例析古典概型題

1、例析古典概型題不放回地取球問題例 1 盒子里面放有大小形狀相同的 a 個白球、 b 個黑球，從中依次不放回地任意取出 k 個球，求：1）第 k 次取出的恰好為白球的概率；2）第 r 次取出的為白球且第 k 次取出的為黑球的概率r k.分析（ 1）設想將球編號，一個一個不放回地取出，直到第 k 次取到白球為止， 則基本事件總數(shù)就是從 a+b個編號的球中選出 k 個球進行排列，即 Aka+b. 要使 A 發(fā)生，只需要從 a 個白球中選出一個放在第 k 個位置上 . 作為第 k 次取出來的球，前面的 k-1 個位置可以任意放余下的球，因此A事件包含 A1a?Ak-1a+b-1個基本事件 .2）同（

2、1），基本事件總數(shù)就是從 a+b個編號的球中選出 k 個球進行排列 . B事件要求是：第 r 個球是白球，有A1a種排法；第 k 個球是黑球，有A1b 種排法；剩余位置可以從剩余的球中選取k-2 個來排列 . 因此 B事件包含A1a?A1b?Ak-2a+b-2個基本事件 .解 （ 1）設第 k 次取出白球的事件為A ，則所求概率為 P（A） =A1a?Ak-1a+b-1Aka+b=aa+b.（ 2）設第 r 次取出白球且第k 次取出黑球的事件為B，則所求概率為 P（ B） =A1a?A1b?Ak-2a+b-2Aka+b=ab（ a+b）a+b-1） .例 2 一個袋子中裝有大小形狀完全相同的a

3、 個白球、b個黑球，從袋子中隨機取出n 個球，求：1）取出的球中恰有 k 個白球的概率；2）假設袋中另有 c個紅球，取出的 n 個球中恰有 t個白球， m 個黑球的概率，其中1 t+m a+b.分析在這一模型中，摸球的最終結果，與取出球的數(shù)量有關，而與球的排列順序無關.1）從 a+b 個球中不計順序地取出 n 個球，所有的可能有 Cna+b種. 在取出的 n 個球中恰有 k 個白球，這k 個白球從 a 個白球中取， 剩下的 n-k 個球只能是從 b 個黑球中取出的，所以事件 A 有Cka?Cn-kb種取法 .2）從 a+b+c個球中取出 n 個球，則所有可能取法有Cna+b+c種 . 在n 個

4、球中包含 t 個白球， m 個黑球，剩下的是n-t-m 個紅球，則 B事件有 Cta?Cmb?Cn-t-mc種取法 .解 （ 1）設取出的球中恰有 k 個白球為事件 A ，則所求的概率為 P（ A） =Cka?Cn-kbCna+b.2）設取出的 n 個球中恰有 t 個白球， m 個黑球為事件B，則所求的概率為P（ B） =Cta?Cmb?Cn-t-mcCna+b+c.有放回地取球問題例 3 某袋中裝有大小形狀完全相同的 a 個紅球、 b 個藍球，用有放回地抽取方式從中依次抽取出n 個球，求：（ 1）第 k 次取出的是紅球的概率；（ 2）第 k 次才取到紅球的概率；（ 3）前 k 次中能取到紅球

5、的概率，其中k n a+b.分析（ 1）第 k 次取到的是紅球，就意味著前k-1 次就是在 a+b中取出一個球就可以了，無論是紅球還是藍球；然后第 k 次在 a 個紅球中取出一個紅球就可以了，故第 k 次取出的是紅球有 a+bk-1?C1a種取法 .2）第k 次才取到紅球， 則前面的 k-1 次都不是紅球而是藍球，故第 k 次才取到紅球有 bk-1?C1a種取法 .（ 3）前 k 次能取到紅球的對立事件是前k 次取到的都是藍球，有 bk 種取法，因此前k 次取到的都是藍球的概率為bka+bk.解 （ 1）設第 k 次取出紅球的事件為 A ，所求概率為 P（ A）=a+bk-1?C1aa+bk=

6、aa+b.2）設第 k 次才取到紅球為事件 B，則所求的概率為 P（ B） =bk-1?C1aa+bk=bk-1?aa+bk.3）設前 k 次中能取到紅球為事件 C，則所求的概率為 P（ C） =1-bka+bk.分球入盒問題例 4 將 n 個球隨機放入 N 個箱子中（ Nn ），求下列事件的概率 .（ 1）指定 n 個箱子各放一球；（ 2）每個箱子中最多放入一個球；（ 3）第 i 個箱子不是空的；（ 4）第 i 個箱子恰好放入kk n個球 .分析根據(jù)題目條件知，每個球都可以放入N 個箱子中的任意一個箱子中，有N 種放法 .可以得到 n 個球隨意放入個箱子中有 Nn 種放法 .1）指定的 n

