微積分在物理競賽中的應(yīng)用

1、精選文檔求解在立體斜面上滑動的物體的速度一物體放在斜面上，物體與斜面間的摩擦因數(shù)恰巧知足tg，為斜面的傾角。今使物體獲取一水平速度V0而滑動，如圖一，求：物體在軌道上隨意一點(diǎn)的速度V與的關(guān)系，設(shè)為速度與水平線的夾角。解：物體在某一地點(diǎn)所受的力有：重力G，彈力N以及摩擦力f。摩擦力f老是與運(yùn)動速度V的方向相反，其數(shù)值fNmgcostgmgcosmgsin重力在斜面上的分力為G1，如圖二，將G1分解為兩個(gè)分力：G1是G1沿軌跡切線方向的分力，G1G1sinmgsinsin；G1是沿軌跡法向的分力，G1G1cosmgsincos，如圖三。依據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得運(yùn)動方程為G1fma（1）G1man（2）

2、由（1），a1(mgsinsinmgsin)gsin(sin1)m而dV,獲取dtdVgsin(sin1)dt,（3）.精選文檔式中是t的函數(shù)，可是這個(gè)函數(shù)是個(gè)未知函數(shù)，所以還不可以對上式積分，要想法在與t中消去一個(gè)變量，才能積分，注意到dtdS1dsd（4）VVd而ds表示曲線在該點(diǎn)的曲率半徑，依據(jù)（2）式，dmgsincosV2（5）m由式（3）（4）（5），可獲取dV(tgsec)d,VVdV(tgsec)d，V0V0積分，獲取lnVlncosln(sectg)ln(1sin)，V0VV0.1sin運(yùn)用積分法求解鏈條的速度及其時(shí)間一條勻質(zhì)的金屬鏈條，質(zhì)量為m，掛在一個(gè)圓滑的釘子上，一邊長

3、度為L1，另一邊長度為L2,并且0L2L1，如圖一。試求：鏈條從靜止開始滑離釘子時(shí)的速度和所需要的時(shí)間。m解：設(shè)金屬鏈條的線密度為.當(dāng)一邊長度為L1L2L1x，另一邊長度為L2x時(shí)受力如圖二所示，則依據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得出運(yùn)動方程(L1x)gT(L1x)a,.精選文檔T(L2x)g(L2x)a.則a(L1L2)2xg.L1L2因?yàn)閍dVdVdxVdVdtdxdt，所以dxVdV(L1L2)2xdxL1L2g,Vx(L1L2)2xVdV0gdx0L1L2VL12g(L1L2)xx2.L2令xL2,能夠求得鏈條滑離釘子時(shí)的速度大小V2L1L2gL1L2再由Vdx,獲取dtdx2g(L1L2)xx2d

4、tL1L2xdxt2gdt,0（L1L2）xx20L1L2積分，獲取ln2x(L1L2)2(L1L2)xx20 x2gt,L1L22x(L1L2)2(L1L2)xx22gt,lnL1L2L1L2令x=L2,能夠求得鏈條滑離釘子所需的時(shí)間為tL1L2lnL1L22L1L2L1L2lnL1L2.2gL1L22gL1L2.精選文檔求解棒著落過程中的最大速度在密度為1的液體上方有一懸掛的長為L,密度為2的平均直棒，棒的下端剛與液面接觸。今剪斷細(xì)繩，棒在重力和浮力的作用下下沉，若12，求：棒著落過程中的最大速度。解：剪斷細(xì)繩后，直棒在下沉過程中遇到重力G和浮力F的作用，如圖一所示。依據(jù)牛頓運(yùn)動定律，有m

5、gFmdV.（1）dt跟著棒往下沉，浮力漸漸增大。當(dāng)直棒所受協(xié)力為零，即Fmg時(shí)，棒的加快度為零，速度最大。設(shè)棒達(dá)到最大速度時(shí)，棒浸入液體中的長度為L1，設(shè)棒的截面積為S，則有1SL1g2SLg,解得，L12L.（2）1取x坐標(biāo)以下圖，則（1）式能夠?qū)憺?SLg1Sxg2SLdV.dt做變量代換，令dVdVdxVdV,代入上式，獲取dtdxdtdxx1(1)gdxVdV;兩邊積分，獲取L1x1)gdxV1(1VdV0L20獲取，gL11g(1L12)1V122L22將（2）式代入（3）式，得棒的最大速度為V12Lg.1.精選文檔運(yùn)用微分法求解阻尼平拋質(zhì)量為m的物體，以初速為V0，方向與地面成0

