湖南平江二中2021-2022學年高二數學第二學期期末綜合測試試題含解析

1、2021-2022高二下數學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 “大衍數列”來源于乾坤譜中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華

2、傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.大衍數列前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數列第20項為（ ）A180B200C128D1622在區(qū)間上任取兩個實數a，b，則函數無零點的概率為（）ABCD3某大學推薦7名男生和5名女生參加某企業(yè)的暑期兼職，該企業(yè)欲在這12人中隨機挑選3人從事產品的銷售工作，記抽到的男生人數為，則（）A2BCD4把4個蘋果分給兩個人，每人至少一個，不同分法種數有()A6B12C14D165設隨機變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值是（ ）（注：若，則，）A7539

3、B7028C6587D60386已知定義在R上的偶函數（其中e為自然對數的底數），記，則a，b，c的大小關系是（ ）ABCD7函數的最大值為（ ）AB1 CD8觀察下列各式：則（）A28B76C123D1999定義函數為不大于的最大整數，對于函數有以下四個命題：；在每一個區(qū)間，上，都是增函數；的定義域是，值域是.其中真命題的序號是（ ）ABCD10觀察如圖中各多邊形圖案，每個圖案均由若干個全等的正六邊形組成，記第個圖案中正六邊形的個數是.由，可推出（ ）ABCD11下列四個結論：在回歸分析模型中，殘差平方和越大，說明模型的擬合效果越好；某學校有男教師60名、女教師40名，為了解教師的體育愛好情

4、況，在全體教師中抽取20名調查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣；線性相關系數越大，兩個變量的線性相關性越弱；反之，線性相關性越強；在回歸方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預報變量增加0.5個單位.其中正確的結論是（ ）ABCD12下列求導運算正確的是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設是等差數列的前項和，已知，則_.14復數的共軛復數_.（其中為虛數單位）15已知函數f（x）x33x+1，則函數yf（x）的單調遞減區(qū)間是_16設，則的展開式中的常數項為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數,（）.（1）當時，求的單

5、調區(qū)間；（2）設點，是函數圖象的不同兩點，其中，是否存在實數，使得，且函數在點切線的斜率為，若存在，請求出的范圍；若不存在，請說明理由.18（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）當時，記函數在上的最大值為，證明：.19（12分）某市政府為了節(jié)約生活用電，計劃在本市試行居民生活用電定額管理，即確定一戶居民月用電量標準a，用電量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費為此，政府調查了100戶居民的月平均用電量單位：度，以，分組的頻率分布直方圖如圖所示根據頻率分布直方圖的數據，求直方圖中x的值并估計該市每戶居民月平均用電量的值；用頻率估計概率，利用的結果，假設該市每戶居民月平均用電量

6、X服從正態(tài)分布估計該市居民月平均用電量介于度之間的概率；利用的結論，從該市所有居民中隨機抽取3戶，記月平均用電量介于度之間的戶數為，求的分布列及數學期望20（12分）已知復數，是的共軛復數，且為純虛數，在復平面內所對應的點在第二象限，求.21（12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，以AC的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N. （1）求證：平面ABM平面PCD；（2）求直線CD與平面ACM所成角的大?。唬?）求點N到平面ACM的距離.22（10分）已知函數.（1）已知函數只有一個零點，求的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍參考

7、答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據前10項可得規(guī)律：每兩個數增加相同的數，且增加的數構成首項為2，公差為2的等差數列。可得從第11項到20項為60，72,84,98,112,128,144,162,180,200.所以此數列第20項為200.故選B?！军c睛】從前10個數觀察增長的規(guī)律。2、D【解析】在區(qū)間上任取兩個實數a，b，其對應的數對構成的區(qū)域為正方形，所求事件構成的區(qū)域為梯形區(qū)域，利用面積比求得概率.【詳解】因為函數無零點，所以，因為，所以，則事件函數無零點構成的區(qū)域為梯形，在區(qū)間上任取兩個實數a，

