高等數(shù)學課件：5-2微積分基本定理

1、一、引例：變速直線運動中位置函數(shù)與 速度函數(shù)之間的聯(lián)系 三、牛頓 萊布尼茲公式 第二節(jié)微積分基本定理二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 第五章 一、引例 在變速直線運動中物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程.問題總位移二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)積分上限函數(shù)幾何意義圖中陰影部分面積1.引入2. 定理1(微積分第一基本定理）則證可導，且則#積分和求導互為逆運算3. 變限積分求導問題例1解求下列函數(shù)的導數(shù)：例2解例3 求解例4 確定常數(shù) a , b , c 的值, 使解故又由, 得（c 0）例5 證明在內(nèi)單調(diào)增加 . 證只要證只要證：三 、原函數(shù)與不定積分的概念定義 1 若函數(shù) F (x) 及 f (x)在區(qū)間 I

2、上滿足在區(qū)間 I 上的原函數(shù) .則稱 F (x) 為f (x) 2. 原函數(shù)的個數(shù)及原函數(shù)之間的關(guān)系 （1）若 F (x) 為f (x) 的原函數(shù)，則 F (x) +C亦然；（2）若 F (x)、G(x) 均為f (x) 的原函數(shù)， G(x)=F (x) +C則1. 原函數(shù)的定義結(jié)論原函數(shù)的一般表達式( C ：任意常數(shù) ) .初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)則必有原函數(shù)3. 原函數(shù)存在定理 （原函數(shù)存在定理）定理24. 不定積分定義的帶有任意常數(shù)項的上的不定積分, 積分號; 被積函數(shù); 被積表達式. 積分變量;( C 為任意常數(shù) )記作在區(qū)間 I 上，定義 2注？如不可丟 !例6設(shè)曲線通過點( 1 ,

3、 2 ) , 且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍, 求此曲線的方程解 曲線過點 ( 1 , 2 ) ,四、不定積分的性質(zhì)1.不定積分運算與導數(shù)性質(zhì)1 （互逆運算）（或微分）運算的互逆關(guān)系2. 線性運算性質(zhì)性質(zhì)2例7解 ( k 為常數(shù))五、 基本積分表（）積分表（）續(xù)1（或（或積分表（）續(xù)2例8由線性性例9小結(jié)2 套用基本積分公式（基本積分法）1 拆項、整理（用分配律、線性性）分子迎合分母例10（有理函數(shù)的積分）分子迎合分母小結(jié)例11用三角公式變形 分子迎合分母例12解分析先求 f (x) 的一個原函數(shù) F(x)，五、牛頓 萊布尼茨公式( 牛頓 - 萊布尼茨公式) 證由定理 2,故得記

4、作定理3函數(shù) ,則#例13 例14 求曲線的面積 . 解例15 汽車以每小時 36 km 的速度行駛 ,速停車,解 （1）先求剎車后車速及停車時刻t1初速度減速行駛速度得停車時刻剎車,問剎車距離? 到站需要減以等加速度（2）剎車距離例16解解（續(xù)）例9內(nèi)容小結(jié)1. 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì) 基本積分表 2. 直接積分法:恒等變形 基本積分公式常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì)思考題1. 若提示2. 求下列積分提示例2-1火車進站時,需要逐漸減速,設(shè)火車減速時的速度隨時間的變化為(公里/分)問火車應在距離站臺多遠的地方開始減速?解火車減速時間為減速的路程:減速的總路程便可以的到:例4-1解例5-1解例 6-1解例7-1解例7-2解例 8-1解分析原函數(shù) F(x)，則有可驗證：內(nèi)容小結(jié)1. 微積分基本公式牛頓 萊布尼茲公式2. 變限積分求導公式 備用題解1. 設(shè)可導，且滿足方程（*）對x求導：解設(shè)求定積分為常數(shù) ,設(shè), 則故應用積分法定此常數(shù) .2.3.求解 的遞推公式(n為正整數(shù)) . 由于因此所以其中4. 解 證明：4.證（續(xù)） 證明：例1-1解例1-2解所確定，即例1-3解求下列函數(shù)的