三角形的內(nèi)切圓外接圓

1、三角形外接圓半徑的求法及應(yīng)用方法一：Rab/(2h)三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商。AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓直徑求證ABACAEAD證：連結(jié)AO并延伸交圓于點(diǎn)E，連結(jié)BE，則ABE90.EC，ABEADC90，RtABERtADC，ABAE，ADACABACAEAD方法二：2Ra/SinA，a為A的對(duì)邊在銳角ABC中，外接圓半徑為R。求證：2RAB/SinC證：連結(jié)AO并延伸交圓于點(diǎn)E，連結(jié)BE，則ABE90.AEAB/SinECE，SinCSinEAEAB/SinC2RAB/SinC若C為鈍角，則SinCSin（180oC）應(yīng)用一、已知三角形的三邊長(zhǎng)，

2、求它的外接圓的半徑。例1已知：如圖，在A(yíng)BC中，AC13，BC14，AB15，求ABC外接圓O的半徑r.剖析：作出直徑AD，結(jié)構(gòu)RtABD.只需求出ABC中BC邊上的高AE，用方法一就能夠求出直徑AD.解：作AEBC，垂足為E.CED設(shè)CEx,OBA22222，13222-(14-x)2AC-CEAEAB-BE-x15x=5,即CE5，AE12Rab/(2h)=13x15/(2x12)=65/865ABC外接圓O的半徑r為.8例2已知：在A(yíng)BC中，AB13，BC12，AC5，求ABC的外接圓的半徑R.剖析：經(jīng)過(guò)判斷三角形為直角三角形，易求得直角三角形外接圓的直徑等于斜邊。應(yīng)用二、已知三角形的二

3、邊長(zhǎng)及其夾角（特別角），求外接圓的半徑。例3已知：如圖，在A(yíng)BC中，AC2，BC3，C60，求ABC外接圓O的半徑R.剖析：考慮求出角的對(duì)邊長(zhǎng)AB，而后用方法一或方法二解題.解：作直徑AD，連結(jié)BD.作AEBC，垂足為E.則DBA90，DC60，CAEDAB906030CEDOABCE12AC1，AE3，AB=7R=ACAB/2AE=2x7/(2x3)應(yīng)用三、已知三角形的一邊長(zhǎng)二角度或?qū)堑亩葦?shù)（特別角），求它的外接圓的半徑。用方法二例4已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=103，求它的外接圓的半徑解從A作AMBC于M，則222ADMDAM222222AC(MDCD)即5MD7(MD3)得

4、R14，則ABC外接圓面積SR2196例5如圖3，已知拋物線(xiàn)yx24xh的極點(diǎn)A在直線(xiàn)y4x1上，求拋物線(xiàn)的極點(diǎn)坐標(biāo)；拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；ABC的外接圓的面積解A(2，9)；B(1，0)；C(5，0)從A作AMx軸交于M點(diǎn)，則BMMC3AM9R5ABC外接圓面積SR225三角形內(nèi)切圓半徑r的求法SABC=1/2(a+b+c)rr=2SABC/(a+b+c)RtABC中,r=(a+b-c)/2三角形的內(nèi)切圓和外接圓【知識(shí)重點(diǎn)】1、三角形的外接圓1）過(guò)三角形三個(gè)極點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓，三條邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。三角形的外心到各極點(diǎn)的距離相等（2）銳角三角形的外心在三角

5、形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外面，直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)，外接圓半徑Rc(c為斜邊長(zhǎng))22、三角形的內(nèi)切圓1）到三角形三條邊距離都相等的圓，叫三角形的內(nèi)切圓，三角形中，三個(gè)內(nèi)角均分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫三角形的心里，三角形心里到三條邊的距離相等，心里都在三角形的內(nèi)部（2）若三角形的面積為SABC，周長(zhǎng)為a+b+c,則內(nèi)切圓半徑為:r2SABC，當(dāng)a,b為abc直角三角形的直角邊，c為斜邊時(shí)，內(nèi)切圓半徑rab或rabc.abc23、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（2）圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角等于它的對(duì)角注意：圓內(nèi)接平行四邊形為矩形；圓內(nèi)接梯形為等腰梯形4、兩個(gè)結(jié)論：圓的外切四

6、邊形對(duì)邊和相等；圓的外切等腰梯形的中位線(xiàn)等于腰長(zhǎng)【典型例題】A一、填空和選擇I（1）一個(gè)三角形的心里，外心都在三角形內(nèi)，則這個(gè)三角形必定是BC()A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形（2）如右圖，I是ABC的心里，則以下式子正確的選項(xiàng)是（）A、BIC=180-2AB、BIC=2AC、BIC=90+A/2D、BIC=90-A/2（3）ABC外切于O，E、F、G分別是O與各邊的切點(diǎn)，則EFG的外心是ABC的。（4）直角三角形的兩條直角邊分別為5和12，那么它的外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為（5）等邊三角形內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑分別為r,R，則r:R=（6）圓外切等腰梯形底角為60

