重慶市第三十七中學(xué)2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是（ ）ABCD2陀螺是中國(guó)民間較早的娛樂(lè)工具之一，但陀螺這個(gè)名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰

2、的帝京景物略一書中才正式出現(xiàn).如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，粗線畫出的是一個(gè)陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（ ）ABCD3已知向量滿足,且與的夾角為,則( )ABCD4在中，已知，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）ABCD5設(shè)為銳角，若，則的值為（ ）AB C D6過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，為切點(diǎn)，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，（ ）ABCD7等差數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和中最小的是（ ）A或BCD8已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，側(cè)棱平面，過(guò)作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個(gè)角的大小關(guān)系為( )ABCD9已知函數(shù)的零點(diǎn)為m，若存在實(shí)

3、數(shù)n使且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD10已知，則，的大小關(guān)系為（ ）ABCD11函數(shù)的圖象可能是（ ）ABCD12已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前 項(xiàng)和，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，復(fù)數(shù)且（為虛數(shù)單位），則_，_14若函數(shù)為偶函數(shù)，則_.15已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為_.16如果拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是6，那么_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，將的圖象向左移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，的一條對(duì)稱軸是，求在

4、的值域.18（12分）設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：.19（12分）以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，已知曲線，曲線（為參數(shù)），求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).20（12分）已知函數(shù)（）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.21（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式；（3）在第（2）問(wèn)的條件下，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；22（10分）已知不等式對(duì)于任意的恒成立

5、.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實(shí)數(shù)a，b，c滿足.求證.2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè)，再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求出重復(fù)數(shù)量，可得事件的樣本點(diǎn)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【題目詳解】樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè)， 具體分析如下：記正面向上為1，反面向上為0，三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”，有以下3種位置1_ _，_1_，_ _1剩下2個(gè)空位可是0或1，這三種排列的所

6、有可能分別都是，但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù)，重復(fù)數(shù)量為，事件的樣本點(diǎn)數(shù)為：個(gè)故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題2、C【答案解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成，由此計(jì)算出陀螺的表面積.【題目詳解】最上面圓錐的母線長(zhǎng)為，底面周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，下面圓錐的母線長(zhǎng)為，底面周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，沒(méi)被擋住的部分面積為，中間圓柱的側(cè)面積為.故表面積為，故選C.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3、A【答案解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開后利用數(shù)量積的性

7、質(zhì)即可.【題目詳解】.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、A【答案解析】在中，設(shè)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求，可得，再由已知條件求得，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【題目詳解】在中，設(shè)，即，即，即，又，則，所以，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、，為線段上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得，設(shè)，則，消去得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)

8、角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解是一個(gè)單位向量，從而可用、表示，建立、與參數(shù)的關(guān)系，解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計(jì)算能力，屬于難題.5、D【答案解析】用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算【題目詳解】故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式，解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系6、C【答案解析】判斷圓心與直線的關(guān)系，確定直線，關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質(zhì)求出，得，從而得【題目詳解】如圖，設(shè)圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)不在直線上，要滿足直線，關(guān)于直線對(duì)稱，則必垂直于直線，

9、設(shè)，則，,故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線的對(duì)稱性，解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角7、C【答案解析】設(shè)公差為，則由題意可得，解得，可得.令，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由此可得數(shù)列前項(xiàng)和中最小的.【題目詳解】解：等差數(shù)列中，已知，且，設(shè)公差為，則，解得，.令，可得，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故數(shù)列前項(xiàng)和中最小的是.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.8、B【答案解析】利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【題目詳解】如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

10、由圖可知過(guò)且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補(bǔ)角，分別為，設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，在中，；在中，；在中，.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計(jì)算，考查了學(xué)生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).9、D【答案解析】易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點(diǎn),通過(guò)已知可求得,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡(jiǎn)可得,借助對(duì)號(hào)函數(shù)即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點(diǎn)為，所以，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋?故選D【答案點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查了方程有解問(wèn)題,分離參數(shù)法

