因子擇時模型的泛用框架

1、文獻概述文獻來源：Hua, R. , D. Kantsyrev , and E. Qian. Factor-Timing Model. Journal of Portfolio Management 39.1(2012):75-87.文獻摘要：本報告利用 Akaike 信息準則通過逐步納入條件變量，將靜態(tài)因子模型的最優(yōu)化框架推廣成了一個泛用的因子擇時模型。進一步地，本報告還導(dǎo)出了一些信息比率指標，用于追蹤該因子擇時模型的改進效率，并對改進各種途徑的影響進行了分析。文獻評述：對于多因子模型這種靜態(tài)因子模型而言，其核心邏輯一言以蔽之即尋找收益較高但風險較低的因子進行趨勢配置。但本報告表明，收益較低

2、而風險較高的因子同樣具有策略價值。在聯(lián)合正態(tài)分布的假設(shè)下，通過引入條件變量，本報告對價值策略、質(zhì)量策略和熱點策略使用的主要因子，利用條件模型的一般范式，構(gòu)建了因子擇時模型，值得戰(zhàn)術(shù)資產(chǎn)配置者參考。引言自 2007 年大蕭條和 2008 年金融危機以來，全球金融市場進入了一個伴隨以極端宏觀條件、波動率大幅提升、多市場相關(guān)性增強、貨幣和財政政策反饋不確定性頻發(fā)的未知時期。在此情況下，一些傳統(tǒng)的靜態(tài)權(quán)益投資策略陷入苦戰(zhàn)，很大程度可以歸因于其在某些量化因子上的不當行為。在靜態(tài)量化模型中，因子權(quán)重通?；陂L周期視角下的風險回報統(tǒng)計量，并在短時間內(nèi)難有較大的邊際變化。因此，盡管靜態(tài)量化模型能在長周期中最終

3、呈現(xiàn)良好表現(xiàn)，但也同時容易受到那些在短期內(nèi)對模型或者因子表現(xiàn)有不利影響的市場因素的影響。例如隨著市場波動的持續(xù)，靜態(tài)模型可能會面臨業(yè)績困難。而本報告發(fā)現(xiàn)，此時投資者可以通過因子擇時模型獲利。事實上，該模型成功將市場波動率轉(zhuǎn)化為全新的超額收益來源。與靜態(tài)模型的最大區(qū)別在于，動態(tài)模型的因子權(quán)重依賴于一組市場條件變量的時變信息。例如 S&P500 的隱含波動率指標 VIX 可以視為一個條件變量：當 VIX 較高時，更應(yīng)該逆市做多風險較高、同時做空動量較強的股票；而當 VIX 相對較低的時候，反其道而行之則可能更加有效。但無論如何，該策略的有效性取決于VIX 指標對動量的預(yù)期收益率和方差、估值和其他量

4、化因子的影響。顯然，因子擇時模型的權(quán)重依賴于收益率的條件期望和條件協(xié)方差。由于市場條件隨時而變，因子擇時模型給出的最優(yōu)權(quán)重自然也就隨時而變。而給定一個靜態(tài)模型后，為了構(gòu)造相應(yīng)的因子擇時模型，還需要給定條件變量集和觸發(fā)機制。此處采用的動態(tài)觸發(fā)機制類似于 Qian et al（. 2004）中的既有框架，而本報告的主要創(chuàng)新在于提供了一套如何篩選條件變量的方法。同時，本報告還通過導(dǎo)出有用的信息比率指標，展示了如何跟蹤模型改進，并驗證了該動態(tài)模型如何提升組合業(yè)績。本報告的目標是構(gòu)建一個泛用的、依據(jù)逐步增加的條件變量來進行因子擇時的模型。相比之下，現(xiàn)有文獻往往關(guān)注如何使用條件變量來提升動態(tài)資產(chǎn)配置策略的

5、業(yè)績，兩者視角確有不同。因子擇時模型的最優(yōu)權(quán)重本報告關(guān)注的變量主要有兩種，即因子收益率（factor return）和條件變量（conditional variable）。令Rt+1 = (Rt+1)N1 = N 個因子的時序收益率Vt = (Vt)K1 = K 個條件變量的時序取值為方便起見，后文總是在不至于混淆的情況下省略時間腳標。本報告總是假設(shè)因子收益率與條件變量服從多元正態(tài)分布(R) N (R) , (RRRV)VVVRVV假設(shè) v 是條件變量 V 的一個具體實現(xiàn)，根據(jù)條件期望公式，可以將 R 的條件均值（conditional mean）和條件協(xié)方差（conditional cova

