線(xiàn)性代數(shù)習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)第一部分 專(zhuān)項(xiàng)同步練習(xí)第一章 行列式一、單項(xiàng)選擇題1下列排列是5階偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512如果階排列的逆序數(shù)是, 則排列的逆序數(shù)是( ). (A) (B) (C) (D)3. 階行列式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)共有( )項(xiàng).(A) 0 (B) (C) (D) 4( ).(A) 0 (B) (C) (D) 25. ( ).(A) 0 (B) (C) (D) 26在函數(shù)中項(xiàng)的系數(shù)是( ). (A) 0 (B)

2、(C) (D) 27. 若，則 ( ). (A) 4 (B) (C) 2 (D) 8若，則 ( ). (A) (B) (C) (D)9 已知4階行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次為, 則( ).(A) 0 (B) (C) (D) 210. 若，則中第一行元的代數(shù)余子式的和為( ).(A) (B) (C) (D)11. 若，則中第四行元的余子式的和為( ).(A) (B) (C) (D)12. 等于下列選項(xiàng)中哪個(gè)值時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解. ( ) (A) (B) (C) (D)二、填空題1. 階排列的逆序數(shù)是.2在六階行列式中項(xiàng)所帶的符號(hào)是.3四階行列式中包含且?guī)д?hào)的項(xiàng)是.4若

3、一個(gè)階行列式中至少有個(gè)元素等于, 則這個(gè)行列式的值等于.5. 行列式.6行列式.7行列式.8如果，則.9已知某5階行列式的值為5，將其第一行與第5行交換并轉(zhuǎn)置，再用2乘所有元素，則所得的新行列式的值為.10行列式.11階行列式.12已知三階行列式中第二列元素依次為1,2,3, 其對(duì)應(yīng)的余子式依次為3,2,1，則該行列式的值為.13設(shè)行列式，為D中第四行元的代數(shù)余子式，則.14已知， D中第四列元的代數(shù)余子式的和為.15設(shè)行列式，為的代數(shù)余子式，則，.16已知行列式，D中第一行元的代數(shù)余子式的和為.17齊次線(xiàn)性方程組僅有零解的充要條件是.18若齊次線(xiàn)性方程組有非零解，則=.三、計(jì)算題1. ; 2

4、；3解方程； 4； 5. ()； 6. 7. ； 8; 9. ; 10. 11.四、證明題1設(shè)，證明：.2.3.4.5設(shè)兩兩不等，證明的充要條件是.參考答案一單項(xiàng)選擇題A D A C C D A B C D B B二填空題1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.; 13.; 14.; 15.; 16.; 17.; 18.三計(jì)算題1； 2. ；3. ; 4. 5. ; 6. ;7. ; 8. ;9. ; 10. ;11. .四. 證明題 (略)第二章 矩陣一、單項(xiàng)選擇題1. A、B為n階方陣，則下列各式中成立的是( )。(a)(b) (c

5、) (d) 2.設(shè)方陣A、B、C滿(mǎn)足AB=AC,當(dāng)A滿(mǎn)足( )時(shí)，B=C。(a) AB =BA (b) (c) 方程組AX=0有非零解 (d) B、C可逆 3.若為n階方陣，為非零常數(shù)，則( )。(a) (b) (c) (d) 4.設(shè)為n階方陣，且，則( )。 (a) 中兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例 (b) 中任意一行為其它行的線(xiàn)性組合(c) 中至少有一行元素全為零 (d) 中必有一行為其它行的線(xiàn)性組合 5.設(shè)，為n階可逆矩陣,下面各式恒正確的是( )。(a) (b) (c) (d) 6.設(shè)為n階方陣,為的伴隨矩陣,則( )。(a) (b) (c) (d) 7. 設(shè)為3階方陣,行列式,為的伴隨矩陣

