【高等代數(shù)試題】2012ans

1、北京大學數(shù)學學院期末試題 20112012學年第二學期考試科目 高等代數(shù)II 考試時間 2012年6月12日姓 名 學 號 一. 設(shè)A : Xa AX 是R 4到R 3的線性映射, 其中A = . 1) 求 Im A 的維數(shù) r 與一組基; 2) 求 Ker A 的維數(shù)與一組基; 3) 求R 4的一組基a1 , a2 , a3 , a4 與 R 3的一組基b1 , b2 , b3 , 使得 A a i = b i , 1 i r 且 A a i = 0 , i r .解法1: 先求Ker A 的一組基. 對A作行變換 得 , x 3 , x 4為自由變量. = = x 3 + x 4 于是 K

2、er A = , a3 = , a4 = . 再將a3 , a4 擴充成R 4的一組基a3 , a4 ; a1, a2 .例如, 可取 a1 = , a2 = . 則a1 + Ker A , a2 + Ker A 構(gòu)成商空間R 4 / Ker A 的一組基 . 由于映射a + Ker A a A a 是R 4 / Ker A到 Im A 的線性同構(gòu), b 1 = A a1 = , b 2 = A a2 = 也構(gòu)成Im A 的基底. 特別地, dim Im A =2. 最后, 將b 1 , b 2擴充成R 3 的基底b 1 = , b 2 = , b 3 = .這樣求出的基底a1 , a2 ,

3、a3 , a4 與b1 , b2 , b3 即滿足3).解法2: 容易看出, A的秩r = 2 . 以下直接計算3).設(shè) P = a1 , a2 , a3 , a4 , Q = b1 , b2 , b3 . 則條件A a i = b i , i =1, 2 ; A a i = 0 , i = 3, 4 等價于A a1 , a2 , a3 , a4 = b1 , b2 , b3 .故只需求可逆矩陣 P , Q , 使得 AP = Q .先作列變換= 得 AP = B. 再對以下矩陣作行的變換, 可得 于是, B = Q . 令 a1 , a2 , a3 , a4 = , b1 , b2 , b3

4、 =,則有 A a i = b i , i =1, 2 ; A a i = 0 , i = 3, 4 . 特別地, b1 , b2 是Im A 的一組基, a3 , a4 是Ker A 的一組基.二（15分）已知 f ( a , b ) 是 R3 上的對稱雙線性函數(shù), 且 f 在基底 1 , 2 , 3 下的度量矩陣為 A = . 1) 證明 f ( a , b ) 是 R3 上的內(nèi)積 ; 2) 求內(nèi)積 f 的一組標準正交基 b1 , b2 , b3 ;3) 在內(nèi)積 f 下, 3的頂點到子空間 的距離是多少?解: 對 作成對的行列變換 記P = , b1 , b2 , b3 = 1 , 2 ,

5、 3 P .則在基底 b1 , b2 , b3 下, 雙線性函數(shù)f ( a , b )的度量矩陣為PT A P = I . 這說明 f ( a , b ) 是 R3 上的內(nèi)積, 且b1 , b2 , b3是此內(nèi)積的一組標準正交基. 由 b1 = 1 b2 = b 3 = 知 = , 3 =.于是 3的頂點到 的距離是.三（16分）求以下矩陣的相似分類(說明理由, 但不需寫出過渡矩陣). .解: 由以及知各矩陣的特征值都是 1, 1, -1, 它們的Jordan標準型只有兩種可能.注意到 A I , B I , C I , D I 的秩分別為 2, 1, 2, 1 . 與Jordan標準型減去

6、I 后的秩相比較, 知A , C 的Jordan標準型為 2) 型 , B , D的Jordan標準型為 1) 型 . 故 A 與 C 在同一相似等價類,B, D 位于同一相似類.四（32分）設(shè) A是實線性空間V上的線性變換, 且在基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩陣為 A = . 1) 求A的特征多項式與最小多項式 ;2) 求V 的根子空間分解, 各個根子空間的基底;3) 對每個根子空間 W , 求多項式 h W ( x ) , 使得 h W ( A )是沿其余根子空間向W作的投影變換; 4) 求V的一組基, 使得A的矩陣為Jordan 標準型.解: 1) A 的特征多項式為 由 A

7、- I = 的秩 = 2, 于是 ker( A - I )的維數(shù) = 2 ,可推出 dim ker( A - I ) 2的維數(shù)必須等于特征值1的代數(shù)重數(shù) 3 ,于是ker( A - I ) 2就是特征值1的根子空間, A 的最小多項式為( x 1 ) 2 ( x 3 ) .2) 全空間可以分解為根子空間的直和 : V = Ker( A - I ) 2 Ker( A 3 I ) .解方程組 ( A I )2 X = 0, 求 Ker( A I ) 2 的基底 :對矩陣 ( A I ) 2 做初等行變換, ( A I ) 2 = 求得解的公式x 1 = x 2 2 x 3 2 x 4 , x 2

