北師大版七年級(jí)下222222233全等三角形壓軸題分類解析

1、七年級(jí)下三角形綜合題歸類一、雙等邊三角形模型1.（1）如圖7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，訂交于點(diǎn)E，連結(jié)BC求AEB的大?。唬?）如圖8，OAB固定不動(dòng)，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小.CBBCEEDOAOAD圖7圖8同類變式：如圖a，ABC和CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共極點(diǎn)C，連結(jié)AF和BE.線段AF和BE有如何的大小關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)將圖a中的CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)必定的角度，獲得圖b，(1)中的結(jié)論還建立嗎?作出判斷并說(shuō)明

2、原因；(3)若將圖a中的ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)必定的角度，請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)變換后的圖形c(草圖即可)，(1)中的結(jié)論還建立嗎?作出判斷不用說(shuō)明原因.圖c如圖9，若ABC和ADE為等邊三角形，M,N分別為EB,CD的中點(diǎn)，易證：CDBE，AMN是等邊三角形（1）當(dāng)把ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖10的地點(diǎn)時(shí)，CDBE能否仍舊建立？若建立,請(qǐng)證明；若不建立，請(qǐng)說(shuō)明原因；（2）當(dāng)ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖11的地點(diǎn)時(shí)，AMN能否仍是等邊三角形？假如，請(qǐng)給出證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由圖9圖10圖11同類變式：已知，如圖所示，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且點(diǎn)B，A，D在一條直線上，連結(jié)BE，CD，M，N分

3、別為BE，CD的中點(diǎn)（1）求證：BECD；AMAN；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180o，其余條件不變，獲得圖所示的圖形請(qǐng)直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論能否仍舊建立.CCNNEDAMBBADMDE圖圖A4.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連結(jié)GBG與DE訂交于點(diǎn)H（1）證明：ABGADE；CH（2）試猜想BHD的度數(shù)，并說(shuō)明原因；FE（3）將圖中正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0BAE180），設(shè)ABE的面積B為S1，ADG的面積為S2，判斷S1與S2的大小關(guān)系，并賜予證明5.已知：如圖，ABC是等邊三角形，過(guò)AB邊上的點(diǎn)D作DGBC，交AC于點(diǎn)G，在GD的延

4、伸線上取點(diǎn)E，使DEDB，連結(jié)AE，CD1）求證：AGEDAC；2）過(guò)點(diǎn)E作EFDC，交BC于點(diǎn)F，請(qǐng)你連結(jié)AF，并判斷AEF是如何的三角形，試證明你的結(jié)論AEDGBFC二、垂直模型（該模型在基礎(chǔ)題和綜合題中均為要點(diǎn)觀察內(nèi)容）考點(diǎn)1：利用垂直證明角相等如圖，ABC中，ACB90，ACBC，AE是BC邊上的中線，過(guò)C作CFAE，垂足為F，過(guò)B作BDBC交CF的延伸線于D求證：（1）AECD；（2）若AC12cm，求BD的長(zhǎng)2.（西安中考）如圖(1),已知ABC中,0且B、CBAC=90,AB=AC,AE是過(guò)A的一條直線,A、E的異側(cè),BDAE于D,CEAE于E。圖(1)圖(2)圖(3)試說(shuō)明:B

5、D=DE+CE.若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(2)地點(diǎn)時(shí)(BDCE),其余條件不變,問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何?寫出結(jié)論,可不說(shuō)明原因。3.直線CD經(jīng)過(guò)BCA的極點(diǎn)、BECCFAC，CA=CBEF分別是直線CD上兩點(diǎn)，且（1）若直線CD經(jīng)過(guò)BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下邊兩個(gè)問(wèn)題：如圖1，若BCA90o,90o，則EFBEAF（填“”，“”或“”號(hào)）；如圖2，若0oBCA180o，若使中的結(jié)論仍舊建立，則與BCA應(yīng)知足的關(guān)系是；2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)BCA的外面，BCA，請(qǐng)研究EF、與BE、AF三條線段的數(shù)目關(guān)系，并賜予證明BBBFDEAEEFDCCCAAFD圖1圖2圖3考點(diǎn)2

6、：利用角相等證明垂直已知BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，試確立AP與AQ的數(shù)目關(guān)系和地點(diǎn)關(guān)系QAFDEPBC2.如圖，在等腰RtABC中，ACB=90，D為BC的中點(diǎn)，DEAB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BFAC交DE的延伸線于點(diǎn)F，連結(jié)CF求證：CD=BF；求證：ADCF；連結(jié)AF，試判斷ACF的形狀.拓展穩(wěn)固：如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，求證：ADCBDEACB90，AD是BC邊上的中線，過(guò)C作AD的垂線，交CFDABE圖9如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連結(jié)AE，GC.（1）試猜想AE與GC有如何的地點(diǎn)關(guān)系，并證明

7、你的結(jié)論；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使E點(diǎn)落在BC邊上，如圖2，連結(jié)AE和GC.你以為（1）中的結(jié)論能否還建立？若建立，給出證明；若不建立，請(qǐng)說(shuō)明原因.4.如圖1，ABC的邊在直線l上，ACBC,且ACBC,EFP的邊FP也BC在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EFFPAB1在圖1中，請(qǐng)你經(jīng)過(guò)察看、丈量，猜想并寫出與AP所知足的（）數(shù)目關(guān)系和地點(diǎn)關(guān)系；（2）將EFP沿直線l向左平移到圖2的地點(diǎn)時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q,連結(jié)AP,BQ.猜想并寫出BQ與AP所知足的數(shù)目關(guān)系和地點(diǎn)關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；（3）將EFP沿直線l向左平移到圖3的地點(diǎn)時(shí)，EP的延伸線交AC的延伸線于點(diǎn)Q,連

