金融數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題練習(xí)題

1、文檔編碼 : CZ8W4Y7L3U5 HT2Y10K10K8N5 ZS4S2K10W2T101. 某人借款 1000 元,年復(fù)利率為 9%,他預(yù)備利用該資金購買一張 3 年期,面值為 1000 元的國庫券,每年末按息票率為 8%支付利息,第三年末除支付 80元利息外同時償付 1000 元的債券面值, 假如該債券發(fā)行價為 900 元,請問他做這項投資是否合適？2. 已知： 1）1 imm 1 i 5 5 1 i 6 6 1 求 m .2）1 d m m 1 d 5 5 1 d 6 6 1 求 m .由于 1 i m m m 1 i n n n 1 i由于 1 d m m m 1 d n n n

2、1 d3. 假設(shè)銀行的年貸款利率 12%,某人從銀行借得期限為 1 年,金額為 100 元的貸款；銀行對借款人的仍款方式有兩種方案：一、要求借款人在年末仍本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末仍本；試分析兩種仍款方式有何區(qū)分？哪一種方案對借款人有利？4.設(shè)m1,按從小到大的次序排列i,im ,d,dm,解：由5.idididdm1 dm dd m imdndm imim1imimi1ie1,m l i m im m l i m dmddmimi兩項基金 X,Y 以相同的金額開頭,且有： （1）基金 X 以利息強度 5%計息；（2）基金 Y 以每半年計息一次的名義利率j 運算；（3）第

3、8 年末,基金 X中的金額是基金 Y 中的金額的 1.5 倍；求 j.6.已知年實際利率為8%,乙向銀行貸款 10,000 元, 期限為 5 年,運算以下三種仍款方式中利息所占的額度： 1）貸款的本金及利息積存值在第五年末一次仍清； 2）每年末支付貸款利息,第五年末歸仍本金； 3）貸款每年年末均衡償仍（即次用年金方式償仍）三種仍款方式乙方支付的利息相同嗎 7. 某人在前兩年中,每半年初在銀行存款 款 2022元,每月計息一次的年名義利率為. 請你說明緣由？1000 元,后 3 年中,每季初在銀行存 12% 運算 5 年末代儲戶的存款積存值；8.期末付款先由 1 到 n 遞增付款,然后再由n1到

4、 1 的遞減付款形成的變額年金稱為虹式年金,試求付款期利率為 解：現(xiàn)值為：i 的虹式年金的現(xiàn)值和終值；AA222333,.,n1 n1nn1n1 n1,.,2n1nAn2234,.,n1 nnnn1 n2,.,2n1n2nA3,.,n,.,2n1n1 12 1A 12同理可證終值公式；9. 固定養(yǎng)老保險方案：責(zé)任：未退休時,每月初存入確定金額（養(yǎng)老保險金）25 歲29 歲,月付 200 元,30 歲-39 歲,月付 300 元,40 歲49 歲,月付 500 元,50 歲59 歲,月付 1000 元,具體方式：權(quán)益：從退休時（ 60 歲）,每月初領(lǐng)取 P 元退休金,始終領(lǐng)取 20 年；問題：在

5、給定年利率 i 10 %,分別運算從 25,30,40,50 歲參加養(yǎng)老保險,60 歲以后月退休金為多少？查 表 可 得 ：a20 | 0. 18 . 5136,s 35 |0 . 1271 .0244,s 30| 0 .1164 . 4940,s 20 | 0. 157 . 2750,s 10 | 0. 115. 9374；10某人繼承一筆遺產(chǎn)： 從現(xiàn)在起每年初可得10000 元；該繼承人以 10%年利率將以產(chǎn)收入存入銀行, 到第五年底, 在領(lǐng)取第六年年金之前將遺產(chǎn)的權(quán)益轉(zhuǎn)賣給他人,然后將前五年的存款收入取出并和轉(zhuǎn)賣收入一并做一項年收益率為 12%的投資項目；如每年底的投資回報是相同的,項目

