矩陣變換的特征值與特征向量

1、矩陣變換的特征值與特征向量第1頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五矩陣變換的特征值與特征向量第2頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五復(fù)習(xí)若向量= ,利用逆矩陣解二元一次方程組則與共線,即與平行,即.第3頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五表示一個壓縮變換BCAxyO11MBCAxyO1121第4頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五ABCxy11-1OABCBAxy11-1ON關(guān)于y軸的反射變換第5頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五一般地,給定矩陣M,若存在一個非零向量和實數(shù),滿足M = 則稱為

2、矩陣M的特征值, 為矩陣M的屬于特征值的特征向量.特征向量變換后的像與原向量是共線的特征向量的不變換性第6頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五還有沒有其他的特征值和特征向量?如何確定矩陣的特征值和特征向量呢?第7頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五實例分析由定義知第8頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五特征向量是非零向量,將問題轉(zhuǎn)化為:二元一次方程組何時有非零解.存在逆矩陣N-1M 無特征向量第9頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五當(dāng) 2-5-24 = 0 時, 才可能是M的特征值解方程得 1 =8 2 =-3第1

3、0頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五將 1 =8 代入 (5.2)1 =8 是M的特征值都是屬于特征值1 =8 的特征向量.第11頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五將 2 =-3 代入(5.2) x+y=0對每一個x0的值,都是屬于2 =-3的特征向量 2 =-3 是 M 的特征值第12頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五對于矩陣M,若有特征值及相應(yīng)的特征向量,即M=,則對任意實數(shù)t(t0),t也必是矩陣 M 對應(yīng)于特征值的特征向量.由于它們是共線的第13頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五堂上練習(xí)1.求下列矩

4、陣的特征值和特征向量第14頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五堂上練習(xí)2.利用特征向量的定義證明,若 是矩陣M對應(yīng)于特征值 的特征向量,則 t(實數(shù)t0)也必是矩陣 M 對應(yīng)于特征值 的特征向量.第15頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五抽象概括若矩陣 M 存在特征值,及其對應(yīng)的特征向量第16頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五因此,矩陣M的特征值必須滿足方程方程的根即為矩陣 M 的特征值一個二階方陣最多可以有兩個特征值方程最多有兩根解得特征值代入第17頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五第18頁，共29頁，202

5、2年，5月20日，9點19分，星期五當(dāng) b0 時,由( - a ) x by = 0當(dāng)x0時第19頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五例1解矩陣M的特征值 滿足方程解得 M 的兩個特征值 1=2, 2=3設(shè)屬于特征值 1=2 的特征向量為滿足方程組第20頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五這樣的向量有無窮多個,可表示為為屬于特征值1=2的一個特征向量設(shè)屬于特征值 2=3 的特征向量為滿足方程組這樣的向量有無窮多個,可表示為為屬于特征值2=3的一個特征向量第21頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五綜上所述,有兩個特征值1=2,2=3第2

6、2頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五對上例中連續(xù)實施n次矩陣M的變換,則第23頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五一般地,當(dāng)矩陣M有特征值及對應(yīng)的特征向量 ,即 M = 則有 Mn = 給定兩個不同線向量1,2及任意向量,總存在實數(shù)s,t,使得 = s1 + t2如果矩陣M 有兩個不同線的特征向量1,2 ,及其相應(yīng)的特征值1,2 ,有 M1= 1 1 , M2= 2 2 對任意向量有M=M(s1 + t2)=s(M1)+ t(M2)= s( 11)+ t(22) 第24頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五變換結(jié)果,任意向量在矩陣M 作用下的變換結(jié)果均可以用它們表示.對一般向量連續(xù)實施矩陣M 所表示的變換時,M2 = M2(s1+t2)= s ( M21 ) + t (M2 2)第25頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五一般地第26頁，共29頁，2022年，5月20日，9點19分，星期五例2解利用例1結(jié)果是矩陣M分別對應(yīng)特征值12的兩個特征向量,且它們不同線第27頁，共29頁，20