6、角拋出。假如空氣的阻力不可以忽視，并設(shè)阻力與速度成正比，即fkV，k為大于零的常數(shù)。求：物體的運(yùn)動軌道。解：依據(jù)受力狀況，列出牛頓運(yùn)動定律方程mgfma其重量式，fxkVxmax,（1）mgkVymay（2）將axdVx代入式（1），得dtdVxkVxm,改寫成dVxkdt,VxdVxtVxmV0 xVx0兩邊積分，獲取kdt,mktktVxV0 xemV0cosem.可見因?yàn)榭諝庾枇Φ拇嬖冢瑇方向的速度不再是常數(shù)，而隨時(shí)間漸漸衰減。因?yàn)閂xdx,再積分，并以t=0時(shí)x=0,代入獲取dtxV0 xm(1kt)V0cosktem0(1em).（3）kk同理，因?yàn)閍ydVy,式（2）轉(zhuǎn)變?yōu)閐tdV

7、ykVykmgdVykdtgm(Vy),dt.mkmgmVyk積分，并以t=0時(shí)，VyV0yV0sin0代入，獲取.精選文檔mgkVyt(V0sin0)emkmg.k可見，y方向的速度也不再是勻減速的。再將上式對時(shí)間積分，并以t=0時(shí)y=0代入，獲取mmgktmgy)(1emt.（4）(V0sin0)kkk由（3）（4）兩式消去t,獲取有阻力時(shí)的軌道方程y(tg0mg)xm2gln(1k)xm2gln(1kx).kV0cos0k2mV0cos0k2mV0cos明顯因?yàn)榭諝庾枇Φ淖饔?，拋體的軌道不再是簡單的拋物線了，實(shí)質(zhì)軌道將比理想軌道向左下方偏離，如圖一。比如：以初速620m/s,仰角450發(fā)

8、射的步槍子彈的射程，沒有空氣阻力時(shí)應(yīng)為40km,而實(shí)質(zhì)射程只有4km.求解飛機(jī)的滑行距離飛機(jī)以V0的水平速度觸地滑行著陸?；衅陂g遇到空氣的阻力為CxV2，升力為CyV2，其中V是飛機(jī)的滑行速度。設(shè)飛機(jī)與跑道間的摩擦系數(shù)為，試求：飛機(jī)從觸地到停止所滑行的距離。解：取飛機(jī)觸地址為.精選文檔坐標(biāo)原點(diǎn)，取飛機(jī)滑行方向?yàn)閤軸。飛機(jī)在水平方向上受力為：摩擦力fN，空氣阻力為fCxV2；在豎直方向上受力為：重力、支持力和升力FCyV2,如圖一所示，應(yīng)用牛頓第二定律，獲取NCxV2mdVdtNCyV2mg0.由上兩式消去N，獲取dVmdt利用dVdt獲取mVmg(CxCy)V2.dVdxVdV,dxdtdx

9、dVmg(CxCy)V2.dx分別變量，積分VmVdVxV0mg(CxCy)V2dx，0mmg(C獲取xln(C2(CxCy)mgxCy)V2.xCy)V02在飛機(jī)觸地的瞬時(shí)，VV0,支持力N=0,由運(yùn)動方程，獲取CyV02mg.于是xCyV02CyV02(CxCy)V22g(CylnCxV02.Cy)這就是飛機(jī)從觸地到停止所滑行的距離。社CyV090/,5（升阻比），0.10。代入數(shù)值計(jì)算后，獲取Cxx=221m.求解阻尼自由落體和阻尼豎直上拋的相遇問題兩小球的質(zhì)量均為m，小球1從離地面高度為h處由靜止著落，小球2在小球1的正下方地面上以初速V0同時(shí)豎直上拋。設(shè)空氣阻力與小球的運(yùn)動速率成正比