6、有效期為 30 年；求投資人每年的回報金額；11 考慮以下兩種等價的期末年金：A：首付 6000 元,然后每年削減 的水平直到永久；B：每年底固定付款 5000 元；100 元,直到某年（ k）,然后保持確定付款假如年利率為 6%,試求 k（近似整數(shù)）；解：方法一：價值等式：5000 a | 6000 100 k 1 ka | 6000 a k | 100 a k |0 . k6 kk k k5000 6000 100 k 1 6000 1 100 a k | k 解得 a k | 10,查表得 k 15方法二：價值等式：5000 a | 6000 100 k 1 a | 100 Da k 1

7、 |n a n |留意到 Da n | i 解得 ka | 10 查表得 k 15答：k 15；12 某人退休一次性獲得退休金 Y 元,它將其中的一部分 X 用于投資回報率為Xi的永久基金, 另一部分用于投資回報率為j 的十年期的國債； 已知他前十年的收入是后十年的兩倍,試確定他投資于永久基金占總退休金的比例；13 某汽車銷售商方案實行以下兩種零售策略：1）如一次性付清車款,零售價格為 2 萬元；或2）以年利率 10%, 供應(yīng) 4 年分期付款（按月付款） ；假如目前市場上,商業(yè)零售貸款月?lián)Q算的年名義利率為 12%,試分析兩種零售策略那種對消費者更優(yōu)惠？14 十萬元的投資每年底收回一萬元,當不足

8、一萬元時將不足一萬元的部分與最終一次的一萬元一次收回；假如每半年接轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為 7%,試求收款次數(shù)和最終一次的收款金額；15考慮一個十年期的投資項目：第一年初投入者投入10000 元,其次年初投入5000 元,然后每年初只需投入修理費1000 元；該項目期望從第六年底開頭有收益：最初為 8000 元,以后每年遞增 1000 元；用 DCF 法運算該投資項目的價值；特別假如貸款利率為 10%,該項目是否有投資價值？16某項 10 年期貸款,年利率為 8%,假如仍款額同時以年利率為 7%在投資,求以下情形下的實際收益率：1）到期一次仍清；2）每年仍利息,到期仍本金；3）每年等額分期償仍

9、；17某基金投資者：每年初投入確定本金,共投資10 年；基金本身的年回報率為 7%,年底支付；分別對再投資利率為 5% 和 8% 兩種情形下,爭辯投資者的實際收益率；18爭辯以下模型假設(shè)下得再投資的實際收益率：1）每年末（一個計息期）投資 收益率為 i ；1 單位資金,每年（一個計息期）的直接投資2）投資的回報方式為：逐年（一個計息期）收回利息,終止時收回本金；3）同時將每年的利息收入以再投資利率為 j 進行再投資；資金流程圖如下：19 投資者購買以下五年期的金融產(chǎn)品：1）每年底得到 1000 元；2）每年的收入可按年利率 4%再投資且當年收回利息；假如該投資者將每年的利息收入以年利率 3%再

10、投資,實際年收益率為4%；求該金融產(chǎn)品的購買價；20某投資者連續(xù)五年每年向基金存款 1000 元,年利率 5%,同時利息收入可以年利率為 4%投資；給出第十年底的累積余額表達式；211 萬元的貸款方案 20 年分年度仍清,每年底仍款1000 元；假如貸款方可以將每年的仍款以年利率為 5%投資,運算貸款方的實際收益率；22某活期存款賬戶年初余額為1000 元, 4 月底存入 500 元,六月底和八月底分別提取 200 元和 100 元,年底余額為 1236 元,求該儲戶的年資本加權(quán)收益率；23某投資賬戶年初余額為 10 萬元, 5 月 1 日的余額為 11.2 萬元,同時投資 3萬元, 11 月

11、 1 日余額將為 12.5 萬元,同時提取 4.2 萬元,在下一年的 1 月 1 日又變?yōu)?10 萬元；分別用資金加權(quán)和時間加權(quán)求投資收益率；24某基金由兩個投資人,甲年初在基金中有資金 1 萬元,年中又投入 1 萬元,乙年初有 2 萬元,上半年收益率為 10%,下半年收益率為 20%,利用投資組合法運算甲乙應(yīng)分得的收益；25債券 A,面值為 P ,收益率為 Ai ,無違約風(fēng)險；債券 B,面值為 P ,收益率為 Bi ,違約概率為 p（0 p 1）,假如違約發(fā)生就到期債券的價值為 0,即債券 B 在到期時的價值為隨機變量 X B 0 P B. 不違約. 違約；問題：在什么條件（P ,P , p

