原子的量子態(tài)玻爾模型

1、第二章原子的量子態(tài)：玻爾模型2.1 背景知識(shí)1900 年普朗克 (M.P1anck)為了解釋黑體輻射現(xiàn)象，提出了著名的量子假說(shuō)，但當(dāng)時(shí)很少有人注意他的文章， 更不要說(shuō)理解它了； 1905 年愛因斯坦 (A.Einstein) 在對(duì)光電效應(yīng)的研究中，提出了光量子的概念。 1913 年僅 28 歲的丹麥物理學(xué)家尼爾斯玻爾，卻創(chuàng)造性地把量子概念用到了當(dāng)時(shí)人們持懷疑的盧瑟福原于結(jié)構(gòu)模型解釋丁近 30 年的光譜之謎。下面我們將分別介紹普朗克的量子假說(shuō)、愛田斯坦的光量子概念和有關(guān)光譜的實(shí)驗(yàn)事實(shí)。黑體輻射一、黑體輻射的基本概念1黑體（絕對(duì)黑體）宏觀物體由大量微觀粒子 （原子、分子、電子、離子、團(tuán)簇、光子等）

2、構(gòu)成，這些粒子除了隨物體作一些整體運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)、振動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)）外，自身無(wú)時(shí)無(wú)刻不在進(jìn)行無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)熱運(yùn)動(dòng)。 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子作熱運(yùn)動(dòng)時(shí)， 其中帶電部分（仍是粒子） 將隨之作熱運(yùn)動(dòng)， 因而會(huì)向外輻射電磁波。 由于這種輻射是依靠熱運(yùn)動(dòng)能量的消耗來(lái)維持的， 故稱熱輻射。熱輻射是一種很常見的物理現(xiàn)象， 任何物體在任何溫度下均可發(fā)出熱輻射。 例如：當(dāng)人距離一個(gè)溫度比較高的物體 （電爐、熱鍋、夏天曬熱的路面等）較近時(shí)，會(huì)感覺到熱，冬天在沒(méi)有空調(diào)和暖氣的火車上要盡量“擠”在一起，人進(jìn)入長(zhǎng)期無(wú)人居住的房間會(huì)感覺到“陰” （主要是感受不到合適溫度范圍的熱輻射）等等。一般物體不僅能輻射電磁波， 而且能反射電磁波， 我

3、們所觀察到的物體 “顏色”是發(fā)射和反射同時(shí)起作用的結(jié)果。 物體發(fā)射和反射電磁波的能力與物體的溫度、材料、結(jié)構(gòu)、表面形狀、顏色和周圍環(huán)境因素等有關(guān)。當(dāng)我們觀測(cè)一般物體輻射特征時(shí)，不可避免地受到物體表面反射波的影響。 假如一個(gè)物體在任何溫度下對(duì)任何波長(zhǎng)的入射電磁波都能完全吸收而沒(méi)有反射，則稱該物體為絕對(duì)黑體，簡(jiǎn)稱黑體。對(duì)于黑體熱輻射的研究可以消除表面反射波的作用。黑體是一理想化的物體， 在現(xiàn)實(shí)生活中并不存在。 但我們可以利用人工方法制成一個(gè)十分接近于 黑體的物體，如圖所示。圖該物體由不透明（任何電磁波不能穿透）材料組成，中間為一空腔，壁上有一小孔。經(jīng)小孔進(jìn)入空腔的電磁波需經(jīng)多次反射才有可能從小孔射

4、出，而每次反射，腔壁都要吸收一部分能量， 以致于最后從小孔出射的電磁波能量已微乎其微。 所以把空腔可以近似看作黑體，空腔熱輻射可以近似看作黑體輻射。2能量密度與單色能密度在圖所示的空腔中充滿了電磁波， 我們稱之為輻射場(chǎng)。 在輻射場(chǎng)中單位體積內(nèi)的電磁波能量為能量密度， 用 u 表示。在輻射場(chǎng)中單位體積內(nèi)， 頻率 附近單位頻率間隔的輻射場(chǎng)（電磁波）能量為單色能密度，用 u（）或 u( ) 表示。一般來(lái)說(shuō)， u 和 u（）與空腔的材料、形狀、大小、顏色和溫度等有關(guān)，但是當(dāng)空腔輻射和吸收電磁波（能量）達(dá)到平衡時(shí)，空腔壁具確定的溫度 T（這種輻射為平衡輻射），根據(jù)熱力學(xué)第二定律可以證明： u 只與 T