6、riance）寫作R|v = R + R |v = RR 其中VVVV R = RV1(v V) = RV1 VR分別稱為因子收益和協(xié)方差的調(diào)整項。而條件模型最優(yōu)權(quán)重（conditional model optimal weights，CMOW）為M = 1R|v|v|v其中是某個由最優(yōu)化過程決定的常數(shù)（此處其實是最優(yōu)化組合的信息比率）。從公式可以看出，動態(tài)模型與靜態(tài)模型的區(qū)別在于因子收益率的調(diào)整項R和協(xié)方差矩陣的風險約化部分。條件變量的選擇研究模型排序的文獻汗牛充棟。由于一個具體模型往往由變量的選擇、參數(shù)的估計以及邏輯結(jié)構(gòu)的嵌套方式等具體特征所刻畫，因此對于特定問題而言，候選模型的適定性當然

7、取決于先驗的篩選邏輯。但金融市場過于復(fù)雜，通常很難找到一個一勞永逸的模型，因此只能寄希望于一組能從不同側(cè)面，洞見市場動力機制和內(nèi)部運作模式的近似模型作為替代。如何依據(jù)先驗知識，普世地尋找最優(yōu)模型的方法顯然超出了本報告的能力范圍。這方面的成功例子依賴于研究者的經(jīng)驗、知識和創(chuàng)造力。總體來說，研究者需要平衡“一大一小”兩方面的需求：一方面需要關(guān)注可信假設(shè)，使得候選模型集盡可能地??；另一方面則要保證候選模型集有適當?shù)囊?guī)模，以免遺漏那些合理的先驗?zāi)Ｐ汀Ｔ诒緢蟾骊P(guān)注的條件變量的選擇問題上，增加條件變量的數(shù)量雖然會增加模型的擬合精度并降低樣本內(nèi)殘差，但同時也會增加模型的樣本外預(yù)測誤差并降低擬合的可處理性。本

8、報告提供了一種基于 Akaike 信息準則的條件變量篩選方法，嘗試解答“到底需要納入多少條件變量”這一現(xiàn)實問題。Akaike 信息準則自從 19 世紀熱力學(xué)首次引入熵（entropy）的概念以來，該概念在包括信息論在內(nèi)多學(xué)科內(nèi)已經(jīng)有了廣泛使用。1951 年，Kullback 和 Leibler 提出了一種用來衡量兩個模型之間差異的測度，即大名鼎鼎的 KL 散度。 Akaike（1973）發(fā)現(xiàn)了 KL 散度和 Fisher 的極大對數(shù)似然之間的關(guān)系，并據(jù)此提出了一種用于篩選模型的方法。這種度量被 Akaike 稱之為信息準則（Akaike information criterion，AIC），形

9、式上是信息熵和模型復(fù)雜度的數(shù)量和：AIC = 2 ln L + 2其中 L 代表估計模型的似然函數(shù)，而代表模型的參數(shù)個數(shù)。粗糙地講，AIC 越小的候選模型越接近真實情況。本報告中，因子擇時模型的 AIC 形如AIC = T ln|v| + 2NK其中 T 是觀察的樣本數(shù)，N 代表量化因子個數(shù)，K 代表條件變量個數(shù)，其中似然函數(shù)由條件協(xié)方差矩陣的行列式給出|v| = det(|v)我們在此處簡要給出因子擇時模型 AIC 的推導(dǎo)過程。設(shè)因子收益率，條件收益率和殘差收益率之間的關(guān)系如下R = R|v + t特別地，我們假設(shè)殘差收益率是獨立同分布且對于時間序列 = 1,2, , 保持序列無關(guān)性（雖然此

10、條件可以放寬，但技術(shù)上我們需要用到偏似然估計），那么對于條件 v 而言，有似然函數(shù)L(v) = 1 exp 1T T 1 |(2)NT/2 |T/2|v2tt=1|v t其中指數(shù)部分有近似估計T T 1 T T 1 = TNt |v t|vt=1代入后有|vL(v) = (2e)NT/2 |1|T/2再注意到協(xié)方差矩陣的自由度為N(N + 1)/2，而條件變量與因子收益之間的關(guān)聯(lián)自由度為 NK，因子的截距自由度為 N，因此未化簡的 AIC 為AIC = NT ln 2 + 1 + T ln|v| + N(N + 1) + 2NK + 2N將與條件變量（v 或者 K）無關(guān)的常數(shù)去掉，最后即有AI

