數(shù)字信號處理

1、數(shù)字信號處理10.有限長脈沖響應(yīng)濾波器和窗函數(shù) 2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）2 相應(yīng)于 的時間函數(shù) 為10.1理想濾波器及其存在的問題A.理想濾波器 離散抽樣信號的頻率范圍為 ，因此該范圍則是理想濾波器的頻率設(shè)計(jì)范圍。 一、理想低通濾波器 理想低通濾波器的頻譜 為 其中 稱為高通頻率。其圖形見圖（a）。2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）3 二、理想帶通濾波器10.1理想濾波器及其存在的問題 相應(yīng)于 的時間函數(shù) 為 理想帶通濾波器的頻譜 為 其中 稱為低通頻率； 為高通頻率。其圖形見圖(b)。 三、理想高通濾波器2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）4 理想高通濾

2、波器 可通過理想低通濾波器 得到 理想高通濾波器的頻譜 為 其中 稱為高截頻率。其圖形見圖（c）。10.1理想濾波器及其存在的問題 相應(yīng)于 的時間函數(shù) 為2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）5 它可以通過理想帶通濾波器 得到 其中10.1理想濾波器及其存在的問題 四、理想帶阻濾波器 相應(yīng)于 的時間函數(shù) 為 理想帶阻濾波器的頻譜 為 其中 稱為低截頻率； 為高截頻率。其圖形見圖(d)。2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）610.1理想濾波器及其存在的問題2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）710.1理想濾波器及其存在的問題 上述各種濾波器的頻譜又稱為濾波器的頻率響應(yīng)，濾波

3、 器的時間函數(shù)又稱為濾波器的脈沖響應(yīng)或?yàn)V波因子。 對于有效信號成分和干擾信號成分的頻譜完全分離的信 號，上述濾波器可以完全消除干擾，保留有效信號，故 稱為理想濾波器。 而大多數(shù)情況下，它不能起到完全消除干擾，保留有效 信號的作用。但仍可以起到消弱干擾，突出有效信號的 作用，所以在理論和實(shí)踐上都有十分重要的作用。 五、離散希爾伯特濾波器2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）8 離散希爾伯特濾波器的頻譜 為10.1理想濾波器及其存在的問題 相應(yīng)于 的時間函數(shù) 為 六、理想微分濾波器 設(shè)連續(xù)信號 的頻譜 在 時為0， 為抽樣間隔， 可表示為2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）910.1

4、理想濾波器及其存在的問題 則有 則理想微分濾波器的頻譜 為 相應(yīng)于 的時間函數(shù) 為B.理想濾波器存在的問題 由前面介紹知，理想濾波器的時間函數(shù) 的長度是無限 的，只有對應(yīng)該無限長度的 的頻譜才是理想濾波器的 頻譜，見下頁圖10-2（b）、（a）。 2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）1010.1理想濾波器及其存在的問題2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）1110.1理想濾波器及其存在的問題 然而在實(shí)際濾波中， 只取有限部分，即取-N到N之間部 分，其余部分截掉，得到截尾函數(shù) ，它的圖形見上頁圖 10-2（c） 其對應(yīng)的頻譜見圖10-2（d）。從（d）中看出在點(diǎn) ， ， 左右，曲

5、線產(chǎn)生了較為嚴(yán)重的振動現(xiàn)象，稱為吉布斯現(xiàn)象。 吉布斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因：1） 在上述四點(diǎn)處產(chǎn)生突跳。2) 截尾引起的。2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）12濾波器的吉布斯現(xiàn)象，造成濾波效果不好，它不僅不能有效地壓制干擾，突出有效信號，而且還可能是有效信號的頻譜產(chǎn)生畸變。為了克服此現(xiàn)象，從兩方面著手：一是在頻率域，避免理想濾波器頻譜中出現(xiàn)的突跳現(xiàn)象，把它改造成為一條連續(xù)甚至光滑的曲線，所采用的方法就是鑲邊法；二是在時間域，對截尾函數(shù)進(jìn)行改造，所采用的方法就是時窗函數(shù)法。關(guān)于頻域鑲邊法，參看有關(guān)文獻(xiàn)。10.1理想濾波器及其存在的問題2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）1310.2時窗函

6、數(shù)A.由截尾所引起的時窗矩形時窗 設(shè)一個無窮長時間函數(shù) 其中 為抽樣間隔， 的頻譜為 其截尾函數(shù)為 實(shí)際上，截尾函數(shù)是原始函數(shù)與一矩形時窗 相乘的 結(jié)果2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）1410.2時窗函數(shù) 即 設(shè) 的頻譜為 ，由第三章問題8知， 的頻譜為 從而知，截尾函數(shù)的頻譜與原始函數(shù)的頻譜之間的差異完全由矩形時窗的頻譜確定，下面我們研究 的特點(diǎn)。由于 是以 為周期的函數(shù)，其圖形見圖10-3（下頁）。2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）1510.2時窗函數(shù) 關(guān)于主瓣、主瓣寬度、旁瓣的說明如圖示。2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）16下面分析時窗頻譜 的主瓣和旁瓣