5、有關(guān)， u（ ）只與 T 和 有關(guān)， u 和 u（）的關(guān)系為u Tu,T d0根據(jù)熱力學(xué)理論，容易證明： u(T)=aT 4, 但 u（）與 T 和 的關(guān)系熱力學(xué)理論無(wú)法給出。3 輻射出射度和單色輻射出射度剛才我們定義的 u 和 u（）是針對(duì)空腔內(nèi)部的輻射場(chǎng)來(lái)說(shuō)的，但這兩個(gè)量無(wú)法測(cè)量。我們只能觀測(cè)從小孔出射的電磁輻射的大小。 為此，定義兩個(gè)新的物理量：輻射出射度和單色輻射出射度。輻射出射度是指單位時(shí)間內(nèi)從物體表面單位面積上發(fā)射出的各種波長(zhǎng)的電磁波能量的總和，用M(T)表示。單色輻射出射度是指單位時(shí)間內(nèi)從物體表面發(fā)射的波長(zhǎng) 附近單位波長(zhǎng)間隔的電磁波能量總和，用M(,T) 表示。顯然，M (T)M

6、 (,T ) d0可以證明：M (T)1 cu(T )4T4，M( ,T)1 cu ( ,T )45.6705108Wm2K 4 ，稱為斯特蕃（J.Stefan,1835-1893）常量。二黑體平衡輻射的實(shí)驗(yàn)規(guī)律1基爾霍夫（）輻射定律任何物體的單色輻射出射度與單色吸收比之比，等于同一溫度下絕對(duì)黑體的單色輻射出射度。對(duì)于一個(gè)確定的物體，在確定的溫度下其發(fā)射和反射電磁波的能力是確定的，即單色輻射出射度和單色吸收比（ ,T ）, 溫度為 T 的物體吸收波長(zhǎng)在 到+d范圍內(nèi)的電磁波能量與相應(yīng)波長(zhǎng)的入射電磁波能量之比）是確定的，當(dāng)然這兩個(gè)量的比值也是確定的。如果有很多物體可以通過(guò)熱輻射交換能量，而且保持

7、相同的溫度， 說(shuō)明他們處在熱平衡狀態(tài)。 要保持溫度不變， 就要求輻射能量和吸收能量相同， 顯然對(duì)所有物體單色輻射出射度和單色吸收比的比值是相同的，即： M 1,TM 2,TM 0, T1,T2,T0, T下標(biāo) 0 表示絕對(duì)黑體。對(duì)于絕對(duì)黑體，單色吸收比為 1。顯然基爾霍夫輻射定律是成立的。對(duì)于黑體，沒(méi)有反射波的影響， 其單色輻射出射度反映了本身的輻射特征。 下面我們來(lái)分析以下黑體的單色輻射出射度的測(cè)量及結(jié)果。2黑體輻射的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果圖為測(cè)定黑體單色輻射出射度的原理圖，A 為黑體， C 為探測(cè)器。圖圖為處于平衡態(tài)的黑體在各種溫度下單色輻射出射度隨波長(zhǎng)變化的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果。由圖可以看出： 在每一溫度

8、下， M(,T) 隨 連續(xù)變化，在所有波段均有電磁波存在；每一條曲線均有一個(gè)極大值，對(duì)應(yīng)波長(zhǎng) m，隨溫度升高， m向短波方向移動(dòng)。對(duì)這些現(xiàn)象，維恩（ W.Wien,1864-1982）、瑞利（）和金斯（）進(jìn)行了深入研究。 維恩在 1896 年仿照麥克斯韋速率分布率，利用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法得到：wc1c2M,TeT5其中 c1 和 c2 為實(shí)驗(yàn)測(cè)量常數(shù)，分別為：c13.7010 16 焦耳 米2/ 秒c1.43102米開2利用維恩分布求極大值，容易得到b31T ,b 2.897756 10 m k，這就是維m恩位移定律。瑞利和金斯利用能量均分定理得到：R2 ckTM4其中 c 為真空中光速， k 為玻