8、結(jié)AP,BQ,你以為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)目關(guān)系和地點(diǎn)關(guān)系和地點(diǎn)關(guān)系還建立嗎？若成立，給出證明；若不建立，請(qǐng)說(shuō)明原因.AEA(E)EAlQFPBCBC(F)P(3)QlBFCP(1)l(2)三、等腰三角形（中考重難點(diǎn)之一）考點(diǎn)1：等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用AFE1.如圖，ABC中，ABAC，BAC90，D是BC中點(diǎn)，EDFD，ED與AB交于E，BDCFD與AC交于F求證：BEAF，AECF2.oo角的三角板ADE和三角板ABC，如下圖擱置，E,A,C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，兩個(gè)全等的含30，60取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME,MC試判斷EMC的形狀，并說(shuō)明原因MBDECA壓軸題拓展：（三線合一

9、性質(zhì)的應(yīng)用）已知RtABC中，ACBC，C90，D為AB邊的中點(diǎn)，EDF90，EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延伸線）于E、F當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時(shí)（如圖1），易證SDEFSCEF1SABC當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC2不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種狀況下，上述結(jié)論能否建立?若建立，請(qǐng)賜予證明；若不建立，SDEF，SCEF，SABC又有如何的數(shù)目關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明AAADDEDECBFCFBCBEF圖1圖2圖3已知：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE均分ABC，且BEAC于E，與CD訂交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE訂交于點(diǎn)G

10、。(1)BF=AC(2)CE=1BF(3)CE與BC的大小關(guān)系如何。2考點(diǎn)2：等腰直角三角形（45度的聯(lián)想）如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延伸線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角極點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與CBM的均分線BF訂交于點(diǎn)F.如圖141，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)地點(diǎn)時(shí)：經(jīng)過(guò)丈量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF知足的數(shù)目關(guān)系是；連結(jié)點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF知足的數(shù)目關(guān)系是；請(qǐng)證明你的上述兩猜想.如圖142，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的隨意地點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N,使得NE=BF，從而猜想此時(shí)DE與EF有如何的數(shù)目關(guān)系并證明2.

11、在RtABC中，ACBC，ACB90，D是AC的中點(diǎn)，DGAC交AB于點(diǎn)G.（1）如圖1，E為線段DC上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DG上，且DE=DF，連結(jié)EF與CF，過(guò)點(diǎn)F作FHFC，交直線AB于點(diǎn)H求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)目關(guān)系并加以證明（2）若E為線段DC的延伸線上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上，(1)中的其余條件不變，借助圖2畫(huà)出圖形。在你所繪圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論能否發(fā)生改變（本小題直接寫出結(jié)論，不用證明）BBHGGFADECADCE圖1圖2同類變式：（期末考試原題哦）已知：ABC為等邊三角形，M是BC延伸線上一點(diǎn)，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且6

12、0o角的極點(diǎn)E在BC上滑動(dòng)，（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），斜邊與ACM的均分線CF交于點(diǎn)F（1）如圖（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊得中點(diǎn)地點(diǎn)時(shí)1猜想AE與EF知足的數(shù)目關(guān)系是.2連結(jié)點(diǎn)E與邊得中點(diǎn)，猜想和知足的數(shù)目關(guān)系是.3請(qǐng)證明你的上述猜想；AA（）如圖（）當(dāng)點(diǎn)在邊F得隨意地點(diǎn)時(shí)，和EF有如何的數(shù)目關(guān)系，并說(shuō)明你的原因？NFBCBECMM圖（2）圖（1）四、角均分線問(wèn)題1.如圖：E在線段CD上，EA、EB分別均分DAB和CBA,AEB=90,設(shè)ADx,BCy，且x,y知足x2y26x8y250EC（1）求AD和BC的長(zhǎng)；（2）你以為AD和BC還有什么關(guān)系？并考證你的結(jié)論；D（3）你能求出AB的長(zhǎng)度嗎？若能

13、，請(qǐng)寫出推理過(guò)程；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明原因.AB2.如圖，OP是MON的均分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參照這個(gè)作全等三角形的方法，解答以下問(wèn)題：1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的均分線，AD、CE訂交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)目關(guān)系；2）如圖，在ABC中，假如ACB不是直角，而(1)中的其余條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論能否仍然建立？若建立，請(qǐng)證明；若不建立，請(qǐng)說(shuō)明原因。BMBEEFDFDOPACC圖NA圖圖(第23題圖)3.(北京市中考模擬試題)如圖，在四邊形ABCD中，AC均分BAD，過(guò)C作C

14、EAB于E，而且AE1ADC等于多少？(ABAD)，則ABC2DCAEB4.如圖，ABC中，AD均分BAC，DGBC且均分BC，DEAB于E，DFAC于F.A（1）說(shuō)明BE=CF的原因；（2）假如AB=a，AC=b，求AE、BE的長(zhǎng).EGBCFD五、中點(diǎn)問(wèn)題1.在ABC中,D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于點(diǎn)G。DEGF,并交AB于點(diǎn)E.連結(jié)EG.1）求證:BGCF；2）請(qǐng)猜想BECF與EF的大小關(guān)系,并加以證明2.如右以下圖，在ABC中，若B2C，ADBC，E為BC邊的中點(diǎn)求證：AB2DEABDEC3.已知ABC中，ABAC，BD為AB的延伸線，且BDAB，CE為ABC的AB邊上的中線求證CD2CE（提示：倍長(zhǎng)中線試一試）CAEBD附帶思慮題：以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90.連結(jié)DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)研究：AM與DE