10、，比率系數(shù)為k(常量)。試求：兩小球相遇的時(shí)間、地址以及相遇時(shí)兩小球的速度。.精選文檔解：兩小球均受重力和阻力作用，取坐標(biāo)如圖一所示，兩小球的運(yùn)動方程可一致表示為d2ykVmg,m2dt它們運(yùn)動狀態(tài)的差異僅因?yàn)槌跏紬l件的不一樣而惹起的，故dVkVg,dtm分別變量dVkdt.Vgm關(guān)于小球1，初始條件為t0時(shí)，V100,y10h,故V10dVtkVgdt,0mkmgmtV1(1e).(1)關(guān)于小球2，初始條件是t=0時(shí)，V20V0,y200,故V1dVtkdt,V0g0mmgkt獲取V2（V0）emk由（1）式，獲取mg.（2）dy1mgk),tdtkdy1mg(1ktem)dtky1tdy1

11、h0積分，獲取kmg(1emt)dtk.精選文檔m2gktmgy1hemk2(1)t.k由式（2）獲取dy2(V0mg)edtkdy2(V0mg)ekktmktmmg,kmgdtkmgky2ttdy2(V0)em00k積分，獲取mgdtky2m(V0mg)ektkkmgkt兩小球相遇時(shí)，y1y2,相遇時(shí)間為t*，由（3（4）兩式，獲取kt*kt*kh,hmV0(1em)，em1kmV0故t*mln(1kh),kmV0把上述結(jié)果代入（3）或許（4），獲取兩小球相遇的地址y*(1mg)hm2gln(1kh).kV0k2mV0代入（1）（2），獲取兩小球相遇時(shí)的速度V1*mg1(1kh)gh;kmV

12、0V0V2*(V0mg)(1kh)mg(V0gh)kh.kmV0kV0m議論：（1）當(dāng)阻力很小時(shí)，即當(dāng)k0時(shí)，利用睜開式ln(1x)xx2,2上述結(jié)果簡化為t*h;y*hgh2;V1*gh,V2*V0gh.V02V0V0V0.精選文檔這正是不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。（2）當(dāng)考慮如提設(shè)的空氣阻力時(shí)，由上述結(jié)果可知，只在下述條件下mV0kh,或許V0kh,m兩小球才有可能相遇。在非慣性系中求解球環(huán)系統(tǒng)的運(yùn)動狀況一輕繩的兩頭分別連結(jié)小球A和小環(huán)B，球與環(huán)的質(zhì)量相等，小環(huán)B可在拉緊的鋼絲上作無摩擦的滑動，如圖一?，F(xiàn)使小球在圖示的平面內(nèi)搖動。求：小球擺離鉛垂線的最大角度時(shí)小環(huán)和小球的加快度。解：當(dāng)小球搖動

13、時(shí)，小環(huán)沿鋼絲做加快運(yùn)動。以小環(huán)B為參照系，則小球受重力和繩子拉力外，還受慣性力F慣maB的作用，如圖二。其加快度aA沿圓弧的切線方向。在最大擺角為時(shí)的運(yùn)動方程為TF慣sinmgcos0,mgsinF慣cosmaA小環(huán)B在水平方向的運(yùn)動方程為TsinmaB.解方程，獲取aBgsin2,aA2gsin。2(1sin2(1sin2)小球A相對地的加快度aAaAaB，取如圖二所示的坐標(biāo)系，則有aAxaAcosaBsin2g,2(1sin2)2sin2g.aAyaAsin2(1sin)旋轉(zhuǎn)液體的液面.精選文檔以等角速度旋轉(zhuǎn)的液體，液面的形狀怎樣求得？解答：假定它的剖面是一條曲線，Y軸是轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)面以Y

14、軸為對稱軸，此時(shí)在液面會獲取一正壓力R，R能夠同時(shí)供給向心力，和重力所以此中、都是常數(shù)，所以該剖面的曲線是拋物線，液面形狀是該拋物線繞Y軸的旋轉(zhuǎn)面。直接求sin(x)的導(dǎo)函數(shù).精選文檔從幾何上怎樣找到sin(x)的微分呢？解答：直接求dsind把改動，sin從變到，我們要認(rèn)識與之比，是一小段弦長，是斜線地區(qū)這個(gè)近似直角三角形的斜邊，此與之比之比能夠想成是cos四只蒼蠅飛翔問題.精選文檔有四只蒼蠅A,B,C,D分別位于平面上的1,1，-1,1，-1,-1，1,-1，以后它們一同以每秒1單位的速度行動，行動的方式為：A蒼蠅向來向著B蒼蠅湊近，B蒼蠅向來向著C蒼蠅湊近，C蒼蠅向來向著D蒼蠅湊近，D蒼

