新高考論壇新課標(biāo)數(shù)學(xué)理一輪教師備課練習(xí)77立體幾何中的向量方法

1、第七節(jié)立體幾何中的向量方法考情展望1.觀察利用空間向量判斷、證明空間中的線面位置關(guān)系.2.觀察利用向量求空間角的大小.3.以解答題為主要觀察形式一、直線的方向向量和平面的法向量1直線的方向向量：假如表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量2平面的法向量：直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線12的方向向量分別為1212?n1n2l，lllnnn1，n2l1212?n120lnnn直線l的方向向量為n，平面lnm?nm0的法向量為mlnm?nm平面，的法向量分別為n，nm?nmmnm?nm0二、利

2、用空間向量求空間角1求兩條異面直線所成的角設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角a與b的夾角a，b范圍00，2abcos|cosa，b關(guān)系|ab|ab|cosa，b|a|b|a|b|2.求直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為|an|，則sin|cosa，n|a|n|.3求二面角的大小(1)若AB、CD分別是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則-二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖771)圖771(2)設(shè)n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)面，的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小

3、(如圖771)利用空間向量求點(diǎn)面距離如圖，已知AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面|ABn|的距離為|BO|n|.1設(shè)u(2,2，t)，v(6，4,4)分別是平面，的法向量若，則t()A3B4C5D6【分析】，則uv262(4)4t0，t5.【答案】C2已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量、法向量，若cosm，1n2，則l與所成的角為()A30B60C120D150【分析】設(shè)l與所成的角為.1cosm，n2，1sin|cosm，n|2.又直線與平面所成角滿足090，30.【答案】A3若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的是()a(1,0,0)，n(2,0,0)

4、Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)【分析】若l，則an0，經(jīng)驗(yàn)證知D滿足條件【答案】D4已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()A45B135C45或135D90【分析】cosm，nmn12|m|n|122，m，n45，其補(bǔ)角為135.兩平面所成二面角為45或135.【答案】C圖7725(2012陜西高考)如圖772所示，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABCA111，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()BC55253A.5B.3C.5D.5【分析】不如令

5、CB1，則CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，-BC(0,2，1)，AB(2,2,1)，11-41151111BCAB-5595|BC1|AB1|-BC1與AB1的夾角即為直線BC1與直線AB1的夾角，直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為55.【答案】A6(2013大綱全國卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()2321A.3B.3C.3D.3【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，-C(0,1,0)，B(1,1

6、,0)，C1(0,1,2)，則DC(0,1,0)，DB(1,1,0)，DC1(0,1,2)設(shè)平-面BDC1的法向量為n(x，y，z)，則nDB，nDC1，xy0，令y2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n(2，因此有y2z0，-nDC2,1)設(shè)CD與平面BDC1所成的角為，則sin|cosn，DC|-|n|DC|23.【答案】A考向一133利用空間向量證明平行、垂直如圖773所示，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，BC90，AB4，CD1，點(diǎn)M在PB上，PB4PM，PB與平面ABCD成30的角圖773(1)求證：CM平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PAD.-

7、【思路點(diǎn)撥】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，方法一：證明CM與平面PAD的法向量垂直；方法二：證明CM與平面PAD內(nèi)兩個(gè)不共線共面(2)取AP的中點(diǎn)E，利用向量證明BE平面PAD即可【試試解答】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.PC平面ABCD，PBC為PB與平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC23，PB4.D(0,1,0)，B(23，0,0)，33A(23，4,0)，P(0,0,2)，M2，0，2，-(2-3，3，DP(0，1,2)，DA3，3,0)，CM202-(1)法一令n(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法

8、向量，則DPn0，即-DAn0，1y2z0，z2y，23x3y0，3x2y，令y2，得n(3，2,1)-33nCM3220120，nCM，又CM?平面PAD，CM平面PAD.法二-，-，(0,12)PA(22)34-令CMxPDyPA，則3223y，x1，0 x4y，方程組有解為13y4，22x2y，-CMPD4PA，由共面向量定理知CM與PD、PA共面，又CM?平面PAD，CM平面PAD.-(2)取AP的中點(diǎn)E，則E(3，2,1)，BE(3，2,1)PBAB，BEPA.-又BEDA(3，2,1)(23，3,0)0，-BEDA，BEDA，又PADAA.BE平面PAD，又BE?平面PAB，平面P

