正弦定理和余弦定理詳細講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高考風向1.考查正弦定理、余弦定理的推導；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導公式等知識點進行綜合考查學習要領1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.通過正弦、余弦定理實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合基礎知識梳理1 正弦定理：eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin

2、_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)等形式，解決不同的三角形問題2 余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形：cos Aeq f(b2c2a2,2bc)，cos Beq f(a2c2b2,2ac)，cos Ceq f(a2b2c2,2ab).3 SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin Beq f(abc,4R)e

3、q f(1,2)(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R、r.4 在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab解的個數(shù)一解兩解一解一解難點正本疑點清源1在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，ABabsin Asin B；tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；在銳角三角形中，cosAsinB,cosAsinC2 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換例1已知在中，解三角形.思

4、路點撥:先將已知條件表示在示意圖形上（如圖），可以確定先用正弦定理求出邊，然后用三角形內(nèi)角和求出角，最后用正弦定理求出邊.解析：， ， ，又，總結(jié)升華：1. 正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題；2. 數(shù)形結(jié)合將已知條件表示在示意圖形上，可以清楚地看出已知與求之間的關(guān)系，從而恰當?shù)剡x擇解答方式.舉一反三：【變式1】在中，已知，解三角形?！敬鸢浮扛鶕?jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，【變式2】在中，已知，求、.【答案】，根據(jù)正弦定理，.【變式3】在中，已知，求 【答案】根據(jù)正弦定理，得.例2在，求：和，思路點撥: 先將已知條件表示在示意圖形上（如圖），可以確定先

5、用正弦定理求出角，然后用三角形內(nèi)角和求出角，最后用正弦定理求出邊.解析：由正弦定理得：，（方法一）， 或，當時，（舍去）；當時，（方法二）， ， 即為銳角， ，總結(jié)升華：1. 正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對角，求其他邊和角的問題。2. 在利用正弦定理求角時，因為，所以要依據(jù)題意準確確定角的范圍，再求出角.3.一般依據(jù)大邊對大角或三角形內(nèi)角和進行角的取舍.類型二：余弦定理的應用：例3已知中，、，求中的最大角。思路點撥: 首先依據(jù)大邊對大角確定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：三邊中最大，其所對角最大，根據(jù)余弦定理：， ， 故中的最大角是.總結(jié)升華： 1.中，若知道三邊的長度或三邊的關(guān)系

6、式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理時，要注意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：【變式1】已知中, , , 求角.【答案】根據(jù)余弦定理：， 【變式2】在中，角所對的三邊長分別為，若，求的各角的大小【答案】設，根據(jù)余弦定理得：，；同理可得；【變式3】在中，若，求角.【答案】， ， 類型三：正、余弦定理的綜合應用例4在中，已知，求及.思路點撥: 畫出示意圖，由其中的邊角位置關(guān)系可以先用余弦定理求邊，然后繼續(xù)用余弦定理或正弦定理求角.解析：由余弦定理得：=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理） ，（法二：正弦定理） 又，即總結(jié)升華：畫出示意圖，數(shù)形結(jié)合，正確選用正弦、余弦

7、定理，可以使解答更快、更好.舉一反三：【變式1】在中，已知, , .求和.【答案】由余弦定理得：， 由正弦定理得：，因為為鈍角，則為銳角， . .【變式2】在中，已知角所對的三邊長分別為，若，求角和【答案】根據(jù)余弦定理可得： ， ； 由正弦定理得：.其他應用題詳解一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.eq r(3)a kmC.eq r(2)a km D2a km解析利用余弦定理解ABC.易知ACB120，在ACB中

8、，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)3a2，ABeq r(3)a.答案B2張曉華同學騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30方向上，15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是()A2eq r(2) km B3eq r(2) kmC3eq r(3) km D2eq r(3) km解析如圖，由條件知AB24eq f(15,60)6，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正

9、弦定理知eq f(BS,sin30)eq f(AB,sin45)，所以BSeq f(AB,sin45)sin303eq r(2).答案B3輪船A和輪船B在中午12時離開海港C，兩艘輪船航行方向的夾角為120，輪船A的航行速度是25海里/小時，輪船B的航行速度是15海里/小時，下午2時兩船之間的距離是()A35海里 B35eq r(2)海里C35eq r(3)海里 D70海里解析設輪船A、B航行到下午2時時所在的位置分別是E，F(xiàn)，則依題意有CE25250，CF15230，且ECF120，EFeq r(CE2CF22CECFcos120)eq r(50230225030cos120)70.答案D4

