2021屆廣東省肇慶市高三下學(xué)期第三次統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、試卷第 =page 2 2頁，總 =sectionpages 4 4頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2021屆廣東省肇慶市高三下學(xué)期第三次統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）A2BCD【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為，故選：B2已知，則（ ）ABCD【答案】C【分析】由時(shí)，可判定A，B錯(cuò)誤；由時(shí)，可判定D錯(cuò)誤；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可判定C正確.【詳解】對于A、B中，例如：時(shí)，可得A，B錯(cuò)誤；對于D中，例如：時(shí)，所以D錯(cuò)誤；對于C中，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是上

2、的增函數(shù)，由，可得，所以C正確.故選：C.3，則（ ）A49B56C59D64【答案】C【分析】令，可得各項(xiàng)系數(shù)和.【詳解】令，.故選：C.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和、奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和問題關(guān)鍵是賦值法應(yīng)用.若，則展開式中：(1)各項(xiàng)系數(shù)之和為；(2)；(3).4中國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.一個(gè)上底面

3、邊長為1，下底面邊長為2，高為的正六棱臺與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（ ）A16BCD21【答案】D【分析】由祖暅原理知不規(guī)則幾何體的體積與正六棱臺體積相等即可求解.【詳解】由祖暅原理，該不規(guī)則幾何體體積與正六棱臺體積相等，故.故選：D5函數(shù)的部分圖象大致為（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值對選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此確定正確選項(xiàng)【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B，C錯(cuò)誤故選：D6在的等腰直角中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（ ）ABCD【答案】A【分析】以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)直角邊長為2，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算可得的值.【詳解】以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

4、設(shè)，則，則，所以，所以.故選：A7已知是橢圓的右焦點(diǎn)，過橢圓的下頂點(diǎn)且斜率為的直線與以點(diǎn)為圓心、半焦距為半徑的圓相切，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】A【分析】求得過橢圓的下頂點(diǎn)且斜率為的直線，利用圓心到此直線的距離列方程，化簡求得離心率.【詳解】過橢圓的下頂點(diǎn)且斜率為的直線方程為，由點(diǎn)到直線距離公式，得，即，則.又，即，解得.故選：A8已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【分析】先分離參數(shù)，再將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題來求解即可【詳解】由，設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故故選：B二、多選

5、題9某學(xué)校組織學(xué)生參加勞動(dòng)實(shí)踐，學(xué)生需要手工制作一種模具，勞動(dòng)實(shí)踐結(jié)束后，學(xué)校任選了一個(gè)班級，統(tǒng)計(jì)了該班每人制作的合格品個(gè)數(shù)，其結(jié)果用莖葉圖記錄如下：由以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果，下列判斷正確的是（ ）A男生制作合格品個(gè)數(shù)的方差更大B女生制作合格品個(gè)數(shù)的分布更接近正態(tài)分布.C男生制作合格品個(gè)數(shù)的分布更接近正態(tài)分布D該班女生制作合格模具的平均能力要低于男生【答案】ACD【分析】根據(jù)莖葉圖中男生組的數(shù)據(jù)和女生組的數(shù)據(jù)分布情況，對選項(xiàng)中的命題判斷正誤即可【詳解】解：對于A，由莖葉圖中數(shù)據(jù)知，男生組的數(shù)據(jù)較為分散，波動(dòng)性大，所以方差大，女生組的數(shù)據(jù)比較集中，波動(dòng)性小，方差小，所以選項(xiàng)A正確；對于B，女生組的數(shù)據(jù)比較

6、集中，但對稱性不高，不接近于正態(tài)分布，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，男生組的數(shù)據(jù)較為分散，但對稱性好，更接近于正態(tài)分布，所以選項(xiàng)C正確；對于D，男生組的數(shù)據(jù)分布在20左右，女生組的數(shù)據(jù)集中在1020，所以女生組數(shù)據(jù)的平均值小于男生組，選項(xiàng)D正確故選：ACD10已知集合，則下列命題中正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則或D若時(shí)，則或【答案】ABC【分析】求出集合，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷【詳解】，若，則，且，故A正確.時(shí)，故D不正確.若，則且，解得，故B正確.當(dāng)時(shí)，解得或，故C正確.故選：ABC11已知函數(shù)，則（ ）AB的最大值為C是奇函數(shù)D的最小值為【答案】AB【分析】