12、 ,i , Bi 中意什么關(guān)系）下,債券 A 和債券 B對投資者來說有相同的期望收益？分析：要使兩債券在到期時有相同的期望收益,兩債券期末的期望本利和應(yīng)相同,所以應(yīng)有關(guān)系：P A 1 i A E X B 1 i B 即：P A 1 i A P B 1 p 1 i B 26某按月攤?cè)缘膫鶆?wù), 年實際利率為 11%,假如第三次仍款中的本金量為 1000元,運算第 33 次仍款中本金部分的金額；27某借款人借款 2022 元,年利率為 10%,要求兩年內(nèi)仍清；借款人以償債基金方式仍款：每半年向基金存款一次,而且存款利率為季度掛牌利率 8%,求每半年應(yīng)償債基金的存款額；并構(gòu)造償仍表；28假設(shè)一筆貸款期

13、限為5 年,貸款利率為 10%,假如貸款人方案每年末的總付款額為： 1000元、 2022 元、 3000 元、4000 元和 5000 元；試分別用分期償仍法 和償債基金利率為 8%的償債基金法運算原始貸款本金；基本概念：1.實際利率、單利法、復(fù)利法、均衡利率、單位度量期上貼現(xiàn)m 次貼現(xiàn)值的名義貼現(xiàn)率、單位度量期上結(jié)轉(zhuǎn)m 次利息的名義利率、實際貼現(xiàn)率、標準年金、變額年金、永續(xù)年金、年金現(xiàn)值、永續(xù)年金的現(xiàn)值、年金終值、變動利率年金、支付利率原就、經(jīng)受利率原就、利息結(jié)轉(zhuǎn)周期、支付周期、投資項目的收益率、內(nèi)涵酬勞率、2. 利率水平是受債券或貨幣的供求關(guān)系影響,準備利率水平的兩種理論模型：可貸資金模

14、型和流淌性偏好模型；3. 一般情形下,在其他條件不變的情形下,收益率曲線隨期限變化的規(guī)律是：期限越長,收益率越大,收益率是關(guān)于期限的單調(diào)增函數(shù),或者說：長期利率大于短期利率；4.常見的用于說明利率期限結(jié)構(gòu)的理論模型有純粹預(yù)期假設(shè)、流淌性偏好假設(shè)、市場分割假設(shè)、區(qū)間（完全）偏好假設(shè)等；5. 影響債券供應(yīng)曲線的因素：經(jīng)濟周期、預(yù)期通貨膨脹率、政府活動規(guī)律；6. 影響債券需求曲線的主要因素有：經(jīng)濟周期、 價格風(fēng)險、 流淌性、 預(yù)期利率、預(yù)期通貨膨脹率；7.內(nèi)涵酬勞率可以用來對投資項目進行評判：當內(nèi)涵酬勞率大于投資者預(yù)先設(shè)定的利率時,投資項目可行；8. 投資收益率的運算方法主要有：幣值加權(quán)平均法和時間

15、加權(quán)平均法；9. 投資收益的支配方法主要有：投資額法（投資組合法）和投資年法10. 當債券存在違約風(fēng)險時,對風(fēng)險的補償方式有：提高收益率和降低發(fā)行價；11. 依據(jù)利息的支付方式不同債券可分為：零息債券和附息債券；影響債券價格的主要因素有：債券的到期時間、債券的息票率、可贖回條款、通貨膨脹調(diào)整、稅收待遇、債券的流淌性、違約風(fēng)險；12. 債券的發(fā)行方式有：溢價發(fā)行、折價發(fā)行、平價發(fā)行；2已知： 1）1im 1i5 1i61求m.m562）1dm 1d5 1d6 1求m.m56由于1dimm 1inn1ii,im ,d,dm,mn由于1mm 1dnn1dmn4設(shè)m1,按從小到大的次序排列解：由i d

16、 i d i d m 1 m m d d d d m n m m i d d i m 1 m mi i i ii m 關(guān)于 m 單調(diào)減,而 d m 關(guān)于 m 單調(diào)增,又由于 m lim i m m lim d m m m d d i i10. 期末付款先由 1 到 n 遞增付款,然后再由 n 1 到 1 的遞減付款形成的變額年金稱為虹式年金,試求付款期利率為 i 的虹式年金的現(xiàn)值和終值；解：現(xiàn)值為：AA222333,.,n1 n1nn1n1 n1,.,2n1nAn2234,.,n1 nnnn1 n2,.,2n1n2nA3,.,n,.,2n1n1 12 1A 12同理可證終值公式；11 考慮以下