11、C = T ln|v| + 2NK更進一步，在分量上有|v = (ij|v ) = (i|vj|vij|v ) = D|v|v D|v其中D|v = diag(1|v, , N|v),|v = (ij|v)分別是條件標準差組成的對角陣和條件相關(guān)系數(shù)矩陣。從 AIC 的上述形式可以看到，在 T 和 N 給定的情況下，條件變量個數(shù)K 和協(xié)方差矩陣的行列式將在相反方向上影響 AIC。注意到i|v|v| = det(|v) = det(D|v)det(|v) det(D|v) = |v| i2因此當K越大時，數(shù)據(jù)擬合將越精細，因此資產(chǎn)條件方差將會變得越小，其行列式將變得更小，但由于 AIC 指標中的第

12、二項包含了條件變量數(shù)作為懲罰項，因此一味提升條件變量的個數(shù)可能會使 AIC 不降反升。從 AIC 的具體形式出發(fā)還可以得到一些有意思的推論。例如，假設(shè)資產(chǎn)之間的相關(guān)性都為 0，那么協(xié)方差陣是資產(chǎn)方差形成的對角陣，因此有AIC = 2T ln(1|v N|v) + 2NK故而當條件變量數(shù) K 固定時，最優(yōu)模型等于所有方差乘積最小的模型。再注意到協(xié)方差矩陣是個半正定陣，因此行列式在最極端的情況最小等于 0，此時的 AIC 則趨于負無窮。需要注意的是，有兩種比較簡單的情況會使得 AIC 等于負無窮。第一種情況，是某個因子的條件方差為零，此種情況代表模型可以精確預(yù)測某個因子收益。換而言之，利用該因子收

13、益率，可以設(shè)計一個無風險套利組合。第二種情況則是條件協(xié)方差矩陣退化，此時利用共線性性，同樣可以通過抵消某些因子回報設(shè)計出一個無風險套利組合。更有意思的是，如果考慮條件協(xié)方差矩陣的特征值1 2 N 0注意到|v| = 1 N那么AIC = T ln(1 N ) + 2NK = T ln i + 2NK上述公式表明，一個優(yōu)秀的條件變量會帶來條件協(xié)方差矩陣特征值的大比例衰減（簡單來說就是衰減的比例而非幅度才是決定條件變量優(yōu)劣的標準，將某個因子收益標準差從 100 衰減為 50 和從 1 衰減到 0.5 在 AIC上的效用是一樣的）。因此條件變量應(yīng)該選擇那些在協(xié)方差上解釋力度更顯著的變量。上述討論主要

14、是站在風險約化的視角，聚焦于如何依據(jù) AIC 指標選擇最優(yōu)的因子擇時模型。但作為同一枚硬幣的另一面，條件因子收益R |v也會受到 AIC 的影響，而且我們最終將會看到，這種影響表現(xiàn)為一系列的信息比率指標，從而決定因子擇時模型的效率。條件變量選擇的步驟本節(jié)將給出一個逐輪篩選條件變量的框架。設(shè) Si = 第 i 輪的最優(yōu)條件變量集AICi = 第 i 輪的 AIC初始狀態(tài)下，最優(yōu)條件變量集為空集，此時的 AIC 等于無條件 AICS0 = , AIC0 = T ln|RR|假設(shè)第 i 輪篩選已經(jīng)完成，那么通過納入剩余的候選條件變量 k，可以得到相應(yīng)的 AICAICi AICi,k如果存在一個候選條

15、件變量 k 使得AICi,k AICi那么跳轉(zhuǎn)到第 4 步；否則流程停止，此時最優(yōu)條件變量集即第 i 輪的條件變量集。更新第 i+1 輪的最優(yōu)條件變量集為Si+1 = Si k并跳轉(zhuǎn)到第 2 步。信息比率自從 Treynor and Black（1973）引入信息比率（information ratio，IR）超額收益的均值除以超額收益的標準差以來，該指標長期被奉為評價基金經(jīng)理主動管理能力的業(yè)績指標。因此，建立 IR 和 AIC 之間的關(guān)系，對于評價因子擇時模型的業(yè)績就顯得非常重要。本報告一共引入了 4 種不同的 IR 指標，用于追蹤因子擇時模型的改進，并展示了這些指標是如何依賴于條件收益率和

