點(diǎn)面距離的求解

1、點(diǎn)面距離的求解第1頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離21一、點(diǎn)面距離的地位： 點(diǎn)面距離問題是整個(gè)立體幾何這一章的重點(diǎn)，它不僅是線面角、二面角（三垂線法）求解的關(guān)鍵；而且是線面、面面及異面直線間距離轉(zhuǎn)化的最后目的地。是高考的熱點(diǎn)，每年都有所考 查。二、點(diǎn)面距的定義： 從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.第2頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離31 直接法:作出垂線，直接求解；向量法； 間接法：等體積法；比例法. 三、點(diǎn)面距的求法：四、求法的具體講解：（1）作出垂線，直接求解 “垂線如何作，垂足又

2、落在哪里？”是此法的關(guān)鍵，其解決方案主要有下：1、依據(jù)面面垂直的性質(zhì)及判定 常規(guī)遵循一作二證三計(jì)算的步驟；第3頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離41法一：依據(jù)判定找過已知點(diǎn)且與已知平面垂直的平面，后再在此平面內(nèi)向二者的交線引垂線，由面面垂直的性質(zhì)可知，此垂線垂直于已知平面，且垂足落在交線上 MCPAB例1：如圖：在四面體P-ABC中， PC平面ABC， AB=BC=CA=PC=a，求B到面PAC的距離。 分析：由PC平面ABC，PC 面PAC可得，面ABC面PAC，又面ABC過點(diǎn)B，面ABC面PAC=AC，所以過B作BMAC于M，即可得BM面PAC。而三角形AB

3、C為等邊三角形故 32BM=第4頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離51 例2 在棱長為1的正方體 中，E、F分別為棱 、 的中點(diǎn)，G 為棱 上的一點(diǎn)， 且 求點(diǎn)G到面 的距離。 MDBCEFAG分析：由條件可知點(diǎn)G在線段 移動(dòng)，而 面 ，所以其上任意點(diǎn)到面 的距離都等于G到面 的距離，這樣我們就可直接將G點(diǎn)換為點(diǎn) ，而由EF平面 知，過 的平面 面 且面 面 = ，故僅需過 作 于M，即得 面 ，后在 中進(jìn)行計(jì)算即可。第5頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離615. 如圖所示，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA平面ABCD

4、，PA=2c，Q是PA的中點(diǎn).求：(1)Q到BD的距離；(2)P到平面BQD的距離.延伸拓展【解題回顧】解答求距離的問題，注意距離之間的相互轉(zhuǎn)化，有時(shí)能取得意想不到的效果第6頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離71法二，依據(jù)面面垂直的判定，首先在已知平面內(nèi)找一條線；后再作與此線垂直且過已知點(diǎn)的垂面（如何作見下）；再在此平面內(nèi)向二者的交線引垂線，由面面垂直的性質(zhì)可知，此垂線即垂直于已知平面，且垂足落在交線上。 借助三垂線定理或三垂線定理的逆定理。例3如圖，在正三棱柱 中， AB=2， =4，則點(diǎn)C到平面 的距離為？ HOCAB第7頁，共20頁，2022年，5月20日

5、，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離81利用等腰三角形或全等三角形。例4如圖，三棱錐P-ABC 中，PA=PB=CA=CB=6，AB=PC=4，求C面PAB 的距離。OHPABC分析：等腰PAB與等腰CAB公用底邊AB，故僅需取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)PO、CO，即可得到AB面POC，又面PAB，面PAB面POC，過C作CHPO于H，則CH面PAB，后在等腰POC中計(jì)算出CH即可。第8頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離91例5如圖，正三棱錐P-ABC 中，側(cè)棱長為6，底面邊長為4，求C面PAB 的距離。EOPABC分析：PAB全等于PAC，過C作CEPA于E，連BE則BEP