15、蠅向來向著A蒼蠅湊近，試問：1四只蒼蠅會在哪處相遇？2它們多久會相遇？3找出A蒼蠅的行動軌跡，并大概畫出。4計(jì)算A蒼蠅從開始到相遇的路徑長。5蒼蠅A會有什么樣的生理反響？解答：1、2：從物理相對運(yùn)動的點(diǎn)來看A的行進(jìn)方向一直和B的行進(jìn)方向保持垂直，你能夠想象蒼蠅挪動了瞬時(shí)以后，方向就立刻修正參照圖一、二、三，因?yàn)樗闹簧n蠅是做等速運(yùn)動，所以每一時(shí)刻以四只蒼蠅圍出來的四邊形會是正方形，行進(jìn)方向垂直加上等速于是當(dāng)時(shí)間愈久的時(shí)候，蒼蠅越來越湊近，正方形愈來愈小，最后會內(nèi)縮成一點(diǎn)，這一點(diǎn)會是原點(diǎn)，這就是他們相遇的地方。別的，A湊近B是垂直方向湊近，所以從B蒼蠅看來，A仍是以1單位/秒的等速向B湊近，本來A

16、、B的距離是2單位，所以需要秒的時(shí)間四只蒼蠅會相遇，的推論都相同，四只會一同相遇圖一圖二.精選文檔圖三3：我們將蒼蠅A的坐標(biāo)地點(diǎn)用極坐標(biāo)的方式表達(dá)，而B的地點(diǎn)就是要注意的是：和都是的函數(shù).精選文檔而A的速度是此向量要與平行，于是如果，初始值，。()其軌跡以下列圖所示事實(shí)上我們一定注意到，在的情況下會有的推論，我們不如用積分式算出時(shí)刻走了多少路：等式右側(cè)是速度乘上時(shí)間，在的時(shí)候，。所以其實(shí)蒼蠅A的軌跡應(yīng)為上述議論要表達(dá)的是說，加上這一點(diǎn)是需要的，并且加上.精選文檔那一點(diǎn)后，軌跡仍是連續(xù)的能夠想一下怎樣定義在端點(diǎn)的連續(xù)性4：由35：由3得悉在到2的時(shí)候，換言之，在以前已轉(zhuǎn)了無窮多圈，于是蒼蠅會“頭

17、昏”。雪球消融假定雪球消融的速率與表面積成正比，如有一個(gè)半徑為10公分的雪球，在氣溫氣壓皆固定的狀況之下，在5分鐘后消融為一個(gè)半徑5公分的雪球，請問雪球完整消融需要多少時(shí)間？解答：假定此雪球在時(shí)間分鐘時(shí)的半徑為公分，由題意可知，又雪球消融的速率與表面積成正比，雪球消融的速率即雪球體積的變化率，雪球的體積為，表面積為，所以有為一比率常數(shù)，因?yàn)轶w積隨時(shí)間經(jīng)過而減少，可知為常數(shù)，由，可解出，由此可看出雪球的半徑隨時(shí)間經(jīng)過等速率減少，雪球完整消融時(shí)，所以雪球在10分鐘后完整消融。.精選文檔雨中行車若你駕駛一輛風(fēng)玻璃與地面垂直的吉普車欲從甲地到乙地，此時(shí)天正下著雨，假定所有雨滴皆以速度u垂直落下，且平均

18、的散布在空氣中，請問你是該開的快一點(diǎn)或是慢一點(diǎn)，才能使落在擋風(fēng)玻璃的雨水總量最少？解答：圖一假定每立方公尺中有克的雨水，若車子以速度v行進(jìn)，以車子為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)來看，則雨水以水平速度v，垂直速度u朝車子而來,假定速度與水平夾角，則對單位面積的擋風(fēng)玻璃來說，在到間，落在其上的雨水正好是時(shí)，單位面積上高為，傾斜角度的圓柱內(nèi)的水如圖二圖二總合有克，所以單位時(shí)間內(nèi)單位面積所接收的雨水為，若甲到乙地距離，擋風(fēng)玻璃總面積，則從甲以等速v開車到乙擋風(fēng)玻璃所接收的雨水共有為一常數(shù)，與沒關(guān)。若并不是以等速行車，結(jié)果又會是怎樣呢？假定v為t的函數(shù)，寫成，.精選文檔單位時(shí)間內(nèi)單位面積接收的雨水為，假定在時(shí)間后從甲抵達(dá)乙