16、條件協(xié)方差。條件模型信息比率（CMIR=Q）本報告首先推導(dǎo) IR 的矩陣形式。考慮模型收益和模型方差如下Rm = (M)TR = m RT1R2 = (M)TM = 2 RT11R = RT1Rmmm下標 m 代表 model，因此模型的 IR 等于RmRT1R( T 1)1/2IRm = m = m (RT1R)1/2 = R R類比上述公式，條件模型信息比率（conditional model IR，CMIR）為：Q = IR= (RT 1R)1/2|v|v |v|v注意到R|v = R + R |v = RR 因此 CMIR 指標 Q 是調(diào)整項R和的函數(shù)。由于依賴于條件變量集的選擇，因此

17、 CMIR 也同樣依賴。簡單來說，CMIR 是的協(xié)變變量，VV即隨著后者的增加而增加，也隨著后者的減少而減少。更重要的是注意到R = RV1(v V)，因此 CMIR 也與條件變量的當前讀數(shù)有關(guān)，即它是一個時變的逐點測度。期望模型信息比率（EMIRH）期望模型信息比率（expected model IR，EMIR）是 CMIR 的關(guān)于因子收益率調(diào)整項分布的期望EMIR = RQ其中期望將遍歷所有可能的R。由于 EMIR 沒有解析表達，利用 Taylor 展開有IR R = IRR + (IR|v)TR R +1 RT 2(IR|v)R R + R3 |v|v|v|vR|v2(R2或者寫成IR|

18、vR|v1=: + R + 2 RT R + R3 其中|v = (RT 1R)1/2 = 1 RT 1|v = 1 1 3 (1 RRT1 )|v|v|v下面將逐項各部分對 IR 的影響。常數(shù)項：風險約化。可以看到基線模型信息比率（baseline model IR，BMIR）即上述公式中的|v = (RT 1R)1/2由于此時的期望收益R與靜態(tài)模型完全一致，因此 BMIR 的改進度量完全由風險約化決定。注意到|v = RR ，因此去掉被解釋部分后的條件協(xié)方差矩陣將會更“小”，其逆矩陣將會更“大”（無論是從模長、RR特征值還是算子演算的角度），因此 BMIR 會更大。特別地，BMIR 將比無

19、條件 IR，也就是(RT1 R)1/2來的更大。線性部分：和的交叉影響。從公式上，可以將此部分寫成一個內(nèi)積的形式，注意到內(nèi)積核|v的正定性，因此|v R = 1RT1R = 1R, R|v線性部分的變化完全由R和R的協(xié)變或者反變關(guān)系決定。當兩者協(xié)變時，該部分將使得 IR 增加，反之則會減少 IR 的數(shù)值。二次部分：擇時影響。該部分也可以寫成一個內(nèi)積形式：RT R = 1 R, R2可以斷言是半正定的，這意味著這部分總是對 I 有正的提升，而與條件變量的具體行為無關(guān)。特別地，當且僅當R是R的常數(shù)倍時，此部分對 IR 的影響為 0。為證明的半正定性，只需要注意到對于任意的 X 有XTX = 3RT

20、1R XT1X (XT 1RRT1X)|v|v|v|v|v= 3R,R|vX,X|v X, R2 0由于|的正定性以及內(nèi)積的 Schwarz 不等式即得。綜合上面三個部分的分析，最后可以得到：Q H = 1TRR + R + 2 R R1= + 2 R1 RT RRRT= + 2 tr R= (RT1R)1/21|v+ 2 tr其中 tr 代表的是矩陣的求跡運算。第二行的等式是因為線性部分在期望中零化。而從最終公式可以看到， 線性部分只對逐點的 CMIR 有貢獻，但對 EMIR 沒有貢獻。從上述公式可以看到，EMIR 只與有關(guān)，并不關(guān)心條件變量的具體實現(xiàn)（此部分信息將決定R）。這表明從 EMI

