初中數(shù)學(xué) 八年級(jí)上冊(cè) 直角三角形

1、 “直角三角形（第一課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)者：深圳市龍崗區(qū)深圳大學(xué)附屬坂田學(xué)校譚健老師一、教材的地位與作用“直角三角形（第一課時(shí)）”選自義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（北師大版）數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第一章第二節(jié)。本課是直角三角形(第1課時(shí))的教學(xué)內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握了直角三角形相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)步探討直角三角形的性質(zhì)定理以及判定定理。教學(xué)內(nèi)容主要為勾股定理及其逆定理的證明方法，了解逆命題、互逆命題、逆定理的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷和了解勾股定理及其逆定理的證明方法，進(jìn)一步理解證明的必要性，并通過(guò)具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立。本節(jié)通過(guò)觀察、操作、推理、交流等

2、數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)一步探索直角三角形的性質(zhì)和判定。以直觀認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)進(jìn)行簡(jiǎn)單的說(shuō)理,將直觀與簡(jiǎn)單推理相結(jié)合，體現(xiàn)具體-抽象-具體的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。 二、學(xué)情分析在圖形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)歷觀察、畫圖、推理、合作等活動(dòng)體驗(yàn)，具備了本節(jié)課所需的探索、交流和演繹推理能力。本節(jié)課在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了直角三角形的性質(zhì)和判定方法的基礎(chǔ)上，將進(jìn)一步探索直角三角形的性質(zhì)和判定的證明方法。讓學(xué)生對(duì)命題的條件和結(jié)論經(jīng)歷觀察、歸納出他們的共性，以得出互逆命題、逆命題的概念。并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生尋找生活中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)的例子。在活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、相互合作，

3、讓他們感受到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣、魅力和成功的快樂(lè)。讓學(xué)生參與知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展教學(xué)過(guò)程，注重培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)的能力。三、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與能力目標(biāo)（1）掌握直角三角形的性質(zhì)定理及判定定理，了解勾股定理的證明，理解勾股定理逆定理的證明方法，并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題.（2）結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立.2.過(guò)程與方法目標(biāo)（1）經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維。（2）進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力.3.情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)（1）積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲。（2

4、）在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：探索勾股定理及其逆定理的證明方法；結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立2.教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理及其逆定理的證明方法五、教學(xué)關(guān)鍵以學(xué)生為主體，通過(guò)學(xué)生自己的觀察、討論與探索，了解勾股定理與逆定理的證明方法，體會(huì)幾何證明的必要性，發(fā)展學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理能力。六、教學(xué)方法以探索導(dǎo)學(xué)法為主，啟發(fā)引導(dǎo)式等多種教法相互穿插、綜合運(yùn)用。七、教具學(xué)具準(zhǔn)備課件、三角尺等八、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境 激活思維活動(dòng)過(guò)程：讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家大會(huì)的巨大魅力。生活實(shí)例：2002年國(guó)際數(shù)學(xué)

5、家大會(huì)在我國(guó)北京召開，大會(huì)會(huì)徽是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的,它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成。 同學(xué)們回憶一下，什么是直角三角形？我們?cè)?jīng)學(xué)直角三角形的性質(zhì)有哪些？直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形的兩銳角互余（2）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（3）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半設(shè)計(jì)意圖：在我國(guó)舉辦的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)，利用了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就趙爽的“弦圖”作為會(huì)徽，學(xué)生會(huì)因中國(guó)古代數(shù)學(xué)文明而感到驕傲和自豪，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生極強(qiáng)的自信心，向往數(shù)學(xué)殿堂，使他們樹立攀登

6、數(shù)學(xué)高峰的遠(yuǎn)大理想；學(xué)生在觀察會(huì)徽的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的直角三角形，為探索勾股定理及其逆定理的證明過(guò)程做鋪墊。通過(guò)知識(shí)再現(xiàn)，為探究直角三角形的性質(zhì)及判定的推理證明方法做準(zhǔn)備。（二）問(wèn)題探究 思維生長(zhǎng)活動(dòng)1：直角三角形的性質(zhì): 直角三角形的兩個(gè)銳角為什么互余？ 活動(dòng)過(guò)程：教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成推理證明的書面表達(dá)過(guò)程。已知：如圖(1) 所示，在中，.求證：. 證明：在中， . 又，即：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.設(shè)計(jì)意圖：探究并能獨(dú)立完成直角三角形在角上性質(zhì)的證明?；顒?dòng)2：直角三角形的判定:反之，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？為什么？活動(dòng)過(guò)程：教師鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真思考，大膽猜想，

7、獨(dú)立進(jìn)行證明，然后互相交流.已知：如圖（2）所示，在中，求證：是直角三角形證明：在中，. 又， . 是直角三角形.即：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.設(shè)計(jì)意圖：探究并能獨(dú)立完成直角三角形在角上判定的證明。歸納：直角三角形的性質(zhì)與判定活動(dòng)過(guò)程：教師引導(dǎo)學(xué)生概括出直角三角形在角上的性質(zhì)及判定方法，并描述出他們的幾何語(yǔ)言。直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.直角三角形的判定定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形. 幾何語(yǔ)言： 幾何語(yǔ)言：在中， 在ABC中， . 是直角三角形.設(shè)計(jì)意圖：概括出直角三角形在角上的性質(zhì)及判定方法，并能熟練運(yùn)用其幾何語(yǔ)言活動(dòng)3：直角三角形的性質(zhì):在上學(xué)期，我們

