結(jié)構(gòu)力學(xué)穩(wěn)定理論

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)穩(wěn)定理論課件第1頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二穩(wěn)定計(jì)算最基本最重要的方法靜力法：考慮臨界狀態(tài)的靜力特征。 （平衡形式的二重性）能量法：考慮臨界狀態(tài)的能量特征。 （勢(shì)能有駐值，位移有非零解）PlABk要點(diǎn)是利用臨界狀態(tài)平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外尋找新的平衡位置，列平衡方程，由此求臨界荷載。l=0，原始平衡0，新平衡形式特征方程（穩(wěn)定方程）臨界荷載MA=k 確定體系變形形式(新的平衡形式)的獨(dú)立位移參數(shù)的數(shù)目即穩(wěn)定體系的自由度.PAB轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)kBEI=1、靜力法 對(duì)于具有n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)，新的平衡形式需要n個(gè)獨(dú)立的位移參數(shù)確定，在新的平衡形式下也可

2、列出n個(gè)獨(dú)立的平衡方程，它們是以n個(gè)獨(dú)立的位移參數(shù)為未知量的齊次代數(shù)方程組。根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征，該齊次方程組除零解外（對(duì)應(yīng)于原有平衡形式），還應(yīng)有非零解（對(duì)應(yīng)于新的平衡形式），故應(yīng)使方程組的系數(shù)行列式為零，D=0即為穩(wěn)定方程，從穩(wěn)定方程求出的最小根即為臨界荷載Pcr。第2頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二 例1：圖示體系中AB、BC、CD各桿為剛性桿。使用兩種方法求其臨界荷載。lllPkkABCDPkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）靜力法設(shè)變形狀態(tài) 求支座反力列變形狀態(tài) 的平衡方程（a）如果系數(shù)行列式=0y1，y2不為零，對(duì)

3、應(yīng)新的平衡形式。ABCD1-1對(duì)稱問題可利用對(duì)稱性做。P第3頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二2、能量法靜力法對(duì)等截面壓桿的穩(wěn)定分析較為簡(jiǎn)單，而對(duì)變截面桿、有軸向分布荷載作用的桿就較為麻煩。也可從穩(wěn)定與能量的關(guān)系來分析穩(wěn)定性。剛性小球運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性與能量的關(guān)系設(shè)靜止點(diǎn)A、B、C點(diǎn)=0ABCA點(diǎn)為穩(wěn)定平衡，偏離A點(diǎn)其勢(shì)能將增加，故知穩(wěn)定平衡位置的勢(shì)能為最小。B點(diǎn)為隨遇平衡，偏離B點(diǎn)=勢(shì)能不變。C點(diǎn)為不穩(wěn)定平衡，偏離C點(diǎn)其勢(shì)能將減小，故知不穩(wěn)定平衡位置的勢(shì)能為最大。第4頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二 對(duì)于彈性變形體系，其穩(wěn)定性與能量的關(guān)系與剛性小球情

4、況相似。設(shè)原始平衡狀態(tài)為零勢(shì)能點(diǎn)，讓體系微小偏移，荷載在位移上做功W（外力勢(shì)能UP=W）使體系偏移，內(nèi)力在變形上產(chǎn)生變性能U，使體系恢復(fù)原位置?？倓?shì)能=U+ UP即總勢(shì)能的增量。 如總勢(shì)能=U+ UP 0（0），體系能恢復(fù)原位置，平衡是穩(wěn)定的； 如總勢(shì)能=U+ UP =0（=0），體系能在任意位置平衡，平衡為中性的； 如總勢(shì)能=U+ UP 0（0），體系不能恢復(fù)原位置，平衡是不穩(wěn)定的。 用能量法求臨界荷載，依據(jù)于臨界狀態(tài)的平衡條件，它等價(jià)于勢(shì)能駐值原理：彈性體系在臨界狀態(tài)，其總勢(shì)能為駐值，即=0或：=0 （單自由度體系）（用于多自由度體系）PlABklMA=kPABBEI=0第5頁(yè)，共16頁(yè)，