21、R 的視角來看，本報告選擇只關(guān)注風險約化的 AIC 作為因子擇時模型的挑選準則其實是合理的。正如本報告在前文提及的一樣，AIC 青睞于能產(chǎn)生更小的條件協(xié)方差的條件變量。而從 EMIR 指標的代理指標 H 的來看，無論是第一項還是第二項都會隨著的增加而增加。因此，本報告建議對因子擇時模型進行業(yè)績評價時應(yīng)該更加關(guān)注全局型的 IR 指標 EMIR，而非局部型的 IR 指標 CMIR。期望模型信息比率平方（EMIRS=X）雖然 EMIR 指標并無解析表達式，但是 Q 的平方期望有解析形式|vX = RQ2 = R(R + R)T1(R + R)|v= Rtr(R + R)T 1 (R + R)|v=

22、tr1R(R + R)(R + R)T|v= tr1(RRT + )中間的第二步和第三步分別利用了 tr 的性質(zhì)tr(a) = a, a tr(AB) = tr(BA),A nm, B mn和 EMIR 不一樣的是，此處的 EMIRS 并非近似值而是準確值。從 X 的公式可以看到，條件變量的使用能增加 X 的大小，這也意味著使用 AIC 作為因子擇時模型的評價指標其實非常合理。多階段信息比率（MPIR=P）在投資組合管理實踐中，投資經(jīng)理和投資顧問經(jīng)常使用實現(xiàn)的多階段信息比率（multi-period IR，MPIR）來評估策略附加值。但必須強調(diào)的是， MPIR 與 EMIR 不同。它需要首先計

23、算每個階段的模型收益，然后再計算收益的期望與收益的標準差之間的商作為 MPIR。和平均模型信息比率（average model IR，AMIR）不一樣的是，由于 IR是一個商，商的期望并不等于期望的商： 圖 1 給出了 EMIR 和 MPIR 之間的區(qū)別。為了計算 MPIR 指標 P，首先需要計算每一期的收益a = r T M = r T1R= (R+ )T 1Rtt|vt |v|v,t|v,tt|v|v,t其中rt = t 時刻已實現(xiàn)資產(chǎn)收益tM = t 時刻最優(yōu)化權(quán)重 R|v,t = t 時刻條件收益率 t = t 時刻殘差收益圖 1： EMIR 和 MPIR 之間的區(qū)別Hua et al

24、.（2012）此時 MPIR 等于aa XP = a = a2 a2 = a2 X2其中 X 即前文定義的 EMIRS。需要注意的是，此處a = (R+ )T 1R = X|v,tt|v|v,t這是因為R|vT期望零化。不幸的是，分母中的平方期望和 EMIR 一樣同樣沒有解析解，所以為了計算 MPIR 同樣需要進行數(shù)值計算。所以雖然 MPIR 是一個較好的行業(yè)基準，但 EMIR 顯然有著更好的可追蹤性，而兩者的差別則在一定程度上度量了因子擇時模型帶來的價值增量。實證結(jié)果本報告的實證周期始于 1994 年 1 月，終于 2009 年 5 月，共 185 個自然月，每次的預(yù)測期限為 1 個月。股票

25、池為 Citigroup Primary BMI 指數(shù)中市值較大的美國公司，月均股票數(shù)約為 410 家?；久婧凸乐禂?shù)據(jù)則來自 Worldscope 和 IDC 數(shù)據(jù)庫。因子描述和條件變量本報告選擇了三個因子：凈收益率（earning yield，E2P）、資產(chǎn)收益率（return on equity，ROE）和 6 個月價格動量（six-month price momentum， PM6）。之所以選擇上述三個因子主要出于下面兩種考慮。首先，上述因子都擁有較高的策略風險（即較高的因子收益率標準差）和較低的策略回報（即較低的因子收益率）。這是因為相對較高的策略風險將能在因子擇時模型中提供更高的超

26、額收益，而策略風險較小的因子則更適合靜態(tài)模型。其次，上述因子分別代表了三類不同的投資思路：價值策略（買入便宜公司）、質(zhì)量策略（買入優(yōu)質(zhì)公司）和動量策略（買入熱點公司）。因此可以檢驗因子擇時模型在不同的策略上的效果。條件變量的候選池則包括：S&P500 的隱含波動率指數(shù) VIX，最近 12 個月 S&P500 指數(shù)收益 SPX，美國消費者信心指數(shù) CC，日歷月指標 CAL，債務(wù)市值比價差 D2M，已經(jīng)凈市比價差 B2P。為消除前視偏差，條件變量的讀數(shù)都相對于其自身前 60 個月的數(shù)據(jù)進行了正則化處理，最終取值均在在 0 到 100 之間。其中 100 代表最高值，0 代表最低值，對于 CAL 指