8、通過(guò)數(shù)方格和割補(bǔ)法得到了勾股定理，你能說(shuō)一說(shuō)勾股定理的內(nèi)容嗎？活動(dòng)過(guò)程1：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合課堂開始設(shè)計(jì)的“弦圖”，回顧出勾股定理的內(nèi)容及幾何語(yǔ)言表達(dá)形式，并探索趙爽的證明方法。勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語(yǔ)言：在中，.活動(dòng)過(guò)程2：師生共同合作探索趙爽證明勾股定理的方法。中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。趙爽創(chuàng)制的“勾股圓方圖”如圖：大正方形的面積可以表示為,也可以用4個(gè)直角三角形和中間小

9、正方形的面積之和表示為 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察“弦圖”中的直角三角形，再現(xiàn)勾股定理的內(nèi)容并證明。增強(qiáng)師生探索勾股定理證法的合作能力?；顒?dòng)4：直角三角形的判定: 反之：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？活動(dòng)過(guò)程：先讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)認(rèn)真思考，參與討論；教師重點(diǎn)分析證法的構(gòu)思，需要用到的數(shù)學(xué)原理、方法和表達(dá)過(guò)程。已知：如圖所示，在中，.求證：是直角三角形證明：如圖 ,作,使則（勾股定理）. ，.(SSS). (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.因此，是直角三角形.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生能夠接受直角三角形在邊上判定的證明方法和過(guò)程，即勾股定理的逆定理.歸納：直角三角形的判定活

10、動(dòng)過(guò)程：教師引導(dǎo)學(xué)生概括出直角三角形在邊上的判定方法，并描述出他們的幾何語(yǔ)言。判定定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.幾何語(yǔ)言：在中， 是直角三角形.設(shè)計(jì)意圖：概括出直角三角形在邊上的判定方法，并能熟練運(yùn)用其幾何語(yǔ)言?；顒?dòng)5：命題的互逆關(guān)系活動(dòng)過(guò)程：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這幾對(duì)命題的結(jié)論與條件之間的關(guān)系，相互交流，并歸納出它們的共性，已得到互逆命題、逆命題的概念；其中第一、二組為特殊的命題即定理，從而也可以得到互逆定理、逆定理的概念議一議：觀察下面各組命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系？直角三角形的兩個(gè)銳角互余有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.直角三角形兩條

11、直角邊的平方和等于斜邊的平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.如果小明患了肺炎，那么他一定會(huì)發(fā)燒如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎一個(gè)三角形中相等的邊所對(duì)的角相等一個(gè)三角形中相等的角所對(duì)的邊相等歸納：在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題強(qiáng)調(diào)：互逆命題是一對(duì)命題的稱呼，其中一個(gè)命題稱原命題，另一個(gè)命題稱原命題的逆命題想一想：逆命題一定是真命題嗎？你能寫出命題“如果有兩個(gè)有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎？它們都是真命題嗎？鼓勵(lì)學(xué)生回答：如果兩個(gè)有理數(shù)的平方相等,那

12、么這兩個(gè)有理數(shù)相等. 原命題是真命題，它的逆命題是假命題.學(xué)生嘗試運(yùn)用“互逆”，并能舉“互逆定理”的例子歸納：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，我們把這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理你還能舉一些互逆定理的例子嗎？設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合事例認(rèn)識(shí)互逆命題、逆命題、互逆定理和逆定理的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，互逆定理，并能意識(shí)到一對(duì)互逆命題的真假性不一定一致。（三）典型例題，鞏固新知活動(dòng)1：基礎(chǔ)鞏固。教師引導(dǎo)學(xué)生自主完成兩道例題。例題1.說(shuō)出下列命題的逆命題，并判斷每對(duì)命題的真假（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)：逆命題： ，原命題是 命題，逆命題是 命題（2）

13、如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等逆命題： ，原命題是 命題，逆命題是 命題例題2.如圖所示，在中，于點(diǎn),.（1）求CD、AD的長(zhǎng)；（2）判斷的形狀，并說(shuō)明理由.解：（1）在中，由勾股定理可知： 同理可得：(2)是直角三角形，理由如下：由（1）可知：在中，由勾股定理的逆定理可知：是直角三角形 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)兩道例題，讓學(xué)生掌握逆命題的概念，熟練運(yùn)用勾股定理以及逆定理。 （四）歸納小結(jié)，反思提高活動(dòng)過(guò)程：師生共同回憶本節(jié)課所學(xué)知識(shí).，談?wù)劚竟?jié)課最大的收獲。設(shè)計(jì)意圖：鞏固知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生梳理、分類和掌握零散知識(shí)的能力。（五）分層作業(yè)，深化新知1.必做題：(1)一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)為15、20、25，則最大

14、邊上的高為 (2)如圖，以中的三邊向外作正方形，其面積分別,則_；(3)如圖，在四邊形中,為上的一點(diǎn),且 .(4)一個(gè)直角三角形房梁如圖所示，其中，垂足分別為那么=_；2.選做題：（1）在正方形ABCD中，如圖所示，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且ECBC.求證：EFA90（2）趙爽創(chuàng)制的“勾股圓方圖”如圖：請(qǐng)?zhí)骄浚汗?股滿足什么關(guān)系時(shí)？中間的小正方形面積最小。當(dāng)勾對(duì)應(yīng)的銳角為30時(shí)，此圖最和諧美麗，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)大正方形的面積和中間小正方形的面積有何關(guān)系？ 設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)分為必做題和選做題，體現(xiàn)分層教學(xué)的理念。九、教學(xué)反思在課堂教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)的情境“弦圖”很快把學(xué)生的積極性調(diào)動(dòng)了起來(lái)。他們迫切于探究“弦圖”中直角三角形的奧秘。在證明定理直角三角形的兩個(gè)銳角互余，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形時(shí)，學(xué)生都能獨(dú)立的主動(dòng)完成。學(xué)生積極參與了我分析講解的定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角