6、,則行列式( )。(a) (b) (c) (d) 8. 設(shè)，為n階方矩陣,則下列各式成立的是( )。(a) (b) (c) (d) 9. 設(shè)，均為n階方矩陣,則必有( )。(a) (b) (c) (d) 10.設(shè)為階可逆矩陣，則下面各式恒正確的是（ ）。（a） (b) (c) (d) 11.如果，則（ ）。 （a） (b) (c) (d) 12.已知，則（ ）。 （a） (b) （c） （d） 13.設(shè)為同階方陣，為單位矩陣，若，則（ ）。（a） （b） （c） （d） 14.設(shè)為階方陣，且，則（ ）。（a）經(jīng)列初等變換可變?yōu)閱挝魂嚕╞）由，可得（c）當(dāng)經(jīng)有限次初等變換變?yōu)闀r(shí)，有（d）以上（a

7、）、（b）、（c）都不對(duì) 15.設(shè)為階矩陣，秩，則（ ）。（a）中階子式不全為零 （b）中階數(shù)小于的子式全為零（c）經(jīng)行初等變換可化為 （d）為滿(mǎn)秩矩陣 16.設(shè)為矩陣，為階可逆矩陣，則( )。(a)秩() 秩() (b) 秩()= 秩()(c) 秩() 秩() (d) 秩()與秩()的關(guān)系依而定 17.，為n階非零矩陣，且，則秩()和秩()( )。(a)有一個(gè)等于零 (b)都為n (c)都小于n (d)一個(gè)小于n，一個(gè)等于n 18.n階方陣可逆的充分必要條件是( )。(a) (b) 的列秩為n(c) 的每一個(gè)行向量都是非零向量 (d)伴隨矩陣存在 19.n階矩陣可逆的充要條件是( )。(a)

8、 的每個(gè)行向量都是非零向量(b) 中任意兩個(gè)行向量都不成比例(c) 的行向量中有一個(gè)向量可由其它向量線(xiàn)性表示(d)對(duì)任何n維非零向量，均有 二、填空題1.設(shè)為n階方陣,為n階單位陣,且,則行列式_ 2.行列式_ 3.設(shè)2，則行列式的值為_(kāi) 4.設(shè)，且已知，則行列式_ 5.設(shè)為5階方陣，是其伴隨矩陣，且，則_ 6.設(shè)4階方陣的秩為2，則其伴隨矩陣的秩為_(kāi) 7.非零矩陣的秩為_(kāi) 8.設(shè)為100階矩陣，且對(duì)任何100維非零列向量，均有，則的秩為_(kāi)9.若為15階矩陣，則的第4行第8列的元素是_ 10.若方陣與相似，則_ 11._ 12._ 三、計(jì)算題1.解下列矩陣方程(X為未知矩陣).1) ； 2)

9、；3) ,其中 ； ；4) ,其中；5) ,其中；2.設(shè)為階對(duì)稱(chēng)陣,且,求. 3.已知,求. 4.設(shè),求. 5.設(shè),求一秩為2的方陣,使. 6.設(shè),求非奇異矩陣,使. 7.求非奇異矩陣,使為對(duì)角陣. 1) 2) 8.已知三階方陣的三個(gè)特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為,求矩陣. 9.設(shè),求. 四、證明題1. 設(shè)、均為階非奇異陣,求證可逆.2. 設(shè)(為整數(shù)), 求證可逆.3.設(shè)為實(shí)數(shù),且如果,如果方陣滿(mǎn)足,求證是非奇異陣.4. 設(shè)階方陣與中有一個(gè)是非奇異的,求證矩陣相似于.5. 證明可逆的對(duì)稱(chēng)矩陣的逆也是對(duì)稱(chēng)矩陣.6. 證明兩個(gè)矩陣和的秩小于這兩個(gè)矩陣秩的和.7.證明兩個(gè)矩陣乘積的秩不大

10、于這兩個(gè)矩陣的秩中較小者.8. 證明可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆，且伴隨矩陣的逆等于該矩陣的逆矩陣的伴隨矩陣.9.證明不可逆矩陣的伴隨矩陣的逆不大于1.10.證明每一個(gè)方陣均可表示為一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣的和。第二章參考答案一：1. a；2. b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.二1. 1或-1；2. 0；3. -4；4. 1；5. 81；6. 0；7. 1；8. 100；9. ；10. I；12. 0；11. .三、1.1）、；2）、；3）、；4）、；5）、. 2.

