第16課 實(shí)對稱矩陣的對角化

1、第16課 實(shí)對稱矩陣的對角化第1頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五性質(zhì)1 實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).(證明略）一、實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1的意義因?yàn)閷ΨQ矩陣 的特征值 為實(shí)數(shù)，所以齊次線性方程組又因?yàn)?，可知該齊次線性方程組一定有實(shí)的基礎(chǔ)解系，從而對應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量。是實(shí)系數(shù)方程組。注未必所有的實(shí)矩陣對應(yīng)的特征值都是實(shí)數(shù)。第2頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五性質(zhì)2 實(shí)對稱矩陣 的對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交。是依次與之對應(yīng)的特征向量。證 設(shè) 是對稱矩陣 的兩個(gè)特征值，且則于是為實(shí)對稱矩陣，即 正交。第3頁，共25頁，2022年，5月20日，

2、16點(diǎn)1分，星期五例：A定理5.3.1 (實(shí)對稱矩陣必可對角化)對于任一 階實(shí)對稱矩陣 ，其中 是以 的 個(gè)特征值為對角元素的對角陣。一定存在 n 階正交矩陣 使得推論： 為 階實(shí)對稱矩陣， 是 的 重特征值，即 的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為則對應(yīng)于 的特征向量中，線性無關(guān)的向量的個(gè)數(shù)為 （則 ）知道結(jié)論即可二、實(shí)對稱矩陣（正交）對角化的結(jié)論第4頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五證明：A為實(shí)對稱矩陣，則A必可對角化。即 的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為第5頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五例1 設(shè)求正交矩陣 ，使得 為對角陣。解第6頁，共25頁，2022年，5月

3、20日，16點(diǎn)1分，星期五當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為得基礎(chǔ)解系令第7頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為令得基礎(chǔ)解系之間是什么關(guān)系？第8頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五令先正交化：再單位化：令第9頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五單位化得得正交矩陣唯一嗎？第10頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五求正交矩陣 ，把實(shí)對稱矩陣 化為對角陣的方法：1. 解特征方程求出對稱陣 的全部不同的特征值。即求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。3. 將屬于每個(gè) 的特征向量先正交化，再單位化。2. 對每個(gè)特征值 ，

4、求出對應(yīng)的特征向量，這樣共可得到 個(gè)兩兩正交的單位特征向量4. 以 為列向量構(gòu)成正交矩陣有第11頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五即必須注意：對角陣中 的順序要與特征向量 的排列順序一致。第12頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五例2 設(shè)求正交矩陣 ，使得 為對角陣。解第13頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五當(dāng) 時(shí)，由即得基礎(chǔ)解系當(dāng) 時(shí)，由即得基礎(chǔ)解系第14頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五當(dāng) 時(shí)，由即得基礎(chǔ)解系只需把 單位化，得（考慮為什么？）第15頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五得

5、正交矩陣有只需把 單位化，得只需把 單位化，得第16頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五解秩設(shè) 的特征向量為則例3 設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的特征值為，已知，相對應(yīng)的特征向量分別為, 求 的值及矩陣 A.第17頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五得基礎(chǔ)解系思考 求A，C還有沒有別的取法？第18頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五把一個(gè)矩陣化為對角陣，不僅可以使矩陣運(yùn)算簡化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義?？蓪腔木仃囍饕幸韵聨追N應(yīng)用：1. 由特征值、特征向量反求矩陣?yán)?：已知方陣 的特征值是相應(yīng)的特征向量是求矩陣第19頁，共25頁，2022

6、年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五解：因?yàn)樘卣飨蛄渴?維向量，所以矩陣 是3 階方陣。因?yàn)?有 3 個(gè)不同的特征值，所以 可以對角化。即存在可逆矩陣 , 使得其中求得第20頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五第21頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五2. 求方陣的冪例5：設(shè) 求解：可以對角化。齊次線性方程組為當(dāng) 時(shí)，系數(shù)矩陣令 得基礎(chǔ)解系:第22頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五齊次線性方程組為當(dāng) 時(shí)，系數(shù)矩陣令 得基礎(chǔ)解系:令求得即存在可逆矩陣 , 使得第23頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五第24頁，共25頁，2022年，5月20日，16點(diǎn)1分，星期五是矩陣A的一個(gè)特征值，且向量 (1,1,1)T是A的a的對應(yīng)的