7、由，可判定A正確；由，集合基本不等式，可判定B正確；由函數(shù)奇偶性的定義，可判定C不正確；由，可判定D不正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以A正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故B正確；由，所以，所以C不正確；由，所以D不正確.故選：AB12已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（ ）A數(shù)列是等比數(shù)列B恒成立C恒成立D恒成立【答案】BC【分析】根據(jù)條件寫出，兩式作比可得，為隔項(xiàng)等比數(shù)列，由，代入計(jì)算可得，代入可求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出前項(xiàng)和公式，從而判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】，故，又，故，故，所以A錯(cuò)誤，B正確；，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列中出現(xiàn)兩項(xiàng)的和或積時(shí)，經(jīng)常令代替再寫一項(xiàng)，兩式

8、做差或做商，從而找出隔項(xiàng)的關(guān)系，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.三、填空題13已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且，的面積為，則雙曲線的漸近線方程為_.【答案】【分析】利用雙曲線的定義和勾股定理可求得，再利用三角形的面積公式可得出，進(jìn)而可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】，則，所以，因?yàn)?，所以，可?因此，雙曲線的漸近線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線中的焦點(diǎn)三角形：雙曲線上一點(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、構(gòu)成的稱為焦點(diǎn)三角形，在處理雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題時(shí)，可結(jié)合雙曲線的定義以及三角形中的有關(guān)定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等）來求解.14現(xiàn)有5個(gè)參加演講比賽的名

9、額，要分配給甲、乙、丙三個(gè)班級，要求每班至少要分配一個(gè)名額，則甲班恰好分配到兩個(gè)名額的概率為_.【答案】【分析】3個(gè)班分5個(gè)名額，每班至少一個(gè)有2種情況：一個(gè)班分3個(gè)，其余各分1個(gè)；2個(gè)班各分2個(gè)，另一個(gè)班分一個(gè)，求得總數(shù)，然后再求甲分到2個(gè)名額的數(shù)目即可.【詳解】3個(gè)班分5個(gè)名額，每班至少一個(gè)有2種情況：一個(gè)班分3個(gè)，其余各分1個(gè)；2個(gè)班各分2個(gè)，另一個(gè)班分一個(gè)，則分配的總數(shù)為，甲班恰好分配到兩個(gè)名額，則余下的3個(gè)名額要分配給乙、丙兩班，有2種分配方法，所以甲班恰好分配到兩個(gè)名額的概率為故答案為：15在三棱錐中，是以為直角的等腰直角三角形，是邊長為2的等邊三角形，二面角的余弦值為，則三棱錐的

10、外接球的表面積為_.【答案】【分析】作出三棱錐的外接球，找到其球心，根據(jù)題干條件找到外接球半徑與已知邊，角的關(guān)系，從而求得外接球半徑，即可得到外接球表面積.【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作平面的法線，過的重心作平面的法線，與交于點(diǎn)，則為三棱錐的外接球的球心.又，所以.又，所以，故外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：8.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：找到球心與邊長，角度的關(guān)系，在直角三角形中求得外接球半徑.四、雙空題16寫出一個(gè)以為對稱中心的偶函數(shù)_，該函數(shù)的最小正周期是_.【答案】 4 【分析】偶函數(shù)又有周期的可考慮余弦型函數(shù)，注意對稱中心即可【詳解】只要寫出符合條件的函數(shù)即可，如，該函數(shù)的最小

11、正周期是4.故答案為：；4（答不唯一）五、解答題17如圖，在平面四邊形中，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由正弦定理求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，從而求得；（2）由（1）可知，再結(jié)合余弦定理即可求得結(jié)果【詳解】（1）由正弦定理，得，即.所以，故.所以.（2）由（1）可知，所以.由余弦定理，得，所以.18已知：數(shù)列中，.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）化簡遞推關(guān)系可得，即可證明并得到通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）證明：由，得又，所以故，所以數(shù)列是以