19、，則。則從甲到乙所接收的總雨量為依舊是一個(gè)常數(shù)，與v沒關(guān)，也就是說不論怎么開，落在擋風(fēng)玻璃上總雨量都是固定的。工人拉船碼頭上，有一個(gè)圓筒狀鐵柱，從船上拋出一根繩索，一端固定在船尾，另一端繞鐵柱三圈后由一工人拉著，假定工人施力10公斤，繩索與鐵柱的磨擦系數(shù)是1/3，請問船尾受力多大？解答：在繩索與鐵柱有的接觸時(shí)，拉力會供給湊近的正壓力給鐵柱，所以有，積分得，此中就是10公斤，而，所以。.精選文檔錄音帶假如你曾注意過收音機(jī)帶動錄音帶的情況，相信你會發(fā)此刻收聽或許快轉(zhuǎn)的時(shí)候，在左方的輪子會逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以帶動磁帶，而本來在右方的磁帶地方就會被向來帶動，最后會繞到左方的輪子上。此刻我們考慮二個(gè)問題：兩個(gè)

20、輪子磁帶半徑的變化率之比為多少？假如我知道錄音帶從一開始左方的輪子沒有磁帶，所有磁帶都在右方的輪子上轉(zhuǎn)到一半(左方的磁帶量右方的磁帶量時(shí)，需要一分鐘，并且輪1的轉(zhuǎn)速一直保持必定值，那么錄音帶所有轉(zhuǎn)完的時(shí)候需要幾分鐘呢？解答：假如你曾注意過收音機(jī)帶動錄音帶的情況時(shí)，就會發(fā)現(xiàn)到，在收聽或許快轉(zhuǎn)的時(shí)候，在1處的輪子會逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以帶動磁帶，而磁帶本來在2的地方就會被向來帶動，最后會繞到輪子1上。此刻我們想要考慮兩個(gè)問題：1.記為1號輪子在時(shí)刻所繞出的磁帶的半徑，為2號輪子在時(shí)刻磁帶形成圓形的半徑，它們會隨而變化，那么兩半徑的變化率之比即為什么？假如我知道錄音帶從一開始輪1沒有磁帶，所有磁帶都在輪2上

21、轉(zhuǎn)到一半輪1的磁帶量輪2的磁帶量時(shí)，需要一分鐘，并且輪1的轉(zhuǎn)速一直保持必定值，那么錄音帶所有轉(zhuǎn)完的時(shí)候需要幾分鐘？第一個(gè)問題其實(shí)其實(shí)不難，假如注意到磁帶的總量一直保持必定，另一個(gè)角度想就是兩磁帶所繞出的兩個(gè)圓形面積總和是固定的，于是會有常數(shù)，對微分后獲取.精選文檔第二個(gè)問題我們能夠試著用積分的方法解決，第一注意到因?yàn)檗D(zhuǎn)速是必定記為，所以半徑是和成正比，于是不如令比方說輪子每秒轉(zhuǎn)10圈，那么一秒后半徑就多了10個(gè)磁帶的厚度，兩秒后半徑就多了20個(gè)磁帶的厚度此外，我們相同是以圓面積代表磁帶量，所以一分鐘時(shí)轉(zhuǎn)了總長的一半，是一比例常數(shù)欲解時(shí)的值。所以帶子所有轉(zhuǎn)完需要分鐘。.精選文檔撞球問題你知道撞球的時(shí)候球桿應(yīng)當(dāng)打在哪里最好嗎？解答：察看1：假如球桿打在撞球的中央如圖A處則球有速度，可是無旋轉(zhuǎn)的角速度，這樣一來球和布會有摩擦，布會壞掉，可見這不是最正確的點(diǎn)。球桿應(yīng)打在讓球產(chǎn)生全轉(zhuǎn)動而不滑動，這是最正確的點(diǎn)。察看2：若球一開始有滑動，不久球會開始轉(zhuǎn)動，滾速會增添，挪動速度會減少，而質(zhì)心速度會增添，到最后會有，即轉(zhuǎn)動而不滑動，而摩擦力會消逝。一些記號：球的質(zhì)心速度：球轉(zhuǎn)動的角速度：球的半徑：球的轉(zhuǎn)動慣量：球的質(zhì)量由物理學(xué)的角度來看，一剛性物體的