6、A，所以PA面BCE，又面PAB故面BCE面PAB，過C作COBE于O，則CO面PAB， 第9頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離1012、依據(jù)其他。如依據(jù)射影長定理及外心的定義。HOCBA例6 如圖，已知，在ABC中ABC= ，AB=6，BC=8，O到ABC各頂點(diǎn)的距離都等于10，求點(diǎn)O到這個(gè)三角形所在平面的距離。解：設(shè)H為點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)的射影，連接OH、AH、BH、CH，在ABC中ABC= ，AB=6，BC=8 AC=10OA=OB=OCHA=HB=HC即H為ABC的外心，H 為AC中點(diǎn)，AH=BH=CH=5OAH中AHO= ，OA=10，AH=5OH=即

7、點(diǎn)O到平面ABC的距離為。第10頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離1113. ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120，ABC所在平面外一點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都是14，那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為( )(A)7 (B)9(C)11 (D)13HPCAB第11頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離121如依據(jù)結(jié)論 “從一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜射線，使斜射線和這個(gè)角兩邊的夾角相等，求證斜線在平面內(nèi)的射影是這個(gè)角的平分線所在直線”。（人教版高二數(shù)學(xué)下A ）例7如圖，斜三棱柱 的各條棱長均為4， = = ，求斜三棱柱的

8、體積。DOACB第12頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離131再如依據(jù)正棱錐的性質(zhì)“正棱錐的頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面的中心”。例8求側(cè)棱和底面長均為6的正四棱錐的高。OBDACP分析：過P作PO面ABCD于O，則PO即為高，O為底面的中心，又底面為正方形，故后在 POA中即可完成相應(yīng)計(jì)算。第13頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離141 向量法做法：先求得已知平面的一個(gè)法向量，再找到平面的一過已知點(diǎn)的斜向量，后再套用公式求解。如圖所示，設(shè) 是平面 的法向量， ， 是平面的一條斜線。點(diǎn)B到平面的距離為ABC第14頁，共20頁，2022

9、年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離151例9如圖，已知平面 平行于三棱錐V-ABC的底面ABC，等邊 所在的平面與底面ABC垂直，且 ，設(shè)AC= 求A到平面VBC的距離。zxyOE解：取AC的中點(diǎn)O。連結(jié) ，易 知 平面ABC，過O作直線OEBC交AB于E，取O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，OE、OC、 所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。 則 設(shè)平面VBC的一個(gè)法向量又 由得(x,y,z)(-a,0,0)=0, (x,y,z)(0,-a, )= 0取z=1, 得點(diǎn)A到平面VBC的距離，即在平面VBC的法向量 上的投影的絕對(duì)值設(shè) 所求的距離為 則A到平面VBC的

10、距離為ABCV第15頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離161等積法。利用三棱錐的頂點(diǎn)可換性，借助體積公式求解，關(guān)鍵是三棱錐的某個(gè)底面的面積及其上的高可求。例10如圖，在棱長為4的正方體 中M、N分別是棱 的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面AMN的距離。ABCDNM分析：要求點(diǎn)B到平面AMN的距離，僅需以B、M、N、A為頂點(diǎn)構(gòu)造三棱錐B-AMN利用 即可。解：連BN、BM，設(shè)點(diǎn)B到平面AMN的距離為 ， 即 及 ， 6， 第16頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離171比例法借助平行，進(jìn)行比例轉(zhuǎn)化，來求解距離。PPQMONOMNQ如圖PM平面 =O，PQ平面 于Q，MN平面 于N，則第17頁，共20頁，2022年，5月20日，14點(diǎn)18分，星期四點(diǎn)面距離181例10如圖，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD=O，AD=5，BC=10。若BC 平面 ，點(diǎn)O到平面 的距離為7，求AD到平面 的距離。BCODA分析：ADBC，則AD平面 ，要求AD到平面 的距離，只需求出直線AD上任一點(diǎn)到平面 的距離?？蛇^D作 平面 于 ， 平面 于 ，則B、 、 共線且 ，所以 ，又 =7， 所以第18