第二型線積分和面積分

1、第二型線積分和面積分2009年5月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系1第1頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日若對全空間或其中某一區(qū)域 V 中每一點 M, 都有一 個數(shù)量 (或向量) 與之對應(yīng), 則稱在 V 上給定了一個 數(shù)量場 (或向量場). 例如: 溫度和密度都是數(shù)量場, M 的位置可由坐標確定. 因此給定了某個數(shù)量場就總是設(shè)它對每個變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).同理,每 重力和速度都是向量場. 在引進了直角坐標系后, 點 等于給定了一個數(shù)量函數(shù) 在以下討論中 場的概念第2頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日個向量場都與某個向量函數(shù) 相對應(yīng). 這里 P, Q

2、, R 為所定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù), 并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如,設(shè)一個質(zhì)點在處受點 O 的距離成正比,F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 第3頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日磁力線等都是向量場線.注 場的性質(zhì)是它本身的屬性, 和坐標系的引進無關(guān). 引入或選擇某種坐標系是為了便于通過數(shù)學方法來 進行計算和研究它的性質(zhì). 則稱曲線 L 為向量場 的向量場線. 例如電力線、 設(shè) L 為向量場中一條曲線. 若 L 上每點 M 處的切線 方向都與向量函數(shù) 在該點的方向一致, 即 第4頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分

3、，星期日梯度場 我們已經(jīng)介紹了梯度的概念, 它 方向上的方向?qū)?shù). grad u 是由數(shù)量場 u 派生出來的一個向量場, 稱為 是由數(shù)量函數(shù) 所定義的向量函數(shù) grad u 的方向就是使方向?qū)?梯度場. 由前面知道, 數(shù) 達到最大值的方向, 就是在這個方 第5頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日因為數(shù)量場 的等值面 的法線 方向為 所以 grad u 恒與 u 的等值面 正交. 當把它作為運算符號來看待時, 梯度可寫作 引進符號向量 第6頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日解 若以 上的單位向量, 則有 例1 設(shè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點位于原點, 質(zhì)量為 1

4、的質(zhì)點 位于 記 第7頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日它表示兩質(zhì)點間的引力, 方向朝著原點, 大小與質(zhì)量 的乘積成正比, 與兩點間距離的平方成反比. 這說明了引力場是數(shù)量場 的梯度場, 因此常稱 為引力勢(gravitational potential ).第8頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日對坐標的曲線積分1 第二類曲線積分的概念2 兩類曲線積分的聯(lián)系3 第二類曲線積分的計算第9頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日 向量函數(shù)其大小和方向都隨點M變化 有向曲線指定了方向的曲線.通常指出起點，終點來表明.是向量預(yù)備知識第10頁，

5、共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日第二型曲線積分的概念1. 問題的提出 變力沿曲線所作的功求變力 對質(zhì)點所作的功W.設(shè)一質(zhì)點在變力 作用下,從點A點B,常力沿直線所作的功處理辦法分割近似代替取極限求和第11頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日（1）分割（2）近似代替( 3 ) 求和（4）取極限第12頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日第13頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日2. 定義 存在稱此極限為向量若在有向曲線 上的第二類曲線積分函數(shù)(坐標形式)(向量形式),或?qū)ψ鴺说那€積分(與分法和點的取法無關(guān)！)，第14

6、頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日第二類曲線積分（向量形式）第二類曲線積分（坐標形式）積分路徑被積函數(shù)單獨形式稱為對坐標 x 的曲線積分;稱為對坐標 y的曲線積分.第15頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日由定義，變力沿曲線所作的功第16頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日3. 性質(zhì) 注第二類曲線積分必須注意積分路徑的方向 !第17頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日兩類曲線積分的聯(lián)系第18頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是其中簡記為簡記為第19

7、頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日定理1 一定存在, 且第20頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日例將積分化為對弧長的積分,解其中C 沿上半圓周第21頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日例將積分化為對弧長的積分,解法2其中C 沿上半圓周第22頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日解化為定積分ab將積分化為定積分第23頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日定理設(shè)上連續(xù)，則起點終點第二類曲線積分的計算計算定積分轉(zhuǎn) 化求曲線積分當t由ab時，對應(yīng)的點M(x,y)從起點A運動到終點B 描出曲線為端點的區(qū)間

8、上連續(xù)，第24頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日注第25頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日A B對應(yīng)曲線上ab第26頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日例2 計算其中(1)(2)(3)解 (1)(2)(3)被積函數(shù)相同，起點和終點相同，但是路徑不同，積分結(jié)果相同。第27頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日例3 計算曲線積分解第28頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日例4 設(shè)曲線G:從 ox 軸正向看去為逆時針方向,求曲線積分解第29頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日例5

9、 設(shè)一個質(zhì)點在處受力 的作用,已知的方向指向坐標原點,其大小與作用點到 xoy 面的距離成反比.此質(zhì)點由點沿直線移動到求 F 所作的功 W.解第30頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日思考題第31頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.第32頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日練 習 題第33頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日第34頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日第35頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日練習題答案第36頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日第37頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日回顧: 常力沿直線所作的功若改變運動方向，即從點B到點A所作的功 有向曲線指定了方向的曲線.通常指出起點，終點來表明.與從點A到點B所作的功大小相等，但符號相反.第38頁，共39頁，2022年，5月20日，16點3分，星期日 向量函數(shù)在平面區(qū)域D