7、在形成截尾函數(shù)的頻譜 的過程中所起的作用。10.2時窗函數(shù)上式右端第一個積分是主瓣所起作用的結(jié)果。第一個積分使原始頻譜在寬度為 的范圍內(nèi)被主瓣平滑了。在原始頻譜有尖銳值的地方，平滑以后的頻譜與原始頻譜有較大的差異。因此主瓣寬度越窄，積分越接近原始頻譜。2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）1710.2時窗函數(shù) 積分 是旁瓣所起作用的結(jié)果。我們要使截尾函數(shù)的頻譜與原 始頻譜接近，則原始頻譜在旁瓣范圍內(nèi)所產(chǎn)生的值（上 式）只能起破壞作用，故將其稱為時窗泄漏。為了使時窗泄漏小，希望時窗頻譜旁瓣水平越低越好（使旁瓣的 振幅值或能量越小越好）。 下面舉一例說明時窗泄漏問題。2022/9/25數(shù)字信

8、號處理 第十章（1）1810.2時窗函數(shù) 設(shè) 的頻譜為理想低通頻譜 ， 為高通頻率， 的截尾函數(shù)的頻譜 ： 取 時， 與 的圖形見圖10-4（下頁）。2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）1910.2時窗函數(shù)2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）20從圖象可看出，矩形時窗函數(shù)不是一個好的時窗函數(shù)。10.2時窗函數(shù)一個好的時窗函數(shù)，應(yīng)滿足：1）主瓣寬度盡可能地?。?）旁瓣水平（指振幅值或能量）相對于主瓣來說也盡 可能小但兩個標(biāo)準(zhǔn)的矛盾性，使得我們不能兼得，只能根據(jù)具體問題，作一權(quán)衡，選擇一個適當(dāng)?shù)臅r窗函數(shù)。B.幾種時窗函數(shù)2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）21 得到離散時窗

9、函數(shù) 10.2時窗函數(shù) 連續(xù)時窗函數(shù) （ 是連續(xù)變化的），即 其中 為時窗長度 一、矩形時窗 矩形時窗函數(shù)為2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）2210.2時窗函數(shù) 它的頻譜為 二、三角形（Bartlett）時窗 三角形時窗函數(shù)為 它的頻譜為 三、鐘形（Gauss）時窗 鐘形時窗函數(shù)為2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）2310.2時窗函數(shù) 它的頻譜為 四、哈寧（Hanning）時窗 哈寧時窗函數(shù)為 它的頻譜為 其中 取值在47之間。一般來說，當(dāng)要求頻譜的中間 波峰比較突出時， 就取得小些，相對于要求主瓣的寬 度窄些，反之， 取大些，相當(dāng)于要求旁瓣水平低些。2022/9/25數(shù)

10、字信號處理 第十章（1）2410.2時窗函數(shù) 五、漢明（Hamming）時窗 漢明時窗函數(shù)為它的頻譜為 六、帕曾（Parzen）時窗 帕曾時窗函數(shù)為2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）2510.2時窗函數(shù)它的頻譜為 七、截尾丹尼爾（Daniell）時窗 截尾丹尼爾時窗函數(shù)為2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）2610.2時窗函數(shù)它的頻譜為其中 八、布拉克曼（Blackman）時窗 布拉克曼時窗函數(shù)為2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）2710.2時窗函數(shù)它的頻譜為它的頻譜為 九、凱蘇（Kaiser）時窗 凱蘇時窗函數(shù)為 其中 是修正的第一類零階貝塞爾函數(shù)， 是參數(shù)。20

11、22/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）2810.2時窗函數(shù) 實(shí)際上， 是形狀參數(shù)， 越大，主瓣寬度越大，旁瓣水 平越小。當(dāng) 表達(dá)式根號內(nèi)出現(xiàn)負(fù)值時，其變?yōu)槠渲衧h為雙曲正弦。上述推導(dǎo)涉及知識參看文獻(xiàn)16第十六章第6節(jié)。為了由連續(xù)時窗函數(shù) 得到物理可實(shí)現(xiàn)離散時窗函數(shù) ，我們?nèi)?022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）2910.2時窗函數(shù)這樣得到離散時窗函數(shù)于是，對三角形時窗有對哈寧時窗有對漢明時窗有2022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）3010.2時窗函數(shù)對布拉德曼時窗有對凱蘇時窗有常用時窗函數(shù)的主瓣寬度和旁瓣峰值 時窗函數(shù) 旁瓣峰值/dB 主瓣寬度( ) 矩形 -13 2 三角形 -25 4 哈寧 -31 4 漢明 -41 4 布拉克曼 -57 62022/9/25數(shù)字信號處理 第十章（1）31作 業(yè)第10章問題 1，