17、兩種等價的期末年金：A：首付 6000 元,然后每年削減 的水平直到永久；100 元,直到某年（ k）,然后保持確定付款B：每年底固定付款 5000 元；假如年利率為 6%,試求 k（近似整數(shù)）；解：方法一：價值等式：5000a|6000100k1 ka|6000ak|100ak|0.kkk6解得a k|10,查表得50006000100 k1 k6000 1k100 a k|kk15方法二：價值等式：5000 a| 6000100 k1 a|100 Da k1 |n a n |留意到 Da n | i 解得 ka | 10 查表得 k 15答：k 15；5 兩項基金 X,Y 以相同的金額開頭

18、,且有： （1）基金 X 以利息強度 5%計息；（2）基金 Y 以每半年計息一次的名義利率 j 運算；（3）第 8 年末,基金 X中的金額是基金 Y 中的金額的 1.5 倍；求 j.解：設(shè)兩基金開頭金額為單位1；SXexpj8dte8a 第八年末基金 X 的累計終值為：0b第八年末基金 Y 的累計終值為：SY 116由SX.15 S Y,8 e5 %15. 1j16解方程求出 j 即可；6已知年實際利率為8%,乙向銀行貸款 10,000 元, 期限為 5 年,運算以下三種仍款方式中利息所占的額度： 1）貸款的本金及利息積存值在第五年末一次仍清； 2）每年末支付貸款利息,第五年末歸仍本金； 3）

19、貸款每年年末均衡償仍（即次用年金方式償仍）；三種仍款方式乙方支付的利息相同嗎 解：此題從投資者的仍款角度來考慮,率和年實際利率相同；. 請你說明緣由？不考慮仍款人的機會成本； 并假定貸款利1）一次仍清,期末累計值為：10000 18%514693.28利息金額為：14693 .28100004693 . 28元 2）每年支付的貸款利息為：100008 %800元 5年支付的總利息金額： 4000 元 3）每次償仍金額：10000100002504.56 a5.008.399271總的仍款金額 2504.565 =12522.8 利息金額為： 2522.8 元 為什么會不一樣呢？28假設(shè)一筆貸款

20、期限為5 年,貸款利率為 10%,假如貸款人方案每年末的總付款額為： 1000元、 2022 元、 3000 元、4000 元和 5000 元；試分別用分期償仍法 和償債基金利率為 8%的償債基金法運算原始貸款本金；解： 分期償仍法運算的仍款金額：L 0tn1R tt1000Ia5|0 .105 10 .1 510563.58（元）1000 10 .1a5|0 .1010.150 .620910001.13 .79078 0 .償債基金法： 假設(shè)原始貸款額為 L ,就每年的利息金額為 iL ,每年向償債基金的存款額為 1000 iL 0 , 2022 iL 0 ,., 5000 iL 0,這些

21、儲蓄額按償債基金利率 j 的累積值應(yīng)為原始貸款本金,所以有L 0 1000 Is 5 | j iL 0 s 5 | j 1 0 . 08 s 5 | 0 . 08 5i 0. 1,j 0. 8,代入解得：L 0 1000 0 . 08 1 0 . 1 s 5 | 0 . 08 10524 . 69（元）但是上述運算有問題, 由于貸款人第一年支付的總金額（1000 元）不足以償仍 當期 的利 息金 額（ 1052.469 元 ）這是需 要將不 足支付利息 的部分（1000-10052.469=-52.469 ）按 10% 的貸款利率本金化；相當于在第一年末仍過 1000 元后,本金額又增加了 52.469 元；假設(shè)原始貸款額為 L ,第一年末仍 1000 元后的貸款凈額為：L 1 1 i L 0 1000,所以以后 4 年,每年向償債基金的存款額已分別為：2022 iL ,3000 iL ,4000 iL ,5000 iL ,而這些存款案償債基金利率 j 積存的期末值應(yīng)為 1L ,即：L 1 1000 Is 4 | j 1000 iL 1