11、0；3. ；4.； 5.不唯一；6.；7. 1）、. 2)、；8.；9.第三章 向量一、單項(xiàng)選擇題， 都是四維列向量，且四階行列式,則行列式 設(shè)為階方陣，且,則（ ）。設(shè)為階方陣，則在的個(gè)行向量中（ ）。階方陣可逆的充分必要條件是（ ）維向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分條件是( )都不是零向量中任一向量均不能由其它向量線(xiàn)性表示中任意兩個(gè)向量都不成比例中有一個(gè)部分組線(xiàn)性無(wú)關(guān)維向量組線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是( ) 中至少有一個(gè)零向量中至少有兩個(gè)向量成比例中任意兩個(gè)向量不成比例中至少有一向量可由其它向量線(xiàn)性表示維向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是( )使得中任意兩個(gè)向量都線(xiàn)性無(wú)關(guān)中存在一個(gè)向量,它不能被其余向量線(xiàn)性表示中任

12、一部分組線(xiàn)性無(wú)關(guān)設(shè)向量組的秩為,則( ) 中至少有一個(gè)由個(gè)向量組成的部分組線(xiàn)性無(wú)關(guān)中存在由個(gè)向量組成的部分組線(xiàn)性無(wú)關(guān)中由個(gè)向量組成的部分組都線(xiàn)性無(wú)關(guān)中個(gè)數(shù)小于的任意部分組都線(xiàn)性無(wú)關(guān)設(shè)均為維向量,那么下列結(jié)論正確的是( )若,則線(xiàn)性相關(guān)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù),都有,則線(xiàn)性無(wú)關(guān)若線(xiàn)性相關(guān),則對(duì)任意不全為零的數(shù),都有若,則線(xiàn)性無(wú)關(guān)已知向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組（ ）線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)若向量可被向量組線(xiàn)性表示，則（ ）存在一組不全為零的數(shù)使得存在一組全為零的數(shù)使得存在一組數(shù)使得對(duì)的表達(dá)式唯一下列說(shuō)法正確的是（ ）若有不全為零的數(shù)，使得，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)若有不全為零的數(shù)，使得，則線(xiàn)性無(wú)關(guān)若線(xiàn)性

13、相關(guān)，則其中每個(gè)向量均可由其余向量線(xiàn)性表示任何個(gè)維向量必線(xiàn)性相關(guān)設(shè)是向量組，的線(xiàn)性組合，則=（ ） 設(shè)有向量組，則該向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組為（ ） 設(shè)，下列正確的是（ ）二、填空題若，線(xiàn)性相關(guān)，則t=。n維零向量一定線(xiàn)性關(guān)。向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是。若線(xiàn)性相關(guān)，則線(xiàn)性關(guān)。n維單位向量組一定線(xiàn)性。設(shè)向量組的秩為r,則 中任意r個(gè)的向量都是它的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。設(shè)向量與正交，則。正交向量組一定線(xiàn)性。若向量組與等價(jià)，則的秩與的秩。若向量組可由向量組線(xiàn)性表示，則。向量組，的線(xiàn)性關(guān)系是。設(shè)n階方陣,則.設(shè)，若是標(biāo)準(zhǔn)正交向量，則x和y的值.兩向量線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是.三、計(jì)算題設(shè)，問(wèn)（1）為何值時(shí)，能由唯一