8、, x 3 , x 4是自由變量. 于是 b1 = 1 2 b2 = 2 1 3b 3 = 2 1 4是根子空間 Ker ( A I ) 2 的一組基底. 求Ker( A 3 I ) 的基底 :對矩陣A 3 I 做初等行變換, 得A -3 I = ( A 3 I ) X = 0 解的公式為 , x 2是自由變量. 于是b 4 = 1 + 2 是根子空間 Ker( A 3 I ) 的一組基底. 由計算知A( b 1 b 2 b 3 b 4 ) = ( b 1 b 2 b 3 b 4 ) .3) 記 W1 = Ker( A I ) 2 , W2 = Ker( A 3 I ) . 對 ( x 1 )

9、 2與 ( x 3) 做輾轉(zhuǎn)相除, 得 ( x 1 ) 2 ( x + 1) ( x 3) = 4 . 記 h1 ( x ) = ( x + 1) ( x 3) , h2 ( x ) = ( x 1 ) 2 .則有h1 ( A ) = ( A + I ) ( A 3 I ) = 0 , W2h1 ( A ) = ( I ( A I ) 2 ) = , W1于是 h1 ( A ) 是沿平行于W2的方向向W1 所作的投影變換.類似的,h2 ( A ) = ( A I ) 2 = 0 , W1h2 ( A ) = ( I + ( A + I ) ( A 3 I ) ) = , W2h2 ( A )

10、是沿平行于W1的方向向W2 所作的投影變換.記 B = ( A I )| W1 , 則B 0 但B 2 = 0 . 通過計算發(fā)現(xiàn) 于是, 在b 1 , b 2 , b 3下B的矩陣為 . 由此容易看出, b 1 + b 2 = B b 3 構(gòu)成Im B 的基底, 由此得2維B-循環(huán)子空間 .最后, 注意到b 1 , B b 3 = b 1 + b 2 , b 3線性無關(guān), 且B b 1 = 0 . 在基底b 1 , B b 3 , b 3下, B的矩陣為 .綜上所述, 在基底b 1 , B b 3 = b 1 + b 2 , b 3 , b 4 下, A的矩陣為Jordan形 , 且 ( b

11、1 , B b 3 , b 3 , b 4 ) = ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) .注: 此題 2) ,4) 問可一起處理.五（16分）判斷對錯, 正確的請給出證明, 錯誤的舉出反例. 1) 設(shè) A , B 分別是 3 5 與 5 3 矩陣. 若B A 可對角化, 則 A B 也能對角化;解: 錯誤. 反例如下: 取 A = , B =. 則 AB = 不可對角化, 而 BA = 0.注: 如果加入條件AB 滿秩, 則命題成立.2) 若 A 是 3 維實線性空間 V 到其對偶空間 V* 的線性

12、同構(gòu), 則存在V 的一組基 1 , 2 , 3 , 使得A ( i ) = i* , .這里 1* , 2* , 3* 是 1 , 2 , 3的對偶基.解: 錯誤.在V 中任取一組基 1 , 2 , 3 , 設(shè) 1*, 2*, 3*是其對偶基. 設(shè)A在 1 , 2 , 3 與 1* , 2* , 3* 下的矩陣為A , 即A ( 1 2 3 ) = ( 1* 2* 3* ) A .若b 1 , b 2 , b 3 是 V 的另一組基, b 1* , b 2* , b 3*是V*相應(yīng)的對偶基. 設(shè) P 是 1 , 2 , 3 到 b 1 , b 2 , b 3 的過渡矩陣, 則 ( PT ) -

13、1是 1*, 2*, 3* 到 b 1*, b 2*, b 3* 的過渡矩陣. 于是A在b 1 , b 2 , b 3 與 b 1*, b 2*, b 3* 下的矩陣為PT A P , 即 A ( b 1 b 2 b 3 ) = ( b 1* b 2* b 3* ) PT A P .若實矩陣A 與 I 不合同, 例如取 A = - I 或A不對稱, 無論基底b 1 , b 2 , b 3 怎么取, 都不能使得 PT A P = I .六 ( 6分) 設(shè)分塊矩陣 A =, 這里I , A1 , A2 Mn (R).已知線性變換 Y a A Y 有唯一的n 維不變子空間W R2n,且W與分塊矩陣 的列空間的交為零子空間. 求矩陣方程 X 2 + X A1 A2 X = I (*)所有解 X Mn (R).我們證明: 解集合 X Mn (R) | X 2 + X A1 A2 X = I 與 A-不變子空間W | dimW = n , W ( 列空間 ) = 0 之間有以下一一對應(yīng). 由此可推出原命題.若X Mn (R) 滿足 X 2 + X A1 = I + A2 X , 則有 = = .這說明矩陣 的列空間是變換Y a A Y的不變子空間. 又由于 滿秩, 矩陣 與 的列空間是直和關(guān)系,它們