8、b所對應的點構成的區(qū)域為正方形，所以函數無零點的概率.【點睛】本題考查幾何概型計算概率，考查利用面積比求概率，注意所有基本事件構成的區(qū)域和事件所含基本事件構成的區(qū)域.3、B【解析】依題意可得，X的可能取值為0,1,2,3，分別求出概率，再由期望公式即可求出【詳解】依題意可得，X的可能取值為0,1,2,3，則，所以【點睛】本題主要考查離散型隨機變量期望的求法4、C【解析】給兩個人命名為甲、乙，根據甲分的蘋果數進行分類即可求出【詳解】按照分給甲的蘋果數，有種分法，故選C【點睛】本題主要考查分類加法計數原理的應用5、C【解析】由題意正方形的面積為，再根據正態(tài)分布曲線的性質，求得陰影部分的面積，利用面

9、積比的幾何概型求得落在陰影部分的概率，即可求解，得到答案【詳解】由題意知，正方形的邊長為1，所以正方形的面積為 又由隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關于對稱，且，又由，即，所以陰影部分的面積為，由面積比的幾何概型可得概率為，所以落入陰影部分的點的個數的估計值是，故選C【點睛】本題主要考查了正態(tài)分布密度曲線的性質，以及面積比的幾何概型的應用，其中解答中熟記正態(tài)分布密度曲線的性質，準確求得落在陰影部分的概率是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題6、A【解析】先根據函數奇偶性，求出，得到，再由指數函數單調性，以及余弦函數單調性，得到在上單調遞增，進而可得出結果.【詳解】因為是定

10、義在R上的偶函數，所以，即，即，所以，解得：，所以，當時，因為是單調遞增函數，在上單調遞減，所以在上單調遞增，又，所以，即.故選：A.【點睛】本題主要考查由函數單調比較大小，由函數奇偶性求參數，熟記函數單調性與奇偶性即可，屬于?？碱}型.7、A【解析】由題意求得導數，得到函數單調性，即可求解函數的最大值，得到答案.【詳解】由題意，可得，當時，則函數單調遞增；當時，則函數單調遞減，所以函數的最大值為，故選A.【點睛】本題主要考查了利用導數求解函數的最值問題，其中解答中求得函數的導數，得出函數的單調性是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、C【解析】試題分析：觀察可得各式的值構成數列

11、1，3，4，7，11，其規(guī)律為從第三項起，每項等于其前相鄰兩項的和，所求值為數列中的第十項繼續(xù)寫出此數列為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十項為123，即考點：歸納推理9、D【解析】畫出函數的圖象，根據圖象可知函數的周期性、單調性、定義域與值域，從而可判斷各命題的真假.【詳解】畫出的圖象，如圖所示，可知是最小正周期為1的函數，當時，可得，正確；由圖可知，在每一個區(qū)間，上，都是增函數，正確；由圖可知，的定義域是，值域是，正確；由圖可知，是錯誤的.真命題的序號是，故選D.【點睛】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查函數的單調性、函數的周期性、函數的定義域與值域，屬于難題.

12、這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學們往往因為某一處知識點掌握不好而導致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.10、A【解析】觀察圖形，發(fā)現，第一個圖案中有一個正六邊形，第二個圖案中有7個正六邊形；根據這個規(guī)律，即可確定第10個圖案中正六邊形的個數【詳解】由圖可知， 故選A.【點睛】此類題要能夠結合圖形，發(fā)現規(guī)律：當時，11、D【解析】根據殘差的意義可判斷；根據分成抽樣特征，判斷；根據相關系數的意義即可判斷；由回歸方程的系數，可判斷【詳解】根據殘差的意義，可知當殘差的平方和越小

13、，模擬效果越好，所以錯誤；當個體差異明顯時，選用分層抽樣法抽樣，所以正確；根據線性相關系數特征，當相關系數越大，兩個變量的線性相關性越強，所以錯誤；根據回歸方程的系數為0.5，所以當解釋變量每增加一個單位時，預報變量增加0.5個單位.綜上，正確，故選D.【點睛】本題考查了統(tǒng)計的概念和基本應用，抽樣方法、回歸方程和相關系數的概念和性質，屬于基礎題12、B【解析】利用導數運算公式，對每個選項進行一一判斷.【詳解】對A，因為，故A錯；對B，故B正確；對C，故C錯；對D，故D錯.所以本題選B.【點睛】熟記導數公式，特別是復合函數的求導，即，不能漏了前面的負號.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2