9、爾茲曼常數(shù)。這兩種理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相符程度如何？讓我們來(lái)分析一下。從圖可以看出：維恩公式在短波范圍與實(shí)驗(yàn)符合很好，而在長(zhǎng)波段偏離實(shí)驗(yàn)曲線，其位移定律和實(shí)驗(yàn)也符合很好；瑞利和金斯結(jié)果在長(zhǎng)波段與實(shí)驗(yàn)相符，但在短波段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有明顯差異，這就是所謂的“紫外災(zāi)難”，其理論曲線無(wú)極值點(diǎn)。1900 年，德國(guó)物理學(xué)家普朗克 (Max Karl Ernst Ludwig Planck, 858分1947)析了維恩和瑞利金斯的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差別及各自公式的特點(diǎn)，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出了一個(gè)理論公式：MB,T2 hc 2151ehckT其中 h 為實(shí)驗(yàn)擬合常數(shù)，稱為普朗克常數(shù)，h6.626075510 34 J

10、s 。該公式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果幾乎分毫不差， 這一點(diǎn)引起了許多物理學(xué)家包括普朗克本人的極大興趣該公式與實(shí)驗(yàn)的吻合絕不是巧合，它必然反映了某種物理本質(zhì)。 H 代表什么？如何從理論上完整地推導(dǎo)該公式成了研究黑體輻射的核心。普朗克注意到在經(jīng)典理論中， 器壁內(nèi)分子、原子等被看作可以發(fā)射和吸收電磁波的“振子”，振子的能量可以連續(xù)變化，即電磁波和振子交換能量可以無(wú)限制地減小或增大。按照能量均分定理，振子平均能量為 kT，這一假定直接導(dǎo)致瑞利金斯結(jié)果。 要解決黑體輻射問(wèn)題， 必須拋棄振子能量連續(xù)的觀點(diǎn)， 重新計(jì)算振子平均能量。 于是他勇敢的 2 提出：振子的能量不能連續(xù)變化， 當(dāng)振子吸收和發(fā)射頻率為 的電磁波時(shí)，它

11、只能處于一些等間隔的能量狀態(tài)中，其能量為：Ennhn=0,1,2,h為普朗克常數(shù)根據(jù)經(jīng)典玻爾茲曼分布，振子處于能量為En 狀態(tài)的幾率為EnkTf Ence其中 c 為幾率歸一化常數(shù)，根據(jù)歸一化條件EnkT 1f Encen0n 011kTc1ehE nnhkTkTeen0n 0nhEnf En Enc nh ekTn 0n 0c11ln 11cckTkThce hc1kTnhnhcekTcekT11n 0n 0kTkT1hkT hhlne1hkThh1e1ekTekT1kT用上式代替瑞利金斯公式中的 kT，就可以得到普朗克公式。該公式在短波近似下可以過(guò)度到維恩公式，在長(zhǎng)波近似下可以得到瑞利金斯

12、公式。利用普朗克公式求極值， 可以得到維恩位移定律； 對(duì)普朗克公式關(guān)于 積分，可以得到斯特蕃定律。在上邊的推導(dǎo)過(guò)程中，利用了Ennh。按照現(xiàn)在的量子理論，振子的能量應(yīng)該是 En (n 12)h ，但該差別不會(huì)影響對(duì)普朗克公式的推導(dǎo)及對(duì)黑體輻射的解釋。普朗克的貢獻(xiàn)并不僅僅在于解釋黑體輻射的實(shí)驗(yàn)規(guī)律， 而在于第一次大膽地提出能量量子化的概念， 創(chuàng)立了量子論， 這是物理學(xué)史上的一次巨大變革， 從此結(jié)束了經(jīng)典物理學(xué)一統(tǒng)天下的局面。 所以說(shuō)普朗克是量子物理學(xué)的開創(chuàng)者和奠基人，是二十世紀(jì)最偉大的物理學(xué)家之一。普朗克本人因此獲 1918 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。黑體輻射實(shí)驗(yàn)規(guī)律的主要應(yīng)用是提供了測(cè)量高溫物體表面溫度的方法維恩位移定律和斯特蕃定律。光電效應(yīng)一光電效應(yīng)（ photoel