14、地線(xiàn)性表示？（2）為何值時(shí)，能由線(xiàn)性表示，但表達(dá)式不唯一？（3）為何值時(shí)，不能由線(xiàn)性表示？設(shè)，問(wèn)： （1）為何值時(shí)，不能表示為的線(xiàn)性組合？（2）為何值時(shí)，能唯一地表示為的線(xiàn)性組合？求向量組，的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。設(shè)，t為何值時(shí)線(xiàn)性相關(guān)，t為何值時(shí)線(xiàn)性無(wú)關(guān)？將向量組，標(biāo)準(zhǔn)正交化。四、證明題設(shè)，試證線(xiàn)性相關(guān)。設(shè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，證明在n為奇數(shù)時(shí)線(xiàn)性無(wú)關(guān)；在n為偶數(shù)時(shí)線(xiàn)性相關(guān)。設(shè)線(xiàn)性相關(guān)，而線(xiàn)性無(wú)關(guān)，證明能由線(xiàn)性表示且表示式唯一。設(shè)線(xiàn)性相關(guān)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，求證不能由線(xiàn)性表示。證明：向量組線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量是其余向量的線(xiàn)性組合。設(shè)向量組中，并且每一個(gè)都不能由

15、前個(gè)向量線(xiàn)性表示，求證線(xiàn)性無(wú)關(guān)。證明：如果向量組中有一個(gè)部分組線(xiàn)性相關(guān)，則整個(gè)向量組線(xiàn)性相關(guān)。8.設(shè)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組，證明向量組也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。第三章向量參考答案單項(xiàng)選擇1.b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 10.c 11.c 12.d 13.a 14.b 15. a 二、填空題 1. 5 2.相關(guān) 3. 4.相關(guān) 5.無(wú)關(guān) 6.線(xiàn)性無(wú)關(guān) 7. -1 8.無(wú)關(guān) 9.相等 10. 11.線(xiàn)性無(wú)關(guān) 12. 0 13. 14.對(duì)應(yīng)分量成比例三、解答題 1. 解：設(shè) 則對(duì)應(yīng)方程組為 其系數(shù)行列式（1）當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解，所以可由唯一地線(xiàn)性表示;（2）當(dāng)時(shí)，方程組的增廣陣

16、 ， ，方程組有無(wú)窮多解，所以可由線(xiàn)性表示，但表示式不唯一;（3）當(dāng)時(shí)，方程組的增廣陣，方程組無(wú)解，所以不能由線(xiàn)性表示。2.解:以為列構(gòu)造矩陣（1）不能表示為的線(xiàn)性組合；（2）能唯一地表示為的線(xiàn)性組合。3.解：為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且, 4.解：，當(dāng)時(shí)線(xiàn)性相關(guān)，當(dāng)時(shí)線(xiàn)性無(wú)關(guān)。5.解：先正交化：令 =再單位化：，為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。四、證明題1.證：線(xiàn)性相關(guān)2.證：設(shè)則線(xiàn)性無(wú)關(guān)其系數(shù)行列式=當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，只能為零，線(xiàn)性無(wú)關(guān)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可以不全為零，線(xiàn)性相關(guān)。3.證：線(xiàn)性相關(guān) 存在不全為零的數(shù)使得若，則，（）與線(xiàn)性無(wú)關(guān)矛盾所以 于是 能由線(xiàn)性表示。設(shè) 則-得線(xiàn)性無(wú)關(guān) 即表示法唯一4.證：假設(shè)能由線(xiàn)性

17、表示線(xiàn)性無(wú)關(guān)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性相關(guān)，線(xiàn)性表示， 能由線(xiàn)性表示，從而線(xiàn)性相關(guān)，矛盾不能由線(xiàn)性表示。5.證：必要性 設(shè)向量組線(xiàn)性相關(guān) 則存在不全為零的數(shù)使得不妨設(shè)，則， 即至少有一個(gè)向量是其余向量的線(xiàn)性組合。充分性設(shè)向量組中至少有一個(gè)向量是其余向量的線(xiàn)性組合不妨設(shè)則，所以線(xiàn)性相關(guān)。6.證：用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)s=1時(shí)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)， 當(dāng)s=2時(shí)，不能由線(xiàn)性表示，線(xiàn)性無(wú)關(guān)， 設(shè)s=i-1時(shí)，線(xiàn)性無(wú)關(guān) 則s=i時(shí)，假設(shè)線(xiàn)性相關(guān)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)， 可由線(xiàn)性表示，矛盾，所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)。得證7.證：若向量組中有一部分組線(xiàn)性相關(guān)，不妨設(shè)（r 秩() (B) 秩()= 秩()(C) 秩()1）A與B，都有 （B）14.若向量組與等