10、(2014濟南調(diào)研)為測量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30，測得塔基B的俯角為45，那么塔AB的高度是()A20eq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(3),3) m B20eq blc(rc)(avs4alco1(1f(r(3),2) mC20(1eq r(3) m D30 m解析如圖所示，由已知可知，四邊形CBMD為正方形，CB20 m，所以BM20 m又在RtAMD中，DM20 m，ADM30，AMDMtan30eq f(20,3)eq r(3)(m)ABAMMBeq f(20,3)eq r(3)2020eq blc(rc)(avs

11、4alco1(1f(r(3),3)(m)答案A5(2013天津卷)在ABC中，ABCeq f(,4)，ABeq r(2)，BC3，則sinBAC()A.eq f(r(10),10) B.eq f(r(10),5)C.eq f(3r(10),10) D.eq f(r(5),5)解析由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosABC(eq r(2)2322eq r(2)3eq f(r(2),2)5，所以ACeq r(5)，再由正弦定理：sinBACeq f(sinABC,AC)BCeq f(3f(r(2),2),r(5)eq f(3r(10),10).答案C6(2014滁州調(diào)研)線段AB外有一點C

12、，ABC60，AB200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運動開始多少h后，兩車的距離最小()A.eq f(69,43) B1C.eq f(70,43) D2解析如圖所示，設t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD80t，BE50t.因為AB200，所以BD20080t，問題就是求DE最小時t的值由余弦定理，得DE2BD2BE22BDBEcos60(20080t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.當teq f(70,43)時，DE最小答案C二、填空題(本大題共3小題，每小

13、題5分，共15分)7已知A，B兩地的距離為10 km，B，C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測得ABC120，則A、C兩地的距離為_km.解析如右圖所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos120700，AC10eq r(7)(km)答案10eq r(7)8如下圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距8eq r(2)n mile.此船的航速是_n mile/h.解析設航速為v n mile/h在ABS中，ABeq f(1,2)v，BS8eq r(2)，BSA45，由正弦

14、定理得：eq f(8r(2),sin30)eq f(f(1,2)v,sin45)，v32(n mile/h)答案329如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60，再由點C沿北偏東15方向走10米到位置D，測得BDC45，則塔AB的高是_米解析在BCD中 ，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，eq f(BC,sin45)eq f(CD,sin30)，BCeq f(CDsin45,sin30)10eq r(2)(米)在RtABC中，tan60eq f(AB,BC)，ABBCtan6010eq r(6)(米)答案10eq r(

15、6)三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)10(2014臺州模擬)某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處于坡度15的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10eq r(6)米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上若國歌長度約為50秒，升旗手應以多大的速度勻速升旗？解在BCD中，BDC45，CBD30，CD10eq r(6)，由正弦定理，得BCeq f(CDsin45,sin30)20eq r(3).在RtABC中，ABBCsin6020eq r(3)eq f(r(3),2)30(米)，所以升旗速度ve

16、q f(AB,t)eq f(30,50)0.6(米/秒)11.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距5(3eq r(3)海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20eq r(3)海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達D點需要多長時間？解由題意，知AB5(3eq r(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得eq f(DB,sinDAB)eq f(AB,sinADB)，于是DBeq f(ABsinDAB,sinADB)eq f(

17、53r(3)sin45,sin105)eq f(53r(3)sin45,sin45cos60cos45sin60)eq f(5r(3)r(3)1,f(r(3)1,2)10eq r(3)(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20eq r(3)(海里)，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 200210eq r(3)20eq r(3)eq f(1,2)900.得CD30(海里)，故需要的時間teq f(30,30)1(小時)，即救援船到達D點需要1小時12.(2013江蘇卷)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步

18、行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運行的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cosAeq f(12,13)，cosCeq f(3,5).(1)求索道AB的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？解(1)在ABC中，因為cosAeq f(12,13)，cosCeq f(3,5)，所以sinAeq f(5,13)，sinCeq f(4,5).從而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinCeq