受到約束，且性能指標中的被積函數(shù)不滿足可微條件，因此不能用變分法求解該問題，只能用極小值原理來求解。系統(tǒng)是能控的，最優(yōu)控制問題 的解存在。2)極小值原理對于如下時變系統(tǒng)、積分型性能指標、末端固定、tf自由和控制受約束的最優(yōu)控制問題:min J(u)tfmin J(u)tftoL(x,u,t)dt(11)st x(t) f (x,u,t), x(to)Xo(11)x(tf) xf, tf 自由式中x(t) Rn,為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u(t) Rm,為系統(tǒng)控制向量；為容許控 制；u(t)是

6、在 內取值的任何分段連續(xù)函數(shù)；末態(tài) x(tf)固定；末端時刻tf自由假設函數(shù)f(x,u)在任意有界集上對變量x滿足李卜希茨條件：當i 為有界集時，存在一常數(shù)a 0,使得只要x1、x2x,對于任意u i,有-1-212| f(x ,u) f(x ,u)| a |x x |則對于最優(yōu)解u (t)和tf ,以及相應的最優(yōu)軌線x，必存在非零的n維向量函數(shù)(t),使得x(t)及(t)滿足下述正則方程? H TOC o 1-5 h z x(t) (12)?H(t)(13)式中哈密頓函數(shù)H(x,u,t) L(x, u,t) T(t)f(x,u,t)(14)x(t)及(t)滿足邊界條件x(b)x0(15)x(

7、t式中哈密頓函數(shù)H(x,u,t) L(x, u,t) T(t)f(x,u,t)(14)x(t)及(t)滿足邊界條件x(b)x0(15)x(tf)xf(16)哈密頓函數(shù)相對最優(yōu)控制取絕對極小值H H x ，(t)，u(t)，tum，加(17)在最優(yōu)軌線末端哈密頓函數(shù)應滿足H (tf) Hx(tf),(tf),u (tf),tf 0(18)3)問題求解根據(jù)極小值原理，燃料最優(yōu)控制問題最優(yōu)解的必要條件為正則方程令哈密頓函數(shù)為H |u(t)|1x2(t)2H |u(t)|1x2(t)2(t)u(t)則有?H?HXiX21 01Xi?H,?HX2u212X2邊界條件Xi(0)X10Xi (tf) 0X2

8、(。)X20X2(tf)0極小值條件|u(t)|2(t)u (t)|u(t)|2(t)u(t)H函數(shù)變化率(19)(20)(21)(22)(23)(23)H (tf) |u (tf)|1(tf)x2(tf)2(tf)u (tf) 0由式(22)知，哈密頓函數(shù)H對最優(yōu)控制軌線u(t)取極小值，等價于下列函數(shù)(24)(24)對最優(yōu)控制u (t)取極小值。其中，u (t)與2(t)的關系如下圖1所示u (t).1/ 2(t)-101-1圖1u (t)1,圖1u (t)1,u (t) 0,u (t)1,0 u (t)1,1 u (t) 0,u (t)與2(t)的關系圖2(t)112(t)12(t)12

9、(t)12(t)1(25)由式(25)可知，最優(yōu)控制軌線的完全確定，取決于2(t)的性質。根據(jù)2(t)性質的不同，燃料最優(yōu)控制問題可以分為正常與奇異兩種情況。(1)正常情況若在時間區(qū)間0,tf上，| 2(t)| 1只在有限點上成立，則最優(yōu)控制u(t)可取-1,0,+1三個值，且在這三個值上轉換。(2)奇異情況若在時間區(qū)間0,tf上，至少存在一段時間間隔t1,t20,tf ,在其上有| 2(t)| 1,則屬于奇異情況。此時，最優(yōu)控制軌線 u由正常弧段和奇異弧段 兩部分組成。3實踐一一有限推力軌道轉移燃料最優(yōu)控制有限推力下最小燃料消耗軌道轉移問題的最優(yōu)控制問題模型可描述如下t fmin J m(t

10、f) o | u|dt?3x f0 (x) (Tmax / m)Ui fii 1(26)?(26)m UTmax |U |x(0) x0, m(0)m0, h(x(tf) 0|u| 1式中，Tmax為發(fā)動機推力的最大幅值，控制U (Ui,U2,U3)為推力在軌道坐標系中方向分量。衛(wèi)星的軌道運動學方程的狀態(tài)常用一種稱為MEE的軌道根數(shù)x P e ev hx hv L T和質量m來表示。 x y x y對于軌道轉移任務，要求初始軌道和目標軌道是不同的，因而最優(yōu)控制是非空的。問題滿足的初值邊界條件用MEE可描述為 TOC o 1-5 h z 0 00 二 0 二0 o 0 o0 I 0 _07/cr

11、x ,m P ,ex,ey,hx,hy, L ,mR(27)而終端邊界條件則為h(x) P Pf,ex e【,ey e；h hf,hy hf,L Lf 0(28)為使問題便于解決，作以下假設(1)系統(tǒng)模型的狀態(tài)始終滿足路徑約束A (x, m)|P 0,| ex,ey | 1,m me(29)即衛(wèi)星在橢圓域內飛行，在地心坐標系下位置向量幅值始終大于地球半徑，me為 無燃料的衛(wèi)星質量。(2)最終飛行時間tf要嚴格大于最短軌道轉移時間tfmin o(3)衛(wèi)星在終端時質量滿足mf me且是自由的。問題滿足可控性條件，在滿足假設(1)(3)及非空最優(yōu)控制約束的條件下，存在時間固定時的燃料最優(yōu)可行解。解

12、燃料最優(yōu)的性能指標取為Lagrange型，應用極小值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為HP0 UT函數(shù)為HP0 UTmaxPm |u| HgTmax / mUiHii 1(30)式中，p0為大于0的常數(shù)，通常取為1; Hi （p, fj,i 0,L； 3為Hamiltonian提升；p, Pm分別為狀態(tài)x,m對應的協(xié)狀態(tài)。根據(jù)極小值原理可知 pt , pm t不同時為0時，應用Cauchy-Schwarz不等式，令H 曰舊2,七，取p0 1,則式（30）有H 1 UTmax H 1 UTmax pm |u| H。IH 咖| m則當u TH,T 0時式(31)取等號。因此令zx,m,p, pm ,當H(31)H1，H2,H3(32)(33)(34)(35)(32)(33)(34)(35)不為0時，最小H函數(shù)的解可寫成u T(z)H/|H |,T(z)0,1定義切換函數(shù)S t,z 1 UTmax pmTmax / m |H |則當H0時，最優(yōu)控制為H/|H |, S t,z 0?u(t) TH/| H |, S t,z 00,S t,z 0其中T 0,1，而當H 0時，則有u(t) S 0,1 ,1 UTmax pm 0u(t) B