18、價(jià)，則 （B）15.若齊次線(xiàn)性方程組AX=O存在基礎(chǔ)解系，則方程組AX=b（b0）有無(wú)窮多解 (B)16.若同階矩陣A與B的秩相等，則A可經(jīng)過(guò)有限次的初等變換化成B （A）17.若是方陣A的特征值，則是的特征值（其中為自然數(shù)）（A）18.若n階方陣A相似于對(duì)角矩陣，則A有n個(gè)互異特征值 （B）19.設(shè)與是A的任意兩個(gè)特征向量，則也是其特征向量 （B）20.若A為正交矩陣，則 （A）本題得分本題得分答題要求：請(qǐng)將最終答案直接填在題中橫線(xiàn)上.21.設(shè)A為三階矩陣，且，則 54 22. ，則23.設(shè)矩陣A可逆，則其伴隨矩陣可逆，且24.如果階矩陣A的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則齊次線(xiàn)性方程組AX=O的基礎(chǔ)解

19、系中含有個(gè)向量25.若向量組中含有零向量，則此向量組線(xiàn)性相關(guān)26.若與正交，則27.設(shè)A為正交矩陣，則28.設(shè)三階矩陣A的特征值為-2、1、4，則29.已知-5是方陣A的特征值，則A-2E一定有一個(gè)特征值-730.設(shè)為非齊次線(xiàn)性方程組AX=b的一組解，如果也是該方程組的一個(gè)解，則S1：本題得分本題得分答題要求：寫(xiě)出文字說(shuō)明和主要驗(yàn)算步驟1計(jì)算四階行列式解：=2.解矩陣方程，其中，解：S2：本題得分本題得分答題要求：寫(xiě)出文字說(shuō)明和主要驗(yàn)算步驟1.給定向量組， ，求該向量組的秩，并確定一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。解：所以：，是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且2.用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示下面

20、方程組的全部解令，得線(xiàn)性方程組的一個(gè)特解其導(dǎo)出組的一般解為：令分別為得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：所以，方程組的全部解為： （）3.已知的特征值為-1,2，5，求正交矩陣，使得為對(duì)角矩陣。解：當(dāng)時(shí)，由，得基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，由，得基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，由，得基礎(chǔ)解系為不難驗(yàn)證是正交向量組，把單位化，得S3：本題得分本題得分答題要求：應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明已知n維向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。證明：整理得：線(xiàn)性無(wú)關(guān)解得：所以，向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。第三部分 近六年考研試題一、單項(xiàng)選擇題1.2006-3 若均為n維列向量， 是矩陣，下列選項(xiàng)正確的是 (A) 若線(xiàn)性相關(guān)，則線(xiàn)性相關(guān).(B) 若線(xiàn)性相關(guān)，則線(xiàn)性無(wú)關(guān).(C) 若線(xiàn)性

21、無(wú)關(guān)，則線(xiàn)性相關(guān).(D) 若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則線(xiàn)性無(wú)關(guān). A 2.2006-3、4 設(shè)為3的階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的-1倍加到第2列得，記 ，則 (A) =. (B)=. (C)=. (D) =. B 3.2007-3、4 設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則下列向量組線(xiàn)性相關(guān)的是 (A) (B) (C) (D) A 42007-3、4設(shè)矩陣，則與 (A)合同，且相似 (B)合同，但不相似 (C)不合同，但相似 (D)不合同，也不相似 B 5. 2008-3 設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，若，則 (A) 不可逆，不可逆. (B) 不可逆，可逆.(C) 可逆，可逆. (D) 可逆，不可逆 C 6. 2008-3設(shè)，則在實(shí)數(shù)域上與A合同的矩陣為 (A) (B) (C) (D) D 7. 2009-3 設(shè)均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為 (A) (B) (C) (D) B 8. 2009-3 設(shè)均為3階矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，且. 若