11、及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對(duì)勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,難度較難.10、D【答案解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.【題目詳解】依題意，得，.令，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對(duì)數(shù)式比較大小，屬于中檔題.11、A【答案解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)為偶函數(shù)，排除B、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，排除C選項(xiàng).故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象

12、，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法得出結(jié)果，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.12、B【答案解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【題目詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、 【答案解析】復(fù)數(shù)且，故答案為，14、【答案解析】二次函數(shù)為偶函數(shù)說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)為0，求得參數(shù)，將代入表達(dá)式即可求解【題目詳解】由為偶函數(shù)，知其一次項(xiàng)的系數(shù)為0，所以，所以，故答案

13、為：-5【答案點(diǎn)睛】本題考查由奇偶性求解參數(shù)，求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題15、【答案解析】連接，易得，可得四邊形的面積為，從而可得，進(jìn)而求出的取值范圍，可求得的范圍.【題目詳解】如圖，連接，易得，所以四邊形的面積為，且四邊形的面積為三角形面積的兩倍，所以，所以，當(dāng)最小時(shí)，最小，設(shè)點(diǎn)，則，所以當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，此時(shí)，因?yàn)殡S著的增大而增大，所以的取值范圍為.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.16、【答案解析】先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，列出，直接求出結(jié)果.【題目詳解】拋物線的

14、準(zhǔn)線方程為，由題意得，解得.點(diǎn)在拋物線上，故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【答案解析】（1）由題意利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求得的解析式，然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論；（2）由題意利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得，再根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論【題目詳解】由題意得（1）向左平移個(gè)單位得到，增區(qū)間：解不等式，解得，減區(qū)間：解不等式，解得.綜上可得，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）由題易知，因?yàn)榈囊粭l對(duì)稱軸是，所以，解得，.又因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，則

15、，所以在的值域是.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬于中檔題18、（1）（2）證明見解析【答案解析】（1）由已知可得，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，由，可求，時(shí)，由，可證，驗(yàn)證時(shí)，不等式也成立，即可得證.【題目詳解】（1）由可得，即，所以，解得，（2）當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，綜上，由可得遞增，時(shí)；所以，綜上：故.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，利用放縮法證明不等式，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.19、【答案解析】利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡(jiǎn)即可.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為

16、.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程，參數(shù)方程與普通方程間的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.20、 ()；()；()證明見解析.【答案解析】試題分析：將，求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的單調(diào)性證明，求出實(shí)數(shù)的取值范圍先求出、的通項(xiàng)公式，利用當(dāng)時(shí)，得，下面證明：解析：（）因?yàn)?，所以，切點(diǎn)為.由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即（）由，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）.故在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，,故在上為增函數(shù)，所以恒成立，故符合題意；當(dāng)時(shí)，由于，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必存在，使得，由于在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，,故在上為減

17、函數(shù)， 所以當(dāng)時(shí)，,故在上不恒成立，所以不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為（III）證明：由由（）知當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)， 故，故.下面證明：因?yàn)槎?，所以，即：點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立，借助第二問(wèn)的證明過(guò)程，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列的不等式，在求解的過(guò)程中還要求出數(shù)列的和，計(jì)算較為復(fù)雜，本題屬于難題21、（1）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.（3）【答案解析】（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（3）分類討論,當(dāng)

18、n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí),分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【題目詳解】（1）由題意可知,.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),也滿足上式.所以.（2）解法一：由（1）可知,即.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以,當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)所以以上個(gè)式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),所以,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.解法二：猜測(cè)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.猜測(cè)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：,命題成立；假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),當(dāng)時(shí),n為偶數(shù),由得故,時(shí),命題也成立.綜上可知, 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)同理,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),命題仍成立.（3）由（2）可知.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),的最大值是.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,只需,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案點(diǎn)睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用,分類討論奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參