7、，腰長(zhǎng)為10，則圓的半徑長(zhǎng)為（7）等邊三角形一邊長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切圓半徑等于（8）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑的和高的比是（9）ABC的內(nèi)切圓I與、分別切于、點(diǎn)，且EID=135，則ABCABBCCADEFFID=為例2如圖，ABC中，I是心里，AI交BC于D，交ABC的外接圓于E。求證：（1）IE=EC，（2）IE2=EDEA。AIDBC例3如圖，已知ABC內(nèi)接于O，AE切O于點(diǎn)A，BCAE，求證：ABC是E等腰三角形BAOECP例4已知ABC三邊長(zhǎng)為6，8，10，則它的心里，外心間的距離為【經(jīng)典練習(xí)】一、選擇題1.以下命題中，正確的有（）圓內(nèi)接平行四邊形是矩形圓內(nèi)接菱形是正方形圓內(nèi)接梯

8、形是等腰梯形圓內(nèi)接矩形是正方形A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A：B：C=3：5：6，那么D=（）A80B90C100D120假如一個(gè)直角三角形的一條直角邊等于它的外接圓的半徑r，那么此三角形的面積與其外接圓的面積之比為（）A3B3C3D2424.如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于O，若BOD=110，則BCD=（）A125B110C55D70AAPDBA5.OD接于，O如圖，四邊形（）2ABCD內(nèi)ODADC=60ABC=ABB60CDC90BC30120圖1C圖36.如圖）3，正方形ABCD內(nèi)接于O，點(diǎn)P在A(yíng)D上，則BPC為（A35B40C45D507.如圖4，MNPQ中，過(guò)

9、點(diǎn)Q、M的圓與PQ、MN分別訂交于點(diǎn)E、F，以下結(jié)論中正確的有（）EFN=Q=N；EFN+P=180；EF=PN=MQ；M=FEP。A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)如圖5，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AD為O的直徑，若CBE=50，則圓心角AOC=（）A50B80C100D130QEPDOOCMFNAEB圖4圖5二、填空題9設(shè)I是ABC的心里，O是ABC的外心，A=80，則BIC=，BOC=。10若三角形的三邊長(zhǎng)為5、12、13，則其外接圓的直徑長(zhǎng)等于，其內(nèi)切圓的直徑長(zhǎng)為。11直角三角形的一邊為a，它的對(duì)角是30，則此三角形的外接圓的半徑是。12如圖6，I切ABC于D、E、F，C=60，EIF=1

10、00，則B=。BAFADEODEOIBCBDCCFA圖6圖7圖813如圖7，O內(nèi)切于RtABC，C=90，D、E、F為切點(diǎn)。若AOC=120，則OAC=，B=；若AB=2cm，則AC=,ABC的外接圓半徑=，內(nèi)切圓半徑=。14如圖8，若弦ADBC，BAC=70，ABC=80，則ADC=度，ACD=度。15如圖9，四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，AECD，若ABC=130，則DAE=。ADBOOCCEDABP圖9圖1016如圖10，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，AB與DC的延伸線(xiàn)交于P。已知A=60，ABC=100，則P=?！敬笳股硎帧恳?、選擇題1以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）A三點(diǎn)確立一個(gè)圓B三角

11、形有且只有一個(gè)外接圓C四邊形都有一個(gè)外接圓D圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形2以下命題中的假命題是（）三角形的外心到三角形各極點(diǎn)的距離相等三角形的外心到三角形三邊的距離相等三角形的外心必定在三角形一邊的中垂線(xiàn)上三角形隨意兩邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，是這個(gè)三角形的外心3以下圖形必定有外接圓的是（）A三角形B平行四邊形C梯形D菱形4以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）過(guò)一點(diǎn)A的圓的圓心能夠是平面上隨意點(diǎn)過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓的圓心在一條直線(xiàn)上過(guò)三點(diǎn)A、B、C的圓的圓心有且只有一點(diǎn)過(guò)四點(diǎn)A、B、C、D的圓不存在5在RtABC中，C=90，AC=6cm，BC=8cm，則它的外心與極點(diǎn)C的距離為（）A5cmB6cmC7cmD8cm6等邊

12、三角形的外接圓的半徑等于邊長(zhǎng)的（）倍A3B3C3D12327三角形的外心擁有的性質(zhì)是（）A到三邊距離相等B到三個(gè)極點(diǎn)距離相等C外心在三角形外D外心在三角形內(nèi)8關(guān)于三角形的外心，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）它到三角形三個(gè)極點(diǎn)的距離相等它與三角形三個(gè)極點(diǎn)的連線(xiàn)均分三內(nèi)角它就任一極點(diǎn)的距離等于這三角形的外接圓半徑以它為圓心，它到三角形一極點(diǎn)的距離為半徑作圓，必經(jīng)過(guò)此外兩個(gè)極點(diǎn)9在一個(gè)圓中隨意引兩條直徑，按序連結(jié)它們的四個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形一定是（）A菱形B等腰梯形C矩形D正方形10如下圖，圓的內(nèi)接四邊形ABCD，DA、CB延伸線(xiàn)交于P，AC和BD交于Q，則圖中相像三角形有（）BPCA、1對(duì)B、2對(duì)QC、3對(duì)D、4對(duì)AD11DCE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，那么必定有（）A、DCE+