7、個箱子中各放一球就相當于 n 個球的全排列，有 n ！ 種不同的放法 .2）從N 個箱子中任意選出 n 個箱子，有 CnN種選法；然后在選出的 n 個箱子中每個箱子里放一個球， 有 n！種放法. 事件 B就有 CnN?n！ 種放法 .3）題目要求第 i 個箱子不空，即第 i 個箱子至少要放入一個球，直接計算時分類較多，因此考慮求其對立事件第個箱子為空的概率 .由于第 i 個箱子是空的， 于是要把 n 個球隨機放入其余的 N-1 個箱子中，有 N-1n 種放法，所以第個箱子為空的概率為 P=N-1nNn.4）先從 n 個球中選出 k 個球放入第 i 個箱子中，有Ckn種不同的選法；再把余下的 n

8、-k 個球任意放入其余的 N-1 個箱子中，有 N-1n-k 種放法 . 因此第 i 個箱子恰好放入 k 個球有Ckn?N-1n-k種放法 .解 （1）設指定的 n 個箱子中各放一球為事件A ，所求的概率為 P（A） =n！ Nn.2）設每個箱子中最多放一個球為事件B，所求概率為 P（ B）=CnN?n！ Nn.3）設第 i 個箱子不空為事件 C，所求概率為 P（ C）=1-P=1-N-1nNn.4）設第 i 個箱子恰好放入 kk n 個球為事件 D，所求概率為 P（ D） =Ckn?N-1n-kNn.有放回地隨機取數(shù)例 5 從 2，3，4，5，6，7，8 這 7 個數(shù)字中依次有放回地抽取 4

9、 個數(shù)字，試求下列事件的概率.1） A=取出的 4 個數(shù)字完全不同 ；2） B=取出的 4 個數(shù)字不含 3 和 7 ；（ 3） C=取出的 4 個數(shù)字中至少出現(xiàn)一次4.分析從 7 個數(shù)字中依次有放回地抽取4 個數(shù)字，所有可能的結果有 74 種.（ 1）抽取的4 個數(shù)字都不相同，所以A事件包含的結果個數(shù)可以看成是從7 個數(shù)字中取出4 個的排列 A47.（2）若抽取的數(shù)字不含 3 和 7，相當于從剩余的 5 個數(shù)字中隨機抽取 4 個數(shù)字 . 因為是有放回地抽取，所以事件 B有54 種結果 .（ 3）若 4 個數(shù)字中至少出現(xiàn)一次4，直接計算情況較多，因此考慮求其對立事件，即C=4 個數(shù)字中沒有出現(xiàn)4

10、. 也就是說要從沒有4 的6 個數(shù)字中有放回地任意選出4 個數(shù)字，有64 種. 因此， 4 個數(shù)字中沒有出現(xiàn)4 的概率為 6474.解 （ 1） PA=A47740.3499.（ 2） PB=5474 0.2603.（ 3） PC=1-6474 0.4602.無放回地隨機取數(shù)例 6 用數(shù)字 1，2，3，4，5 任意組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，求下列事件的概率 .1） A=它是一個奇數(shù) ；2） B=它大于 34000.分析由 5 個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)，可以看作是 5 個數(shù)字的全排列，那么其總的事件個數(shù)為A55.1）事件 A要求組合出來的數(shù)字是一個奇數(shù)，個位數(shù)就只能是 1，3，5 中的一個，

11、剩下的 4 個數(shù)字全排列，那 A事件的總數(shù)就有3 A44.（2）事件 B要保證五位數(shù)大于34000，若首位數(shù)字是4，5，這個五位數(shù)大于34000，有 2 A44種取法；若首位數(shù)字是 3，此時千位數(shù)字是4 或 5 也是滿足要求的，有2A33種取法 .解 （ 1） PA=3A44A55=0.6.（ 2） PB=60A55=0.5.例7從 2，3，4，5，6這5 個數(shù)字中任意取出3 個不同的數(shù)字，求下列事件的概率.（ 1） A=3 個數(shù)字中不含有（ 2） B=3 個數(shù)字中不含有分析從 5 個數(shù)字中任意取出2和 5；2或5.3 個數(shù)字的基本事件總數(shù)為C35個 .1）A 事件要求 3 個數(shù)字中不含有 2 和 5，則只能是 3，4， 6，所以只有一種取法.2） B事件要求 3 個數(shù)字中不含有 2 或 5，不含有 2 有C34種，不含有 5 有 C34種，前面兩種情況中都包含了既不含有 2 也不含有5 的情況，因此要減去重復的，所以B事件的個數(shù)為 2 C34-1.解 （ 1） PA=C33C35=0.1.2） PB=2 C34-1C35=0.7.例 8 從整數(shù) 0， 1， 2， 9 中任取 4 個不重復的數(shù)字排成一排，求取出的數(shù)能排成一個四位數(shù)的奇數(shù)的概率是多少？分析 從 10 個數(shù)字中任取 4 個不重復的數(shù)字排成一排有A410 種結果 .