5、2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二彈性體系的平衡方程勢(shì)能駐值原理：對(duì)于彈性體系， 在一切微小的可能位移中，同時(shí)又滿足平衡條件的位移（真實(shí)位移）使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為駐值，即：=0 , =應(yīng)變能U+外力勢(shì)能UPMA=k22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=k彈性應(yīng)變能荷載勢(shì)能:應(yīng)用勢(shì)能駐值條件:位移有非零解得：PlABkBEI=單自由度體系也可由=0解得：第6頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二 總勢(shì)能是位移的二次函數(shù)，1）PUP表示體系具有足夠的應(yīng)變能克服荷載勢(shì)能，使壓桿恢復(fù)到原有平衡位置)當(dāng)=0，為極小值0。對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，真實(shí)的位移使為極小值2）

6、Pk/l ，當(dāng)0，恒小于零（為負(fù)定） (即UUP表示體系缺少足夠的應(yīng)變能克服荷載勢(shì)能，壓桿不能恢復(fù)到原有位置) 。當(dāng)=0，為極大值0。原始的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3）P=k/l ，當(dāng)為任意值時(shí)，恒等于零(即U=UP) 。 體系處于中性平衡（臨界狀態(tài)）這時(shí)的荷載稱為臨界荷載Pcr=k/l 。PPcrP=Pcr 結(jié)論：1）當(dāng)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢(shì)能必為最小。2）臨界狀態(tài)的能量特征是：勢(shì)能為駐值=0 ，且位移有非零 解。即在荷載達(dá)到臨界值前后，總勢(shì)能由正定過渡到非正定。3）如以原始平衡位置作為參考狀態(tài)，當(dāng)體系處于中性平衡P=Pcr 時(shí)，必有總勢(shì)能=0。對(duì)于多自由度體系，結(jié)論仍然成立。第7頁(yè)，共

7、16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二Pkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位 置各桿端的相 對(duì)水平位移)(1222121+-=yyyyl)(212221221+-+=yyyyllD點(diǎn)的水平位移彈性支座應(yīng)變能:)(22221+=yykU荷載勢(shì)能:)(222121+-=-=yyyylPPUPl體系總勢(shì)能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP勢(shì)能駐 值條件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=yyPP以后的計(jì)算步驟同靜力法能量法步驟:給出新的平衡形式;

8、寫出總勢(shì)能表達(dá)式;建立勢(shì)能駐值條件;應(yīng)用位移有非零解的條件,得出特征方程; 解出特征值,其中最小的即臨界荷載Pcr。勢(shì)能駐值條件等價(jià)于以位移表示的平衡方程。第8頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二體系總勢(shì)能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP總勢(shì)能是位移y1 、y2的對(duì)稱實(shí)數(shù)二次型。1）如果Pkl/3=Pcr，是正定的。5）如果kl/3 Pkl，是負(fù)定的。由此可見，多自由度體系在臨界狀態(tài)的能量特征仍然是：在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢(shì)能由正定過渡到非正定。（或說：勢(shì)能達(dá)駐值，位移有非零值）非正定第9頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，

9、18點(diǎn)59分，星期二PPllABCk例2：用兩種方法求圖示體系的臨界荷載。并繪其失穩(wěn)曲線。1、靜力法：兩個(gè)自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程并求解：求失穩(wěn)曲線：實(shí)際失穩(wěn)曲線只是理論上存在的失穩(wěn)曲線第10頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二2、能量法：外力勢(shì)能：PPllABCk2qk()21qq-k應(yīng)變能：總勢(shì)能：根據(jù)勢(shì)能駐值條件：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：以下計(jì)算同靜力法。第11頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二例3：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。兩

10、個(gè)自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP第12頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二例3：用能量法求圖示體 系的臨界荷載。兩個(gè)自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。求變形能和外力勢(shì)能：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP當(dāng)桿件上無外荷載作用時(shí)，桿端力的功=變形能。第13頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二P例4：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。EI=兩個(gè)自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。分析受力列平衡方程：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC第14頁(yè)，共16頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二1-1P例4：用能量法求圖示體系的臨界荷載。 EI=兩個(gè)自由度，取1 2 為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲 線如圖。由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC求變形能和外力勢(shì)能：第15頁(yè)，共16頁(yè)，