12、1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）解：由，得， ， 由得，則【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)遞推關(guān)系式得出是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.19如圖，三棱柱中，分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面；（2）若底面，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明線線平行，從而推出線面平行.（2）利用題設(shè)得三條兩兩垂直的線段，建系求平面法向量，利用法向量夾角求所求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，.因?yàn)?，分別是和的中點(diǎn)，故，故.又，故，故.又平面，所以平面.（2）由題意知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，分別以，為軸和軸的

13、正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，.設(shè)為平面的法向量，則，即，可取.設(shè)為平面的法向量，則，即，可取.所以.由題意知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若二面角的平面角不便作出，且?guī)缀误w中有便于建系的垂直條件時(shí)，常通過建系求相關(guān)平面的法向量，從求二面角的余弦值.20某高三學(xué)生小明準(zhǔn)備利用暑假的7月和8月勤工儉學(xué)，現(xiàn)有“送外賣員”和“銷售員”兩份工作可供其選擇.已知“銷售員”工作每日底薪為50元，每日銷售的前5件每件獎(jiǎng)勵(lì)20元，超過5件的部分每件獎(jiǎng)勵(lì)30元.小明通過調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了100名銷售員1天的銷售記錄，其柱狀圖如圖1；“送外賣員”沒有底薪，收入與送的單數(shù)相關(guān)，在一日內(nèi)：

14、1至20單（含20單）每送一單3元，超過20單且不超過40單的部分每送一單4元，超過40單的部分，每送一單元.小明通過隨機(jī)調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了100名送外賣員的日送單數(shù)，并繪制成如下直方圖（如圖2）.（1）分別求出“銷售員”的日薪（單位：元）與銷售件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式、“送外賣員”的日薪（單位：元）與所送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若將頻率視為概率，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，試分別估計(jì)“銷售員”的日薪和“送外賣員”的日薪（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）的數(shù)學(xué)期望，分析選擇哪種工作比較合適，并說明你的理由.【答案】（1），；（2）選擇做“送外賣員”，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)兩份工作日薪的計(jì)算方法，求得兩個(gè)函數(shù)關(guān)

15、系式.（2）求得日薪和的分布列，進(jìn)而計(jì)算出兩份工作日薪的期望值，從而做出決策.【詳解】（1）“銷售員”的日薪（單位：元）與銷售件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為，“送外賣員”的日薪（單位：元）與所送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為.（2）由柱狀圖知，日平均銷售量滿足如下表格：銷售量/件34567頻率所以的分布列為110130150180210所以（元）.由直方圖可知，日送單數(shù)滿足如下表格：單數(shù)/單1030507090頻率所以的分布列如下表：30100185275365由直方圖知，（元）.由以上計(jì)算得，做“送外賣員”掙的更多，故小明選擇做“送外賣員”的工作比較合適.【點(diǎn)睛】決策問題，利潤或收益需要期望值最大的，成本或支出需要

16、期望值最小的.21設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)在上時(shí)，直線的斜率為.（1）求拋物線的方程；（2）在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用直線的斜率列方程，化簡求得，由此求得拋物線方程.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立中的關(guān)系式，由此求得點(diǎn)所在定直線方程.【詳解】（1）由題意，得，則，解得，故拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)，直線的方程為.由得，.由，得，故，化簡得.又，故，化簡得，即，則或.當(dāng)點(diǎn)在定直線上時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題意不符.故點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】在解析幾何中的向量運(yùn)算，可用來建立方程，通過化簡方程來進(jìn)行解題.22已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).（1）討論在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）.【分析】（1）求得，對進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，從而求得在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）先根據(jù)求得，利用放縮法得到，利用導(dǎo)數(shù)證得，即恒成立，由此確定的取值范圍.【詳解】（1）由，得.令，則.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即在區(qū)間內(nèi)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，所以，所以在單調(diào)遞增.又，故存在，使且時(shí)