幾何體的外接球

1、幾何體的外接球一、球的性質回顧如右圖所示：O為球心，O為球O的一個小圓的圓心，則 此時OO垂直于圓O所在平面。二、常見平面幾何圖形的外接圓外接圓半徑（r）的求法1、三角形：（ 1）等邊三角形：O等邊三角形也即正三角形，其滿足正多邊形的基本特征：五心合一 即內(nèi)心、外心、重心、垂心、中心重合于一點。O內(nèi)心：內(nèi)切圓圓心，各角角平分線的交點； 外心：外接圓圓心，各邊中垂線的交點； 重心：各邊中線的交點；垂心：各邊垂線的交點； 中心：正多邊形特有。從而等邊三角形的外接圓半徑通常結合重心的性質進行求解：（其中a為等邊三角形的邊長）2）直角三角形：結合直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

2、可知：直角三角形的外 接圓圓心位于斜邊的中點處，求解過程比較簡單，該處不做重點說明。3）等腰三角形：結合等腰三角形中三線合一的性質可知：等腰三角形的外接圓圓心位于底邊的高線即中線 上。4）非特殊三角形：1BD=2a由圖可得：思考：鈍角三角形和銳角三角形外接圓圓心位置的 區(qū)別?？疾燧^少，若出現(xiàn)除以上三種情況以外的三角形在求解外接圓半徑時可以參考使用正弦定 理。2、四邊形 常見具有外接圓的四邊形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形和長方形半徑求解方法 類似，等腰梯形的外接圓圓心不在中學考察范圍內(nèi)，不用掌握。外接圓圓心是在幾何圖形所在平面的一個到各個頂點距離相同的點；外接球球心則是空間中 到幾何體

3、各個頂點距離相同的點。結合上述所講內(nèi)容，外接圓圓心和外接球球心有許多相似之處 以三角形為例，過三角形的外接圓圓心作三角形所在平面的一條垂線，不難得到：該垂線上 的任意一點到該三角形三個頂點的距離恒定相等。轉化到幾何體中，如正方體，其外接球球心位于體心位置，其和正方體任一表面正方形的中 心連線均垂直于該正方形。從而我們得出如下結論：幾何體的外接球球心和底面外心的連線垂直 于底面，也即球心落在過底面外心的垂線上，簡單稱之為：球心落在 底面外心的正上方。三、常見幾何體的外接球半徑的求法1、 直（正）棱柱以三棱柱為例 例：在正三棱柱ABC- A1B1C1中三角形ABC是邊長為2的正三角形，AA1=3

4、求該 三棱柱的外接球半徑.A1C1B1分析：如右圖，由正三角形的邊長可知底面的外接圓半徑r,要求R,只 需確定OO的長度，結合正棱柱也是直棱柱的特征可知，上下兩底面三角 形的外心連線和側棱平行和底面垂直，從而球心 O 必位于上下兩底面外 心連線的中點處，即，從而RA1C1B1由題可得： ,在直角三角形AOO中，R2 = r2 + OO2從而2、棱錐常見有三棱錐和四棱錐兩類，其中四棱錐的外接球半徑求法相對比較簡單，此處重點分析三 棱錐的外接球。（1）含有線面垂直關系（側棱垂直和底面）的三棱錐 該種三棱錐的外接球半徑求法有兩種，舉例說明如下。例：在三棱錐P-ABC中，三角形ABC是邊長為2的正三角

5、形，PA丄平面ABC，PA=3,求 該三棱錐的外接球半徑.分析：如右圖 法一：該幾何體可由正三棱柱沿平民啊 PBC 切割而產(chǎn)生，故該三棱錐的外接球可轉化為原三棱柱的外接球；法二：先確定底面三角形ABC的外心O,從而球心位于O的正上方， 即OO丄平面ABC,同時：OP=OA，故，過O作OM丄PA于M,此2/9時 M 必為 PA 中點，從而四邊形 OMAO 為矩形，所以，在直角三角形 OOA 中有R 2 = r 2 + OO2.計算過程略.（2）正棱錐 以正三棱錐為例在正三棱柱中頂點和底面中心的連線垂直于底面，即PO丄面ABC，故球心O落在直線PO,上.例：在正三棱錐P-ABC中，三角形ABC是邊

6、長為2的正三角形，PA=3,球該三棱錐的外 接球半徑.分析：如圖由底面正三角形邊長可得r,在直角三角形OOA中，R2二r2 + OO2，故只需確定OO的長度即可，結合圖形,OO=PO-OP=H-R,帶入上式中即可求解.由題可知：r = ，H = x PA2 一 O A2 = 3所以 R2 r2 + （H 一 R）2解得：（3）含有側面垂直于底面（不含側棱垂直于底面）的三棱錐該類問題的求解難點在于球心位置的尋找，確定球心時需要分別取兩相互垂直的面的過外心的垂線，球心位于兩垂線的交點處。例：在三棱錐P-ABC中，面PAB丄面ABC,三角形ABC和三角形PAB均為等邊三角形, 且AB=3，求該幾何體