14、0分。13、49【解析】.14、【解析】根據復數除法法則，分子分母同乘分母的共軛復數化簡成的形式，再根據共軛復數的定義求出所求即可【詳解】，復數的共軛復數是.故答案為：.【點睛】本題主要考查復數代數形式的乘除運算、共軛復數的定義，考查基本運算求解能力，屬于基礎題15、【解析】求得函數的導數，利用導數的符號，即可求解，得到答案【詳解】由題意，函數，則，令，即，解得，所以函數的單調遞減區(qū)間為，故答案為：【點睛】本題主要考查了利用研究函數的單調性，求解函數的單調區(qū)間，其中解答中熟記導數與原函數的關系式解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題16、-160.【解析】 由， 所以二項式展開式的常

15、數項為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）存在實數取值范圍是.【解析】（1）分別研究，兩種情況，先對函數求導，利用導數的方法判斷其單調性，即可得出結果；（2）先由題意，得到，再根據，得到，得出，再由導數的幾何意義，結合題中條件，得到，構造函數，用導數的方法研究函數的單調性，進而可得出結果.【詳解】(1)當時, ,令得,令得.當時，所以在上是增函數。所以當時，的增區(qū)間為,減區(qū)間為；(2) 由題意可得：，所以，令，則在單調遞增，單調遞減,，當時，所以存在實數取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數的應用，通常需要對函數求導，用導數的方

16、法研究單調性，最值等，屬于?？碱}型.18、（1）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）見解析.【解析】（1）利用導數求函數的單調性即可；（2）對求導，得，因為，所以，令，求導得在上單調遞增， ，使得，進而得在上單調遞增，在上單調遞減；所以，令 ，求導得在上單調遞增，進而求得m的范圍.【詳解】（1）因為，所以，當時，；當時，故的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（2）當時，則，當時，令，則，所以在上單調遞增，因為，所以存在，使得，即，即.故當時，此時；當時，此時.即在上單調遞增，在上單調遞減.則 .令，則.所以在上單調遞增，所以，.故成立.【點睛】本題考查了利用導數求函數的單調性和取值范圍，也考查

17、了構造新函數，轉化思想，屬于中檔題.19、 (1)225.6.(2) （i） ；（ii） 分布列見解析；.【解析】分析：（1）由矩形面積和為列方程可得，利用每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標相乘后求和，即可得到該市每戶居民平均用電量的值；(2) （i）由正態(tài)分布的對稱性可得結果；（ii）因為，則，從而可得分布列，利用二項分布的期望公式可得結果.詳解：（1）由得（2）（i）（ii）因為，.所以的分布列為0123所以點睛：“求期望”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望對于某些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布），則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布

18、的期望公式()求得因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度20、【解析】設，根據題意列出關于的方程組求解，再結合所對應的點在第二象限，即可求出【詳解】設，則，又，.，聯(lián)立，解得又在第二象限，即 故答案為【點睛】本題考查了復數的相關定義，設出復數的表示形式，根據題意列出方程組即可，本題較為基礎，注意計算。21、 (1)證明見解析.(2) .(3) .【解析】分析：（）要證平面ABM平面PCD，只需證明平面PCD內的直線PD，垂直平面PAD內的兩條相交直線BM、AB即可；（）先根據體積相等求出D到平面ACM的距離為h，即可求直線PC與平面ABM所成的角；（）先根據條件分析出所求距離等于點P到平面ACM距離的，設點P到平面ACM距離為h，再利用第二問的結論即可得到答案詳解：（1）AC是所作球面的直徑，AMMC，PA平面ABCD，則PACD，又CDAD，CD平面PAD，則CDAM，AM平面PCD，平面ABM平面PCD；（2），設D到平面ACM的距離為h，由，求得，；（3），所求距離. 點睛：這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關系，求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可.22、（1）或；（2）【解析】(1)先求導，再對a分類討論，研究函數的