9、AB平面PAD.規(guī)律方法11.合適建立坐標(biāo)系，正確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的要點(diǎn).2.證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)目積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，而后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)變成向量運(yùn)算.3.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)變成直線與直線垂直證明.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練圖774如圖774所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)求證：(1)DE平面ABC

10、；(2)B1F平面AEF.【證明】如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取AB中點(diǎn)為N，則N(2,0,0)，又C(0,4,0)，D(2,0,2)，-(2,4,0)，DE(2,4,0)，NC-DENC.DENC，又NC在平面ABC內(nèi)，故DE平面ABC.(2)B1F(2,2，4)，-EF(2，2，2)，AF(2,2,0)，-B1FEF(2)22(2)(4)(2)0，-則B1FEF，B1FEF，-B1FAF(2)222(4)00，-B1FAF，即B1FAF.又AFEFF，B1F平面AEF.考向

11、二134利用空間向量求線線角和線面角(2013湖南高考)圖775如圖775，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值【思路點(diǎn)撥】(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明線線垂直(2)求出平面ACD1的一個(gè)法向量，再利用線面角公式求解【試試解答】(1)易知，AB，AD，AA1兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1

12、,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)-1從而BD(t,3，3)，AC(t,1,0)，BD(t,3,0)-2由于ACBD，因此ACt300.BD解得t3或t3(舍去)-于是B1D(3，3，3)，AC(3，1,0)-，由于AC3300，因此ACBB1D1D即ACB1D.-(2)由(1)知，AD1(0,3,3)，AC(3，1,0)，B1C1(0,1,0)設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，-3xy0，nAC0，則即-3y3z0.nAD10，令x1，則n(1，3，3)設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，則-nB1C1321，sin|cosn，B1C1|-|771

13、1|n|BC即直線B11與平面ACD1所成角的正弦值為21C7.規(guī)律方法21.利用向量法求異面直線所成的角時(shí)，注意向量的夾角與異面直線所成的角的異同.同時(shí)注意依據(jù)異面直線所成的角的范圍0，2得出結(jié)論.2.利用向量法求線面角的方法一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)變成求兩個(gè)方向向量的夾角或其補(bǔ)角；二是經(jīng)過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其他角就是斜線和平面所成的角.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)如圖776所示，圖776在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所

14、成角的大小是_(2)如圖777所示，在棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PAADDC2，AB4且ABCD，BAD90.圖777求證：BCPC求PB與平面PAC所成角的正弦值【分析】(1)分別以BA，BC，BB1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AB1，則B(0,0,0)，E1，0，0，F(xiàn)0，0，1，C1(0,1,1)，22-11-EF2，0，2，BC1(0,1,1)-1-21EFBCcosEF，BC1-2，2|EF|BC1|22直線EF和BC1所成角的大小為60.【答案】(1)60(2)在直角梯形ABCD中，AC22，取AB中點(diǎn)E，連接CE，則四邊形AECD

15、為正方形，1AECE2，又BE2AB2，則ABC為等腰直角三角形，ACBC，又PA平面ABCD，BC?平面ABCD，PABC，由ACPAA得BC平面PAC，PC?平面PAC，因此BCPC以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP分別為x，y，z軸，建立以下列圖的坐標(biāo)系則P(0,0,2)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，-BP(0，4,2)，BC(2，2,0)-由(1)知BC即為平面PAC的一個(gè)法向量，-BCBP10cosBC，BP-5，|BC|BP|10即PB與平面PAC所成角的正弦值為5.考向三135利用空間向量求二面角(2013陜西高考)如圖778，四棱柱ABCDA111D1的底面BCABCD是