7、外接球半徑.分析：設厶ABC和厶PAB的球心分別為O,O，取AB中 點 M,球心設為0,則OO丄平面ABC, 00丄平面 PAB,從而四邊形OOMO是矩形，可得：OO=OM, 在三角形OOC中結合溝通定理即可求解.133_由題可得：OO = OM = PM = ,r = AB =、-332所以練習題組一1某幾何體的三視圖如圖,若該幾何體的所有頂點都在一個球面上,則該球面的表面積為（）側視團2.三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上，已知PA、PB、PC兩兩垂直，PA=1,PB+PC=4，當三棱錐的體積最大時，球心O到平面ABC的距離是（）A奇B. C普D3.體積的球有一個內(nèi)接正三棱錐P -

8、 ABC3.體積的球有一個內(nèi)接正三棱錐P - ABC，PQ是球的直徑，ZAPQ=60。，則三棱錐P - ABC的體積為（A.)C.D.四面體ABCD的四個頂點都在某個球O的表面上，ABCD是邊長為3方的等邊三角形, 當A在球0表面上運動時，四面體ABCD所能達到的最大體積理耳則四面體OBCD的體積為（ ）A.S1V3A.S1V38C. 9 庁 D.35.點A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD兩兩垂直，且AB=1，AC=2, AD=3,則該球的表面積為（）A. A. 7nB. 14n C.D.26.已知點A、B、C、D均在球O上，AB=BC=l 3, AC=3，若三棱錐D - ABC

9、體積的最大 值為寧，則球0的表面積為（）-I rA. 36n B. 16n C. 12n D.n7.已知直三棱柱ABC - A1B1C1的各頂點都在球O的球面上，且AB=AC=1, BC=；瓦若球O的體積為，則這個直三棱柱的體積等于（）A. ； 2 B. 一 3 C. 2D. 一 5已知正三棱錐P-ABC,點P, A, B, C都在半徑為匚3的球面上，若PA, PB, PC兩兩 TOC o 1-5 h z 互相垂直，則球心到截面ABC的距離為（）A. B. C.D. 3344已知三棱錐P - ABC的所有頂點都在球O的球面上，AABC是邊長為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積毎0,

10、則球O的表面積為（）6A. 4n B. 8n C. 12n D. 16n四棱錐P - ABCD的底面ABCD為正方形，PA丄底面ABCD, AB=2，若該四棱錐的所2437V有頂點都在體積為同一球面上，則PA=（）16A. 3 B. C. 2- 3D.斗練習題組二九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱和底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑若三棱錐 P -ABC為鱉臑，PA丄平面ABC, TOC o 1-5 h z PA=AB=2, AC=4,三棱錐P - ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A. 8n B. 12n C. 20n D. 24n已

11、知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一球面上，其中ABC是正三角形，PA丄平面ABC, PA=2AB=2T 3,則該球的表面積為（）A. 8n B. 16n C. 32n D. 36n已知三棱錐A - BCD的四個頂點A、B、C、D都在球O的表面上，AC丄平面BCD,BC丄CD, 且 AC=, BC=2, CD=.：，則球 O 的表面積為（）A. 12n B. 7n C. 9n D. 8n4.已知A, B, C三點都在以O為球心的球面上，OA, OB, OC兩兩垂直，三棱錐O - ABC4的體積為石，則球O的表面積為（）A.BA.B. 16n C.D. 32n已知四棱錐P - ABCD的頂點都在

12、球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD丄底面ABCD,APAD為正三角形，AB=2AD=4，則球O的表面積為（A.56A.56兀C. 24n D.6.已知三棱錐P-ABC中，PA丄底面ABC, AB丄BC, PA=AC=2,且該三棱錐所有頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（)A. 4n B. 8nC. 16n D. 20n7.點 A, B, C,D在同一個球的球面上AB=BC=l： 6,ZABC=90，若四面體 ABCD 體積的最大值為3,則這個球的表面積為（)A. 2n B. 4nC. 8n D. 16n8.三棱柱ABC - A1B1C1的側棱垂直于底面，且AB丄BC, AB=BC

13、=AA1=2,若該三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. 48n B. 32n C. 12n D. 8n9.三棱錐P-ABC中，側棱PA=2, PB=PC=, 6,則當三棱錐P - ABC的三個側面的面積和最大時，經(jīng)過點P, A, B, C的球的表面積是（）A. 4n B. 8n C. 12n D. 16n10.如圖1, ABCD是邊長為2的正方形，點E, F分別為BC, CD的中點，將 ABE,AECF,AFDA分別沿AE, EF, FA折起，使B, C, D三點重合于點P,若四面體PAEF的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積是（） TOC o 1-5 h z 圉1團2A. T6兀 B. 6n C. 4七兀 D. 12n11.如圖某空間幾何體的正視圖和俯視圖分別為邊長為2的正方形和正三角形，則該空間幾何體的外接球