27、標，其取值在 1 到 12 之間，其中 1 代表 1月，12 代表 12 月。表 1： 因子和條件變量的部分統(tǒng)計量Hua et al.（2012）表 1 展示了因子和條件變量之間的部分統(tǒng)計量。對于因子，Mean 一欄代表了因子取值和向后一期收益之間的平均秩 IC（average rank IC）。協(xié)方差矩陣則分為因子和因子之間的秩協(xié)方差，以及因子和條件變量之間的協(xié)方差。對于條件變量，Mean 一欄代表了條件變量的秩的平均值，協(xié)方差則是秩協(xié)方差。需要注意的是，由于正則化的窗口始終會向后移動，因此條件變量的均值和中位數(shù)并不見得始終是 50。條件變量的選擇本節(jié)將通過實例來展示最優(yōu)條件變量集的逐輪篩選

28、流程。在第一輪中，每個條件變量都會被單獨測試，表 2 給出了納入相應(yīng)條件變量后 AIC 和 IR 指標的取值。由于 Q 指標是一個時變指標，因此表格中僅展示了測試期末的 Q 指標數(shù)值。表 2： 條件變量初輪篩選Hua et al.（2012）表 2 顯示，H 確實是 EMIR 指標Q的一個良好的代理變量：它們的秩指標完全一致。而Q和 P 則存在不同，僅有 4/7 的數(shù)據(jù)保持一致。特別地，兩者的秩相關(guān)性為 0.89。表 3： 條件變量逐輪篩選Hua et al.（2012）表 4： 條件變量末輪篩選Hua et al.（2012）由于條件變量 D2M 擁有最低的 AIC 取值-576.4，因此其

29、將作為最優(yōu)條件變量集中的首個變量。表 3 展示了逐輪篩選后 AIC 值的變化趨勢。事實上，篩選流程終止于第三輪。盡管 IR 指標還在提升，但進一步納入新的條件變量將使得 AIC 不升反降。另外，雖然 B2P 是第二好的條件變量，但由于它與 B2P 存在高度的相關(guān)性（通過計算可得兩者的相關(guān)系數(shù) 等于0.82 = 639/782.7 773.5），因此最優(yōu)條件指標集并不包含該變量。雖然 AIC 指標的立足點是風險約化，但最終篩選出來的條件變量集帶來了最高的 EMIR。圖 2 展示了逐步篩選過程中，AIC 和 IR 指標的變化過程?？梢钥吹降谝惠喓Y選出的 D2M 帶來了 EMIR 最大幅度的提升，而

30、隨著 AIC 的逐步下降，H、X 和Q指標都單調(diào)上漲，而 CMIR 指標 Q則并未呈現(xiàn)出單調(diào)性。另外 MPIR 指標 P 的改進幅度明顯不及Q指標，并且在最后一輪篩選中出現(xiàn)了下降。圖 2： 逐步篩選過程對AIC 和 IR 的影響Hua et al.（2012）除此之外，有兩件事情值得關(guān)注。第一件是圖 2 再次驗證 H 指標確實是Q的優(yōu)秀的代理變量，因為從圖上可以看出，兩者的數(shù)值差異較小。第二件是盡管IR2 IR2，EMIRS 指標 X 也是追蹤 EMIR 指標Q變動情況的優(yōu)秀變量。事實上 X 和Q的相關(guān)系數(shù)高達 0.997，但 H 和Q之間的相關(guān)系數(shù)只有 0.985?？冃嵘齺碓捶治鲈谇拔南嚓P(guān)章節(jié)中，本報告已經(jīng)就 CMIR 的改進來源進行了分析。本節(jié)將對實證例子進行論證。常數(shù)項由于條件變量將協(xié)方差矩陣從RR約化為|v，這使得 EMIR 的常數(shù)項修正等于1 1(R T1 R)2 (RT1R)2RR|v在實證例子中，該部分共提升了 5.7%的信息比率（H 指標從 0.212 變?yōu)榱?0.224），相對較小。線性部分根據(jù)前述分析，線性部分對 EMIR 的貢獻是零。圖 3 展示了線性部分在 IR 上貢獻度的分布情況?？梢钥吹皆摬糠謱?IR 的貢獻從-0.653 到 1.181不等，但均值為 0。圖 3： 線性部分和二次部分對 IR 的貢獻Hua et al.（