16、正方形，O為底面中心，1平面ABCD，12.AOABAA(1)證明：A1C平面BB1D1D；1與平面BB1D1D的夾角的大小(2)求平面OCB圖778【思路點(diǎn)撥】(1)依據(jù)題目條件建立空間直角坐標(biāo)系，并用坐標(biāo)來表示點(diǎn)和向量，再利用直線的方向向量與平面內(nèi)的向量垂直證明線面垂直；(2)先求出法向量，再進(jìn)一步求解兩個(gè)平面所成的夾角，要注意角的范圍【試試解答】(1)證明方法一：由題設(shè)易知OA，OB，OA1兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)BAA12，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)-由A1B1AB，易得B1(1,

17、1,1)-A1C(1,0，1)，BD(0，2,0)，BB1(1,0,1)，-A1CBD0，A1CBB10，A1CBD，A1CBB1，A1C平面BB1D1D.方法二：A1O平面ABCD，A1OBD.又四邊形ABCD是正方形，BDAC，BD平面A1OC，BDA1C.又OA1是AC的中垂線，A1AA1C2，且AC2，222ACAA1A1C，AA1C是直角三角形，AA1A1C.又BB1AA1，A1CBB1，又BB1BDB，A1C平面BB1D1D.(2)設(shè)平面OCB1的法向量n(x，y，z)-OC(1,0,0)，OB1(1,1,1)，-x0，nOCx0，-yz.nOB1xyz0，取n(0,1，1)，由(

18、1)知，A1C(1,0，1)是平面BB1D1D的法向量，-11cos|cosn，A1C|.222又02，3.規(guī)律方法31.利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大?。欢墙?jīng)過平面的法向量來求：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于n1，n2或n1，n2.2.利用空間向量求二面角時(shí)，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2013課標(biāo)全國卷)圖779如圖779，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，2AA1ACCB2AB.(1)

19、證明：BC1平面A1CD.(2)求二面角DA1CE的正弦值【解】(1)證明連接AC1，交1于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)又D是ACAB的中點(diǎn)，連接DF，則BC1DF.由于DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，因此BC1平面A1CD.2(2)由ACCB2AB，得ACBC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA的方向?yàn)閤軸正方向，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)-系Cxyz.設(shè)CA2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD(1,1,0)，CE(0,2,1)，CA1(2,0,2)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，-x1y10，nCD0，則即-2x12z10.1可取n(1，1，1)同理，

20、設(shè)m是平面A1CE的法向量，mCE0，則可取m(2,1，2)-mCA0，1nm36從而cosn，m|n|m|3，故sinn，m3.即二面角61CE的正弦值為.DA3規(guī)范解答之十三利用空間向量解決開放性問題1個(gè)示模范1個(gè)規(guī)范練(12分)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，圖7710點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AA1上(1)當(dāng)AEEA112時(shí)，求證DEBC1；(2)能否存在點(diǎn)E，使二面角DBEA等于60，若存在求AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明原由【規(guī)范解答】(1)證明：連接DC1，由于ABCA1B1C1為正三棱柱，因此ABC為正三角形，又由于D為AC的中點(diǎn)，因此BDAC，1分又平面AB

21、C平面ACC1A1，因此BD平面ACC1A1，因此BDDE.3分3由于AEEA112，AB2，AA13，因此AE3，AD1，因此在RtADE中，ADE30，在RtDCC1中，C1DC60，因此EDC190，即EDDC1，因此ED平面BDC1，BC1?面BDC1，因此EDBC1.6分(2)假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，設(shè)AEh.取A1C1的中點(diǎn)D1，連接DD1，則DD1平面ABC，因此DD1AD，DD1BD，分別以DA，DB，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，B(0，3，0)，E(1,0，h)，8分-因此DB(0，3，0)，DE(1,0，h)，AB(1，3，0)，AE(0,0，h)，設(shè)平面DBE的一個(gè)法向量為n1(x1，y1，z1)，n1DB0，3y10，則令z11，得n1(h,0,1)，-x1h